МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА КОГЕРЕНТНОГО ОБРАТНОГО РАССЕЯНИЯ СВЕТА В НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ
Е. В. Аксенова* Д. И. Кокорин**, В. П. Романов***
Санкт-Петербургский государственный университет 198504, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 10 ноября 2011 1".
Рассмотрено многократное рассеяние света на флуктуациях директора в ориентированном магнитным полем нематическом жидком кристалле. Путем численного моделирования рассчитан пик когерентного обратного рассеяния. Поскольку для жидкого кристалла точно известна индикатриса однократного рассеяния, вычисления удалось провести без использования каких-либо упрощающих предположений о его параметрах. Процесс многократного рассеяния моделировался как случайные блуждания фотонов в среде. Пик когерентного обратного рассеяния в такой системе чрезвычайно узкий, поэтому применялся так называемый полуаналитический подход. Параметры пика обратного рассеяния, найденные путем численного моделирования, сравнивались с известными экспериментальными данными и результатами аналитических приближений. Оказалось, что экспериментальные данные и результаты моделирования хорошо согласуются между собой. Результаты численного моделирования адекватно описывают анизотропию и ширину пика обратного рассеяния.
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование многократного рассеяния света в жидких кристаллах (ЖК) в течение многих лет привлекает большое внимание [1 9]. Наиболее детально исследуются иематические ЖК (НЖК). Оптические свойства этих систем хорошо известны и, как правило, для них с высокой точностью измерены все необходимые оптические характеристики. С точки зрения проблем многократного рассеяния, ЖК выделены тем, что в них, в отличие от других изучаемых объектов, источником многократного рассеяния являются не отдельные частицы, как в суспензиях, и не структурные неоднородности, как в неоднородных твердых диэлектриках, а тепловые флуктуации ориентации директора. Описание рассеивающих свойств системы частиц даже сферической формы затруднено, поскольку это требует использования формул Ми, которые чрезвычайно чувствительны к размерам частиц в случае малых концентраций, и решения дифракционной задачи для систе-
E-mail: aksevö'mail.ru E-mail: ämitryö'kokorin.orp; E-mail: vpromanovö'mail.ru
мы частиц при больших концентрациях. Еще более сложной проблемой является корректное описание рассеяния на структурных неоднородностях в твердых диэлектриках. В отличие от этих объектов, амплитуда и корреляционные свойства тепловых флук-туаций в ЖК хорошо исследованы как экспериментально, так и теоретически.
Сложность исследования многократного рассеяния в НЖК обусловлена тем, что эта система обладает значительной оптической анизотропией. Поэтому здесь невозможно описывать рассеяние в приближении скалярного поля, как это часто делается для суспензий, а необходимо учитывать поляризационные эффекты.
Порядок в НЖК в общем случае описывается функцией распределения молекул по углам. В случае рэлеевского рассеяния можно ограничиться тензорным параметром порядка второго ранга [10]. Общий анализ всех типов флуктуаций этого параметра порядка был впервые рассмотрен в работе [11]. Было показано, что можно выделить три типа флуктуаций: поперечные одноосные, или флуктуации директора, поперечные двухосные и продольные. Наиболее сильными являются флуктуации директора.
Что касается других типов флуктуаций, их можно наблюдать в режиме однократного рассеяния только в тех геометриях, где отсутствует рассеяние на одноосных поперечных флуктуациях [12]. В режиме многократного рассеяния вследствие хаотизации будут вносить вклад в рассеяние все типы флуктуаций. Поэтому мы ограничимся учетом только наиболее сильных из них, а именно флуктуаций директора.
Одним из наиболее интересных эффектов, обусловленных многократным рассеянием, является когерентное обратное рассеяние. Этот эффект детально исследован теоретически и экспериментально для различных систем [13 15], в том числе и для ЖК [2,3, 7,8,16]. Описание пика обратного рассеяния сводится к суммированию лестничных и циклических диаграмм. Эта задача точно решается для системы точечных рассеивателей [17], а для рассеива-телей конечных размеров или флуктуаций с конечным радиусом корреляции вводятся приближения, точность которых не всегда удается контролировать из-за сложности решаемой задачи.
С другой стороны, к настоящему времени детально разработаны методы численного моделирования, которые позволяют избежать многих трудностей, возникающих при аналитических расчетах. Фактически, численное моделирование можно рассматривать как моделирование реального эксперимента. Однако в этом случае имеется возможность извлекать информацию о всех деталях изучаемого процесса и, в частности, устанавливать степень точности тех или иных приближений, вводимых при аналитических расчетах.
Настоящая работа посвящена численному моделированию когерентного обратного рассеяния в НЖК. Такие расчеты проводились в целом ряде работ [5, 7, 18]. В них был получен пик когерентного обратного рассеяния и проанализировано его поведение в различных условиях. Однако из-за сложности задачи вводились различные упрощающие предположения, такие как одиокоистаитиое приближение, независимость коэффициента экстинкции от направления распространения луча и т. д. Это приводило к тому, что эффект когерентного обратного рассеяния можно было анализировать только на качественном уровне. В данной работе проведено моделирование с учетом реальных параметров ЖК без введения упрощающих предположений. Это позволяет количественно сравнить полученные данные с экспериментом [7, 8] и с результатами аналитических расчетов [16], в которых также учитывались реальные параметры среды.
Работа построена следующим образом. В разд. 2 приводятся необходимые данные по однократному рассеянию в НЖК. В разд. 3 описана процедура моделирования распространения фотонов в НЖК. Выражения для пика когерентного обратного рассеяния получены в разд. 4. Раздел 5 содержит результаты численного моделирования и их сравнение с экспериментальными данными и результатами аналитических расчетов. Основные выводы работы приведены в Заключении.
2. ИНДИКАТРИСА ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТ ЭКСТИНКЦИИ
По своим оптическим свойствам НЖК являются одноосными. Направление преимущественной ориентации задается единичным вектором директора п. Тензор диэлектрической проницаемости имеет вид
£ац(г) = e±àaii + £ana(r)nß(r), (2.1)
где еа = ец еу и е± диэлектрические прони-
цаемости вдоль и поперек вектора директора, 6арj символ Кронекера.
Флуктуации тензора диэлектрической проницаемости, ôeap(r), вызванные флуктуациями директора, представляются в виде
fea/Hr) =£afl(r) =
= еа [n>M(r)+nJ>Äna(r)] , (2.2)
где р = е±бар + равновесный тензор ди-
электрической проницаемости, п° среднее направление вектора директора, 6п = п — п°.
Фурье-образ корреляционной функции флуктуаций диэлектрической проницаемости, Baßlll,(q) = = ко{0£а116е*р)(ц), связан с флуктуациями директора соотношением
2
Baß,n<{q) = kfel +
1=1
+ Щ^ЩцП^п", + Щайи,п1п1 + UiaUißnlnl). (2.3)
Здесь для дальнейшего удобства введен коэффициент kg, ко волновое число в вакууме. Для каждого вектора q введены единичные векторы
ai(qj-) = q±/ч±, a2(q±) = n° х ai(q±),
qy и qj_ компоненты вектора q вдоль и поперек n°, (|ôVt/(q)|2) средний квадрат фурье-компонент флуктуаций директора [10, 19],
]<Mq)|2) =
1-вТ
КиЧ1+К?,?,Чп + \аН'2
/=1,2, (2.4)
угловые скобки обозначают статистическое усредне-
ние, К А
модули Франка, j = 1,2,3, Т темпе-
ратура, кв постоянная Больцмана, \а анизотропия магнитной восприимчивости, Н напряженность постоянного внешнего магнитного поля.
В НЖК индикатриса однократного рассеяния, обусловленного флуктуациями директора, в общем случае имеет вид [20]
V
1
/■(«) = АО___л
<«) (i) (4тг)2Д2 u(i)cosS(i) cos
xffsf^^Ba^A^pelp, (2.5)
где индексы «г» и «я» обозначают тип падающей и рассеянной волн («о» обыкновенная и «е» необыкновенная), V рассеивающий объем, R расстояние от рассеивающего объема до точки наблюдения, q = k(s) — , k(s) и волновые векторы рассеянного и падающего света, и векторы поляризации рассеянного и падающего света, и углы между волновыми векторами рассеянного и падающего света и вектором Пойнтин-га, интенсивность (модуль вектора Пойнтинга S(j)) падающего света,
J(j) - lS(i)
= cos ¿>('
4тг (i'
CKO-
Е^ амплитуда поля падающего света, с рость света в вакууме. В формуле (2.5) коэффициенты имеют вид
п{о) =
п(с) =
, COS2 в(.
COS
№ =
cos 6{о) = 1, ец cos2 9С + £± sin2
(2.6)
(2.7)
£?, COS2 9с
9 • 2
• ei sm
/(о) - 1. f(c) - ттт sin2
2 9r. + en cos2 9C) x
12 -2
x I sm
9C + e\ cos2 0C) , (2.8)
Jo)
e(o) = n x s
s'^en cos9C — n
e(c) =
(ец cos2 9C + e± sin2 9(.) ^.9)
71/2 '
sin 9C (e2 cos2 9C + е'2± sin2 9C
9С угол между волновым вектором необыкновенной волны и вектором директора, 8 и = г, я) единичный вектор, направленный вдоль волнового вектора.
Будем считать, что в системе отсутствует собственное поглощение. Тогда длина свободного пробега фотона связана с коэффициентом экстинкции соотношением
1
ТШ( stny
Коэффициент экстинкции определяется иитеисивио-стыо рассеяния в полный телесный угол и для одноосной среды имеет вид
г и
)(k(i)) =
1
Ji)Ji) -о СЦ
(4тг)2 n^cos2^)
Ef 1
/ di}k(s)Baiil_li,(q)-
We^el»
cos2 ¿>(s)
(2.10)
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Будем моделировать процесс многократного рассеяния с помощью метода Монте-Карло. Геометрия системы приведена на рис. 1. Ориентированный НЖК заполняет полупространство г > 0. Вектор директора лежит в плоскости границы. Ориентация НЖК поддерживается с помощью постоянного внешнего магнитного поля напряженностью Н.
Рис.1. Геометрия, используемая для расчета эффекта когерентного обратного рассеяния. Рассеивающая среда занимает полупространство г > 0, волна падает вдоль оси г. Рассеянный свет собирается под малым углом отсчитываемым от направления, обратного направлению оси г. Директор п" направлен вдоль оси х. Здесь й5 — азимутальный
угол, R;
расстояние от точки влета фотона до
точки вылета п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.