научная статья по теме МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В ПРОВОДЯЩИХ КАНАЛАХ ПОЛЬДЕРНЫХ СИСТЕМ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В ПРОВОДЯЩИХ КАНАЛАХ ПОЛЬДЕРНЫХ СИСТЕМ»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В ПРОВОДЯЩИХ КАНАЛАХ ПОЛЬДЕРНЫХ СИСТЕМ

© Н.Д. Бобарыкин, К.С. Латышев

Калининградский государственный технический университет Калининградский государственный университет

На основе теории направленных графов находятся контуры обхода графа польдерной системы, вдоль которых проводится численное интегрирование системы уравнений Сен-Венана. Разработаны неявные консервативные разностные схемы для гиперболической системы уравнений, учитывающие законы сохранения потоков в узлах ветвления каналов. Рассмотрены вопросы корректности постановки граничных условий. Представлены алгоритмы численного решения системы разностных уравнений и результаты вычислений, согласующиеся с данными натурных экспериментов.

MODELING OF MOTION OF WATER IN CONDUCTING CHANNELS OF POLDER SYSTEMS

N.D. Bobarikin, K.S. Latishev

Kaliningrad State technical university Kaliningrad State university

Based on the theory of directed graphs there are the crunches of graph bypassing of polder systems, alongside of which Saint-Venant's equations integration system are carried out. The latent conservation difference schemes for hyperbolic equation system, talcing into consideration the flow preservation laws at the channel joints have been developed. The question of setting up border conditions correctness have been discussed. The algorithms of number solutions of difference equation and number calculations results meeting the field experiments data have been suggested.

1. Постановка задачи моделирования. Пространственно-временные распределения потоков и уровней воды в сети проводящих каналов польдерных систем описываются системой уравнений Сен-Венана в частных производных гиперболического типа

8F/dt=dQ/dx=q, q=2nKf(H-h)/<t>0; (1)

du/dt+gdh/dx+(u+u4)q/F=(J0-Jf)q ,

где

h,u- уровень и скорость движения воды в канале;

ич - скорость бокового притока;

q - боковой приток;

g - ускорение свободного падения;

J0 - продольный угол наклона дна;

Jf - уклон трения;

Q - расход воды в канале;

F - площадь живого сечения.

Существующие численные методы расчета неустановившихся течений на основе одномерных гиперболических уравнений (1), имеющих недивергентную форму записи, обладают значительными недостатками [1]. В первую очередь к ним относится неучет наклона характери-

стик гиперболических систем уравнений, что не позволяет корректно ставить граничные условия.

Для построения консервативных разностных схем, позволяющих эффективно проводить сквозной расчет, используют явные схемы с искусственной линейной вязкостью, значительно усложняя при этом разностные схемы [2] и оставляя без внимания доказательство правильности аппроксимации.

Кроме того, алгоритмы решения системы уравнений, должны учитывать законы сохранения втекающих и вытекающих потоков в узлах соединений каналов, т.е. необходимо, чтобы эти потоки «правильно» распределялись между каналами в точках их соединения.

Первая проблема решается сравнительно просто. Известно, что такие системы уравнений необходимо приводить к некоторому каноническому виду путем собственных преобразований искомых функций [3,4]. Однако этот процесс приведения достаточно сложный и чрезмерно усложняет исходную систему гиперболических уравнений. Поэтому предлагается более простой метод, который не сильно усложняет исходную систему уравнений [1]. С этой целью умножим второе уравнение системы уравнений (1) на некоторую функцию тогда получим следующую систему уравнений:

ар „др сди — + К— + Р— = ц,

д1 дх дх ^2)

гди Е ди гс2 дР , (« + ",) .

£— + Еи — + £--+ 5-—и = 0.

5/ ^ дх V дх Р

Далее сложим левые и правые части этих уравнений и после несложных преобразований будем иметь следующее уравнение:

Щ- + ^ + (и + + (Р+ + Щи = 9(1 + «•/„ -■//))■ (3)

д( дг Р дх дх

Теперь возьмем отношение коэффициентов, стоящих перед производными по пространству и времени, от одинаковых функций и приравняем их следующим образом:

15'

Проводя вычисления и приводя подобные члены в соотношении (4), вычислим функцию

\ как

^ = ±Р/с. (5)

Последовательно подставляя положительное и отрицательное значения функции 4 в уравнение (3), придем к следующей системе уравнений гиперболического типа, записанной в каноническом виде:

дР ,ди ^дР гдил

—+ + +€)[-— + ?,—] +г\-и~г2-Р = д(} + Шо

Э/ 5/ дх дх ^

д( д( дх дх

где г\,г2- коэффициенты преобразования при переходе от уравнений (1) к их каноническому виду (6); с - скорость звука, м/с; В - ширина канала, м (в расчетах сечение каналов имеет форму трапеции; В - меньшее основание трапеции); ТМ - тангенс угла наклона между меньшим основанием и боковой стороной трапеции.

При реалистическом предположении, что скорость движения воды в канале меньше скорости звука в воде, из канонического вида системы уравнений Сен-Венана (6) следует наличие

Моделирование движения воды в проводящих каналах польдерных систем

29

двух семейств характеристик. Одних - с положительным тангенсом угла наклона характеристик (первое уравнение с£с/Л=ы+с>0), а других - с отрицательным (второе уравнение ¿с/Л=ы-с<0) и, следовательно, для первого уравнения характеристики приходят на правую границу, а для второго уравнения - на левую границу, как это изображено на рис. 1.

Таким образом, численное решение определится только во всех точках характеристического треугольника (рис.1), а краевые условия должны быть заданы следующим образом. Для первого уравнения системы уравнений (6) краевые условия должны быть заданы на левой границе, а для второго уравнения - на правой границе.

Вторая задача, связанная с выполнением закона сохранения потоков в узлах расчетной схемы ПС, значительно сложней первой, рассмотренной выше. Для ее решения, как оказалось, необходимо основываться на теории направленных графов для нахождения контуров обхода графа ПС, вдоль которых и проводится интегрирование системы уравнений, записанных в каноническом виде. Далее, оказалось необходимым изменить общепринятый алгоритм численного решения этой системы уравнений, основанный на методе матричной прогонки. Это связано с необходимостью выполнения равенства входящих и выходящих из узлов потоков Q (закон сохранения потока в узлах проводящей сети), которое обеспечивается путем подсчета числа обхода каждого открытого канала и постулирования формулы, определяющей значения скорости движения воды в канале и некоторых других концепций. Рассмотрим более подробно такой алгоритм численного решения уравнений Сен-Венана, записанных в каноническом виде.

2. Алгоритм численного решения. Расчет функций Рц и и,у во всех внутренних узлах разностной сетки строится на основе схем бегущего счета.

Полученную таким образом систему разностных уравнений необходимо решать методом матричной прогонки, так как она содержит искомую функцию в трех точках, а именно 1^+1, и +!_,+]. С этой целью приведем систему разностных уравнений к явному трехточечному виду:

А >7 У+1

В/г/+1 + С/г.У = ; !=1,..,,л-1; 7=0,...,Ы,

У 0 0

где вектор 2 = Х| ^э/ х< с' = >

и

Х| ' X/

о о

А;' + С +

1 - тг2 ^ + тг1 1 + тг2 - ^ + тг1

л.-5,",.,

/2, + /-:,-4л„

/1 /2гдгса^о-^/),

где т, Л - шаги интегрирования по времени г и оси х.

Вектор искомых функций определяется следующим рекуррентным соотношением

• У+1 _

У+1

(8)

Подставляя рекуррентное соотношение (8) в систему разностных трехточечных уравнений (7), получаем следующее соотношение:

- в/г/*1 + с/ + щ) = -г/.

(9)

После приведения подобных членов в формуле (9) и вычисления имеем рекуррентное выражение:

г/+1 = (в/ - с/у1 А/г,^1 + (в/ - с/у\р/ + с/щ),

(10)

где (В/ - С/) 1 -обратная матрица.

Сравнивая рекуррентные соотношения (8) с (10), определяем рекуррентные формулы для вычисления прогоночных матриц Е и векторов IV:

1Ем=(В/-С/Е1)'1А/, / = 1,...,и-1

Обратная матрица в формулах (11) имеет вид [ВЦ -¿>12,

(П)

(В,- - С,-£,.)4 =

Д/ д,-

-Д21, Д22,

Д,

Главный определитель матрицы равен: Д,=1)11-.022-.012-.021; В2\=В2\\ Д22,=В22; Д11,=В11--(С11-£11+С12-£21);Г>12=В12-(С11£12+СТ2£2).

Компоненты матрицы прогоночных коэффициентов Е,+\ определяются как

£11,+1=-Л21-Г>12/Д; £121+]=-Л22-Г>12/Д; £21,+1=Л21-Г>11/Д; £221+1=Л22-Г>11, а компоненты вектора прогоночных коэффициентов XV,+1:

хуи^пгг-ич-шг-^/д; \У2/+,=(г>1ът-оп-т)/А, ¡=о,...^-1.

Для начала расчета прогоночных коэффициентов необходимо задать их начальные значения в точке г-0 с учетом наклона характеристик системы уравнений (6) и с использованием задаваемых значений расхода воды на левой границе контура обхода графа ПС (для случая, когда в начале контура обхода установлена насосная станция). Так как на левую границу контура обхода ПС приходят характеристики второго уравнения, что следует из записанных в каноническом виде уравнений (6), то к граничному условию присоединяется это уравнение, и система разрешаемых уравнений на левой границе имеет вид

К. С. Латышев

. гношением (8)

•равнений (7),

(Н)

: 011,=511-

•«12 011,

^.тьные значе-:^:ова.чнем за-^тучая, когда еонтура об-т 3 «.аноничес-. -»стема раз-

Моделирование движения воды в проводящих каналах польдерных систем

А21ор\,;+1 +^22о"и+1 -Я220к0;+| =/20.

зг

(12)

Или в векторном виде

(13)

Рекуррентное соотношение (12) для точки /=0 в векторной форме записывается в следующем виде:

го,+1 -Е.г^нлу,. (14)

Умножая слева соотношение (23) на обратную матрицу Вц' и сравнивая полученное выражение с формулой (14), определяем начальные значения прогоночных коэффициентов Еу и

£111=Л21о/Я21„; £12,=/122о/Я210; £211=0; £22,=0;

(15)

т х=-йТВ22№^\В21 й)+Р2а!В2\й\ т^,.

Искомые функции в узлах разностной сетки рассчитываются обратной прогонкой (ин-

декс ( уменьшается) на основе скалярных выражений:

! =£ 11,+1 £/+1 +£ 12,+1 1 _,+1+1У1,+1; г=ЛГ,-1,...,0;

и^\=Е2\мРм+Е22мици+х+1У2ц\. (16)

С целью учета сохранения расхода воды и его распределения по каналам в узлах расчетной схемы ПС введем функцию скорости движения воды в русле канала в следующем виде:

1(17)

Тогда прогоночные соотношения (16) после подстановки формулы (17) преобразуются в рекуррентное выражение

I Ьгм)5 --—--; , (18)

где

ЮП,+1=£1 1,+1-£12,+|011 Д>12,; К£2,+

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»