КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 77, № 2, с. 169-173
УДК 541.182.213:621.928.95
МОДЕЛИРОВАНИЕ АЭРОЗОЛЬНЫХ ВОЛОКНИСТЫХ ФИЛЬТРОВ ПРИ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА ПОРЯДКА ЕДИНИЦЫ
© 2015 г. В. А. Кирш, А. В. Шабатин, В. В. Высоцкий, В. И. Ролдугин
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН 119071 Москва, Ленинский проспект, 31 E-mail: va_kirsch@mail.ru Поступила в редакцию 11.08.2014 г.
Рассмотрено осаждение аэрозольных частиц из потока в модельном фильтре, состоящем из параллельных рядов параллельных волокон, перпендикулярных направлению потока, при числах Рей-нольдса порядка единицы, Re ~ 1, характерных для аналитической фильтрации. Методом фундаментальных решений получено озееновское поле течения в ряду. Показано, что рассчитанные на его основе силы сопротивления волокон потоку, а также коэффициенты захвата инерционных частиц волокнами незначительно отличаются от рассчитанных на основе уравнений Навье—Стокса. Различие сил сопротивления начинает проявляться при тем больших значениях Re, чем больше плотность упаковки фильтра. Различие коэффициентов захвата в случае инерционного осаждения возрастает с увеличением параметра зацепления. Для рядов с a/h > 0.2 (а — радиус волокна, 2h — расстояние между волокнами в ряду), включая ряды с неоднородным расположением волокон, расчеты по линеаризованным и полным уравнениям Навье—Стокса дают близкие результаты вплоть до Re ~ 1.
DOI: 10.7868/S0023291215010103
ВВЕДЕНИЕ
Характерная скорость течения воздуха через высокоэффективные фильтры тонкой очистки, изготовленные из субмикронных волокон, составляет всего несколько сантиметров в секунду. Уменьшение скорости прокачки воздуха и вызвано стремлением понизить сопротивление потоку фильтра. Течение газа в фильтре при столь небольшой скорости соответствует диапазону малых чисел Рейнольдса и описывается законом Дарси, при выполнении которого перепад давления в фильтре линейно растет со скоростью. При увеличении скорости до 1 м/с и более, что характерно при отборе проб воздуха на аналитические фильтры и для инерционных пылеуловителей — грубоволокнистых фильтров, число Рейнольдса, Яе, достигает единицы и более, причем в случае высокопористых фильтров при Яе ~ 1 начинается нарушение линейной зависимости перепада давления на фильтре от скорости. Возникает асимметрия линий тока вблизи волокон: линии тока в передней части волокна проходят ближе к его поверхности, чем в донной. Небольшая асимметрия линий тока слабо влияет на сопротивление волокон потоку, но существенно сказывается на коэффициенте захвата, особенно, при инерционном осаждении частиц [1], причем в этом случае необходимо знать поле течения в системе волокон как в непосредственной близости, так и вдали от волокна, поскольку коэффициент захвата зависит от предыстории движения инерционной части-
цы. Поэтому в качестве модельного фильтра вместо ячеечной модели обычно рассматривается отдельный ряд волокон (рис. 1). Следует отметить, что задачи вычисления поля течения и осаждения частиц при Яе ~ 1 на основе полных нелинейных уравнений Навье—Стокса
Ди - 0.5 Яе (и -V) и = Vp, V- и = 0, (1)
где u — скорость газа, р — давление, оказываются ресурсоемкими. Поэтому в данной работе исследована возможность моделирования процесса фильтрации на основе уравнений Навье—Стокса в линеаризованном приближении Озеена,
Яе,, ди/дх = -Ур + Ди, V- и = 0, (2)
решение которых с вычислительной точки зрения заметно проще, чем решение уравнений (1). В уравнениях (1), (2) Яе — число Рейнольдса, отнесенное к
(-1, 1) К (1, 1)
-- U 2 d 1 3
(-1, -1) (1, -1)
Рис. 1. Схема расчетной ячейки в задаче об обтекании ряда волокон озееновским потоком.
диаметру волокна 2a, Reh = Re/2b = hUv-1, b = a/h, v — кинематическая вязкость газа, a — радиус волокна. В (2) все величины приведены к безразмерному виду нормированием на скорость потока перед фильтром U и половину расстояния между осями волокон h.
Целью данного сообщения было изучение осаждения частиц с учетом инерционности несущей среды на основе уравнений Озеена в зависимости от числа Рейнольдса, параметров фильтра и механизмов осаждения частиц. В работе приводится сравнение результатов численных расчетов сил сопротивления волокон и коэффициентов захвата частиц волокнами, выполненных на основе уравнений Навье—Стокса, Озеена и Стокса. Влияние инерционности потока исследовано на примере простейшего модельного фильтра — ряда параллельных волокон, расположенных перпендикулярно к направлению потока газа (рис. 1). Полученные численные результаты при Re ~ 1 сравниваются с предельными значениями, найденными по аналитическим формулам, полученным также на основе уравнений Озеена для сильно разреженных рядов параллельных волокон [2] и с экспериментальными данными [3]. Кроме того, рассмотрено влияние неоднородности расположения волокон в ряду на их сопротивление при Re ~ 1.
ПОЛЕ ТЕЧЕНИЯ В МОДЕЛЬНОМ ФИЛЬТРЕ ПРИ RE ~ 1
Уравнения Озеена (2), записанные в терминах функции тока Т,
ДДЧ - 2 к д(ДЧ) / дх = 0, u = дЧ/ду, v = -дЧ/дх,
(3)
N
N
N
N
u = X Ull4 + X Ul2-B, v = X U2i4 + X U22Bh
П2
-п-1 2пг 1 1 - квк^ г
U12 = -Z2_ "1 _
2пг _г
2пг А + квк^
K0(кг)
Z1
+ K1 (кг )
K0(кг)
Z1
- K1 (кг)
где z1 = x - X, z2 = y - Y¡, Xи Y — координаты точечных сил (озеенлетов), K(z) — функция Бесселя мнимого аргумента. Далее мы объединили метод фундаментальных решений с методом граничной коллокации. Решение для функции тока в области 1 сшивалось с аналитическими решениями в полуполосах 2, 3. Такой подход дает более устойчивый счет при меньшем числе точечных сил. В областях 2 и 3 (полубесконечные полосы) невозрастающие на бесконечности решения уравнений (4) и (5), удовлетворяющие условиям ¥ (|x\ ^ да, y) = y, u (|x\ ^ да) = 1, v = (|х| ^ да) = 0, имеют вид
" / \ ¥(2) = y + ^[ekrcos(e)BlnKn (kr) + El„ -1)sin(«0), (6)
n=1
да
4(3) = y + ^[ekrcos{e)Br„K„ (kr) + Er«1)sin(«0). (7)
n=1
В расчетной ячейке (рис. 1) были поставлены следующие граничные условия:
Ч (x, ±1) = ±1, д 2Ч (x, ±l) dy2 = 0, (8)
Ч (r = 1,0) = 0, u (r = 1,0) = v (r = 1,0) = 0. (9)
Ограничиваясь в бесконечных суммах N членами, мы аналитически определили из (8) константы Bl и Br, с учетом чего функции тока (6), (7) приняли вид
где к = Reh/2 = Re/2/Ь, были решены в расчетной ячейке, показанной на рис. 1. В расчетах было удобно использовать в качестве линейного масштаба к, но конечные результаты были представлены в зависимости от числа Рейнольдса Re, отнесенного к диаметру волокна. Решение уравнения (3) было найдено как сумма решений уравнений Лапласа и Гельмгольца для составляющих функции тока ¥ = ¥ + 4 2:
= 0, (4)
ДЧ2 - 2кд¥2/дх = 0. (5)
В области 1 функция тока находилась методом фундаментальных решений. В рамках используемого подхода компоненты скорости потока были представлены в виде конечных рядов [4]
¥
(3)
N
=у+X
n=1
Eln
Ern
Kn (кг) ^ sin (n9) Kn (кЯ)) Rn '
R
= VT
+ x , x = г cos(
=1
2 , 2 X + y .
i=1
i=1
i=1
i=1
y = r sint
Константы A, B, El, Er определялись численно из (9) и из условий сшивки решений в полуполосах с решением в квадратной области:
5sY(2)/dxs = дsY(1)/dxs, s = 1..3,
¥(2) = ¥(1) при x = -1,
5sY(3)/dxs = дsY(1)/дxs, s = 1..3, Y(3) = Y(1) при x = 1.
Функция тока ¥(1), с учетом определения u = dY/dy, была аппроксимирована с помощью квадратурной формулы Гаусса. Полное число точек граничной коллокации задавалось большим числа неизвестных 4N, и результирующая система линейных ал-
Рис. 2. Безразмерные силы сопротивления волокон: 1 — расчет по формуле [2], 2 — по уравнениям Озеена (2), 3 — Навье—Стокса [1], 4 — Стокса; 5 — эксперимент [3].
y, см
Рис. 3. Профили скоростей в зазоре между парами волокон в ряду при различных значениях числа Рейнольдса: 1 — Re = 1, 2 — 5, 3 — 10, 4 — 20. Сплошные линии — решение уравнений Навье—Стокса, пунктирные — Озеена.
гебраических уравнений решалась по методу наименьших квадратов с SVD-разложением. Предложенная схема была успешно протестирована на задачах об обтекании озееновским потоком изолированного цилиндра и цилиндра в канале, решения для которых известны [5, 6].
Сила сопротивления единицы длины волокна рассчитывалась по формуле
к
F = X 4, (10)
i=1
где K — число точечных сил, параллельных оси Ox, расположенных на малой окружности в центре сечения волокна.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ И СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ
На рис. 2 представлены зависимости сил сопротивления от числа Рейнольдса, рассчитанные на основе уравнений Навье—Стокса [1] и уравнений Озеена в сравнении с данными экспериментов [3]. Здесь также представлена зависимость, рассчитанная по аналитической формуле, приведенной в работе [2]. Видно, что при Re < 0.5 эксперимент согласуется с расчетом по абсолютной величине, причем при увеличении Re зависимости /(Re) нарушаются одновременно, и вплоть до Re ~ 1 не наблюдается их расхождения. Особенно наглядно совпадение расчетов на основе уравнений Навье— Стокса [1] и уравнений Озеена видно на рис. 3, где приводятся профили скорости на оси в ряду попарно сдвоенных волокон. Соответствующие сплошные и пунктирные линии почти сливаются.
Аналогичный вывод следует и из рис. 4, где показаны расчетные зависимости безразмерных сил сопротивления F от числа Рейнольдса для плотных модельных фильтров, составленных из пар волокон с периодом 2h и расстоянием между волокнами в паре 2h1, с однородным (кривые 1, 1') и неоднородным (кривые 2, 2') расположением параллельных волокон. Кривые 1 и 2 рассчитаны по уравнениям Озеена. Экспериментальные точки 3
F 100 80
60 40
20
10 I_1..........i_■ ■ ■
1 10 50
Re
Рис. 4. Сравнение расчетных (1, 1', 2, 2') и экспериментальных значений [7] (3, 4) сил сопротивления волокон для модельных фильтров с однородным (1, 1', 3) и неоднородным (2, 2', 4) расположением волокон в рядах: 1, 1' — 2hj = 1.21 мм; 2, 2 — 2hj = 0.61 мм; 2h = 2.42 мм, 2a = 0.5 мм. Кривые 1, 2 рассчитаны по уравнениям Навье—Стокса [1], 1', 2' — по уравнениям Озеена.
j_i_i_i_i_i_l_LJ_i_i_i_I
0.005
П 1
0.5
0.1
0.02
7 4
: 2
3Ч
1
: 5
.....
10 St
0.1
0.5 1
5 10
St
Рис. 5. Коэффициенты инерционног
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.