УДК 551.46
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ИНТЕНСИВНЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН НА ШЕЛЬФЕ © 2014 г. Т. Г. Талипова*,**, Е. Н. Пелиновский***, А. А. Куркин*, О. Е. Куркина****
*Нижегородский государственный технический университет 603950Нижний Новгород, ул. Минина, 24
**Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 ***Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики 101000 Москва, ул. Мясницкая, 20 E-mails: pelinovsky@hydro.appl.sci-nnov.ru tgtalipova@mail.ru Поступила в редакцию 06.09.2013 г., после доработки 09.10.2013 г.
Трансформация пакета внутренних волн при его распространении на португальском шельфе изучалась во время международного эксперимента EU MAST II MORENA в 1994 г. В статье представлены результаты моделирования динамики этого пакета для гидрологических условий по трассе распространения. Моделирование проводилось на основе обобщенного уравнения Гарднера-Островского, включающего неоднородность гидрологии, вращение Земли и диссипацию в придонном пограничном слое. Обсуждаются результаты сравнения наблюдаемых и рассчитанных форм и фаз индивидуальных волн в пакете в реперных точках.
Ключевые слова: внутренние волны, трансформация, уравнение Гарднера, португальский шельф.
Б01: 10.7868/80002351514060169
1. ВВЕДЕНИЕ
Моделирование генерации и распространения внутренних волн, а также их трансформации на неоднородностях океанской среды в настоящее время весьма востребовано в связи с освоением шельфовых зон морей и океанов. Физико-математические модели нескольких уровней разработаны к настоящему времени. Исторически первыми были получены аналитические линейные модели [1]. Затем появились нелинейные модели, выведенные с применением асимптотических методов в приближении малой нелинейности и малой дисперсии [1—3]. Среди этих приближенных моделей следует выделить уравнение Кортевега— де Вриза для внутренних волн как модель первого уровня по нелинейности [3, 4]. Модели второго уровня включают обобщения уравнения Корте-вега—де Вриза высших порядков по нелинейности и дисперсии, для горизонтально-неоднородного вращающегося океана с учетом потерь [5, 6]. Часто эти модели применялись в приближении двухслойной стратификации [7—9], но численно несложно вычислить параметры уравнений и для распределенной стратификации [5, 6]. К моделям
второго уровня следует также отнести модели, развиваемые на основе системы Камассы—Чоя [10], они включают полную нелинейность и слабую дисперсию и получены для волн в двухслойном океане. К настоящему времени существуют модели более высокого, третьего уровня, основанные на полнонелинейных уравнениях Эйлера или Навье—Стокса и также учитывающие рельеф дна и вращение Земли [11—13]. Однако такие модели пока не допускают существования относительно стабильной фоновой горизонтально-неоднородной стратификации, которая характерна для реальных океанских условий, что хорошо реализуется в приближенных моделях. Применение приближенных моделей второго уровня целесообразно еще потому, что позволяет при относительно малом числе (от четырех до шести) параметров аналитически предсказать те или иные особенности динамики внутренних волн, которые невозможно "увидеть" в полнонелинейных уравнениях. Так, авторами статьи на основе приближенной модели второго уровня (уравнение Гарднера) было предсказано существование квазистационарных пакетов длинных внутренних
волн, так называемых бризеров, динамика которых потом была промоделирована в полнонелинейной модели [14].
Разработанная авторами приближенная модель второго уровня основывалась на уравнении Гарднера—Островского и применялась для описания поля внутренних волн на Северо-западном шельфе Австралии [5, 6, 15, 16], в Арктике [15— 17], и на Малин шельфе [15, 16, 18]. В работе [18] было проведено моделирование динамики пакета внутренних волн при его распространении на Малин шельфе и сравнение формы пакета с данными наблюдений, записанными в опорных точках по мере распространения пакета. Подобный эксперимент был проведен также на шельфе Португалии [19—21], и в настоящей работе проведено моделирование динамики этого пакета и сравнение результатов моделирования с наблюдениями внутренних волн в реперных точках.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Уравнение Гарднера—Островского хорошо известно в качестве модели для описания динамики длинных внутренних волн в горизонтально-неоднородном океане. Эта модель позволяет также учесть вращение Земли, и ее основное уравнение имеет следующий вид [6, 22, 23]
дк. дх
а о г +
2 ^ 2
г 2 |дк+1д!к+ к \дз с4 дз3
ксО I
(1)
_ — ¡c=ds,
где
з) = 3^
0(х)
и о =
|(й Фо/ йг)2йг
| (йФ/ йг)2 йг
(2)
Ых ^ с(х)
- г.
(3)
Переменная ж есть смещение изопикны в максимуме модовой функции, которая находится из решения задачи Штурма—Лиувилля
0** + ф = о
,2 2 ' йг с
(4)
с нулевыми граничными условиями на дне и на поверхности (приближение твердой крышки):
Ф(0) = Ф(Н) = 0, (5)
и нормируется следующим образом
Фтах = 1, (6)
где Н — глубина бассейна, скорость с также находится из (3)—(4) и является линейной скоростью распространения длинной внутренней волны в соответствующей моде, а коэффициенты дисперсии в, квадратичной нелинейности а и кубической нелинейности а1 вычисляются в квадратурах от модовой функции Ф и ее производных (см. [17, 24])
с
IФ 2йг
а =
2 |(а ф/ аг)2аг'
3с ¡(йФ/йг)ъйг
ах = -— + 3с с
2 ¡(аф/аг)2аг'
¡[(афйг)4 - (М4Ф7с)4] йг |(й Ф/ йг)2йг
(7)
(8)
+ 3с х
(9)
§<((1 Ф/йг)2 + N 2Ф 2/с) - (2а/ 3) (й Ф/ йг)]йТ1йг)йг ^{йФ1йг)2йг '
где Т(1) есть нелинейная поправка к моде, которая находится из решения следующего уравнения
—N2)
й Т + N2 т = Ф + йг
, 2 2 4 Ф + 3
йг с с с
Ф2
(10)
(индекс "0" обозначает величины, соответствующие первой опорной станции с координатой х0). Здесь и далее используется приближение Бусси-неска. Переменная ж представляет собой "медленное" время в сопровождающей системе координат
с нулевыми граничными условиями на дне и поверхности воды
Т (0) = Т (Н) = 0 (11)
и нормируется как
Т(гтах) = 0. (12)
Вращение Земли учтено через параметр Корио-лиса / = (4я/Те)8Ш ф, где Те = 24 ч, а ф — географическая широта. Наконец, модель включает дисси-пативный член, который позволяет учесть трение в придонном турбулентном пограничном слое [5]; к есть коэффициент трения, который выбирается феноменологически.
Уравнение (1) решается с периодическими граничными условиями во времени
5 I з + ^, х) = ф, х) ю !
и с начальными условиями
ф, хо) = п(з, хо).
(13)
3
с
Таблица 1. Координаты станций
№ точки широта, N Долгота, W
14 41°03' 9°15.8'
15 41°04.8' 9°08.4'
16 41°06.5' 9°01.7'
Уравнение (1) сохраняет нулевую массу s, x)ds = 0
и поток энергии
J Ф,
Jc;2(s, x)ds = a0 JV2(s)ds
(15)
(16)
в отсутствие диссипации.
3. ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ И ИХ ОБРАБОТКА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Данные наблюдений трансформации пакета внутренних волн были получены в ходе европейского натурного эксперимента EU MAST II MORENA в 1994 г. на шельфе Португалии [19-21] и были предоставлены авторам др. Т. Шервином в рамках совместного гранта INTAS-RFBR — 95969. Измерения проводились в августе 1994 г. на шельфе Португалии в трех точках, которые в ходе эксперимента были пронумерованы 14, 15, 16. Их координаты приведены в табл. 1.
Все точки расположены на прямой линии и расстояние между точками 14 и 16 составляет 26.3 км. Измеренный профиль волнового пакета в точке
а н и
б у
Глу
0 г
15
16
а н и
б у
Глу
17
Время, ч 0 г
-20
18
19
а н и
ю — у
л Г
40
—60
80
14
Время, ч
(в)
20
22
24 26 Время, ч
28
30
Рис. 1. Смещения изотерм в точках 14 (а), 15 (б) и 16 (в). Нижняя изотерма соответствует температуре 13.5° по температуре между изотермами составляет 0.5°.
различие
Рис. 2. Средний профиль частоты Брента—Вяйсяля в точках 14 (а), 15 (б) и 16 (в).
14 является входным для численного моделирования. Смещения изотерм, вычисленные по измерениям температуры, приведены на рис. 1 для всех трех точек.
Анализ модальной структуры имеющихся записей внутренних волн показал, что в записях на 95% присутствует первая мода. Начальный профиль волны в точке 14 состоит из трех солитоноподобных волн, число которых растет по мере трансформации пакета (рис. 1).
Модовая функция и коэффициенты уравнения (1) рассчитываются, исходя из невозмущенного (среднего) вертикального профиля частоты Брента—Вяйсяля, который приведен для каждой точки на рис. 2.
Коэффициенты модели рассчитаны по формулам (2)—(4), (5)—(10) и (12) и представлены в табл. 2. Все коэффициенты изменяются вдоль пути следования волны достаточно заметно.
Уравнение Гарднера—Островского (1) для моделирования трансформации волны при ее рас-
о
Я
о
э
о %
С
1 2 Время, ч
15
16
17
Время, ч
18
19
10
е и
я
е
Я
е
10
б -20
-30
-40
(в)
20
22
24 26 Время, ч
28
30
Рис. 3. Профили волны в точках 14 (а), 15 (б) и 16 (в).
пространении вдоль горизонтально-неоднородной трассы написано для вертикального смещения изопикны ц(х, t) в максимуме первой моды. Имея наблюдаемые смещения изотерм (рис. 1) и предполагая, что все колебания происходят на первой моде, из каждой изотермы вычислим функцию смещения в максимуме первой моды
П(х, о
Ф(г) '
(17)
где Ф(г) означает модовую функцию и х, 1) — наблюдаемое смещение изотермы. Как правило,
рассчитанные по формуле (17) формы смещения изотермы в максимуме моды п(х, 1) не полностью совпадают между собой, и мы используем процедуру усреднения. Эта методика уже применялась нами в работе [18]. Результаты расчетов волнового профиля из данных наблюдений в каждой точке показаны на рис. 3. Уровень нуля соответствует положению максимума первой моды для каждой точки.
Профиль волны в точке 14 берется в качестве входных данных при численном моделировании уравнения (1).
0
0
10
10
-20
-30
-40
50
(а)
17
18
Время, ч
19
20
10
10
20
30
40
(б)
22 23 24 25
Время, ч
26
Рис. 4. Сравнение результатов моделирования (сплошная линия) с данными наблюдений (точки) в точках 15 (а) и 16 (б) в отсутствие придонного трения.
0
0
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Как было отмечено выше, в численном мод
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.