Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Беляев И. В.
(Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники»)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕМОЛИЗА В ИМПЛАНТИРУЕМЫХ НАСОСАХ КРОВИ
В мире большое количество людей страдают от сердечной недостаточности. Решению этой проблемы может помочь создание устройств, поддерживающих сердечно-сосудистую деятельность пациента. При этом важно качественно смоделировать работу вспомогательного устройства.
При протекании крови через насос в нем возникает давление, которое воздействует на эритроциты, в результате чего происходит их разрушение с последующим выделением гемоглобина. Этот процесс называется гемолизом, а воздействующее давление на эритроциты -сдвиговым напряжением.
Для работы с потоком крови, протекающим через вспомогательное устройство, основным способом прогнозирования разрушения эритроцитов является использование степенной модели Гериспена:
«(к) - 3.62 - Ю-Ч*1*^0'™*
где Тп (Па) - напряжение сдвига, ЛХ (с)- время воздействия напряжения сдвига на эритроциты.
Целью данного исследования является разработка модели гемолиза крови в случае, если разрушение эритроцитов крови подчиняется степенному закону, зависящему от напряжения сдвига и времени воздействия на входную последовательность. Моделирование гемолиза представляет собой построение математической модели динамики гемоглобина потока крови, проходящего через имплантируемое устройство.
Поток представим в дискретной форме. Взаимодействием между клетками крови пренебрегаем. Значение напряжения сдвига можно считать постоянным на интервалах дискретизации.
Так как на входную последовательность потока крови постоянно действует напряжение сдвига, то выходная последовательность также может быть представлена в виде степенного уравнения:
7с(п) = Ст£(чЩ?.
Затем, выражение л0"1733 из Ус(и) было аппроксимировано с использованием метода наименьших квадратов:
ус(ц) = 3.62*10-5* * (Дг)3'75**- (61.14 * в™016**" - 58.63 * е-"0518*)
Таким образом, зная входную и выходную последовательности, можно найти передаточную функцию, которая определяется отношением Ъ - предобразованием выходного сигнала
к входному:
В результате преобразований получили передаточную функцию, которая представляет собой взаимосвязь между значением выделенного гемоглобина и напряжением сдвига, воздействующим на эритроциты:
нш =
(*- Д.ООЗ) (i — 0.9948)"
С использованием метода переменных состояний представим передаточную функцию в следующим в виде:
(2-1002) (а-1,002?
где
М
1.002 О О 0.994-!
J'в = [ 0?! £ = [0.3913 0.009]] II ¿? = 2.52
Откуда была получена следующая система, которая учитывает предыдущее состояния крови:
X(j0 = te{n- D + BnOi-1), уСи) = ExCn)H-Du(n),
где x(n) называется переменной состояния значения гемоглобина.
Из системы уравнений получим формулу, которая вычисляет значение гемоглобина и при этом учитывает «историю» системы:
у(п) = ЕАах(0)+ Е^А1_1Ви{и - L) + Du(n}.
При реализации полученной модели были исследованы три различных начальных состояния:
1) нулевое начальное условие, т1_0 = (0).
2) среднее начальное состояние, _1 = (-0,31), где пороговое значение было получено
при отрицательном значение сдвигового напряжения.
3) Начальное условие калибровки, т1_2 = (0,53), где пороговое значение было получено при положительном значение сдвигового напряжения.
4) Экспериментальные значения.
Рис.1. «Результаты моделирования гемолиза»
Выводы:
Данная модель учитывает пороговые значения и довольно точно предсказывает значения гемолиза после прохождения потока крови через насос.
Процесс определения точных значений напряжения сдвига для процесса калибровки не возможен, так как нельзя заранее знать по какому закону изменяется значение напряжения сдвига.
Полученная модель может быть использована при разработке новых конструкций имплантируемых насосов крови.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dhruv Arora, Marek Behr, Matteo Pasquali. A Tensor-based Measure for Estimating Blood Damage / Artificial Organs. Vol. 28, No. 11, 2004 P. 1002-1015.
2. M. Ertantaskin, Katharineh. Fraser, Taozhang, Changfu Wu, Bartleyp. Ggriffith, An-dzhongjunj. Wu. Evaluation of Eulerian and Lagrangian Models for Hemolysis Estimation / ASAIO Journal 2012 P. 363-372.
3. Katharine H. Fraser, M. Ertan Taskin, Bartley P. Griffith, and Zhongjun J. Wu. The Use of Computational Fluid Dynamics in the Development of Ventricular Assist Devices / Med Eng Phys. 2011 April ; P. 263-280
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.