МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.374:539.214
© 2008 г. Е.Н. ЧУМАЧЕНКО
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЕЧЕНИЙ ОБОЛОЧЕК ПРИ СВЕРХПЛАСТИЧЕСКОЙ ФОРМОВКЕ
Необходимость разработки и оптимизации новых технологических процессов газовой формовки оболочек в условиях сверхпластичности, обеспечивающих большую вытяжку и сложность формы готового изделия, ставит перед специалистами в области математического моделирования задачи постоянного усовершенствования имитационных моделей. В силу большого числа "вложенных" нелинейностей (физические свойства материала, трение, неизвестные границы) такие задачи при своем решении требуют большого компьютерного ресурса, высокой квалификации разработчиков и существенных трудозатрат.
В работе рассматриваются проблемы экспресс-анализа формоизменения пространственных оболочек на основе оценки поведения их критических сечений. Приводятся решения задач о формовке титановых (из сплава ВТ6) оболочек в матрицу сложной формы. Теоретически и экспериментально обосновывается методика прогнозирования и построения оптимальных технологических процессов деформирования оболочек в условиях, близких к сверхпластичности с применением приемов 2.5D проектирования.
1. Построение приближенного решения. Обычно при анализе пространственного формоизменения с помощью плоских сечений деформируемого изделия предполагается, что характерный размер в направлении, ортогональном сечению, многократно превышает характерный размер самого сечения.
Пусть сечение выбрано в плоскости (x, y) при z = const. Реализация плоскодеформиро-ванного состояния подразумевает, что
¿33 = 0, ¿13 = é23 = 0, о13 = о23 = 0, о33 ф 0 (1.1)
а скорости перемещения имеют вид
u1 = q1(x, y), u2 = q2(x, y), u3 = 0 (1.2)
Построенное таким образом решение не учитывает деформации, возможно возникающие в направлении оси Oz при формоизменении реального изделия.
В работе [1] была предложена модель, позволяющая уточнить решение, полученное в предположении реализации в изучаемом объекте плоскодеформированного состояния.
Пусть для каждого фиксированного значения z = const, взятого в очаге деформации вдоль оси Oz, одновременно имеют место две группы равенств: первая - для компонент тензора напряжений, а вторая - для компонент тензора скорости деформаций
Оп = 011 (x, y), Ö22 = Ö22(x, y), O^ = Ö12(x, y), O^ = O23 = 0, O33 = 033^, y) (1.3)
én = én(x, y), ¿22 = É22(x, y), ¿12 = é^x, y), ¿13 = ¿23 = 0, ¿33 = 9(x, y) (1.4)
Упрощения, которые возникают в основных уравнениях в этом случае, позволяют искать решение в рассматриваемом сечении независимо от связи между компонентами тензоров напряжений и скоростей деформации, в виде
ux = q1(x, y), u2 = q2(x, y), u3 = (C + Ax + By)z (1.5)
Перейдем теперь к конечноэлементной аппроксимации задачи о формоизменении сечения пространственной оболочки. Положим A = B = 0 и будем считать, что внутри каждого элемента компоненты скоростей перемещений представляются соотношениями вида (1.5).
Пусть x и y координаты точки при z = const, а u1 = u и u2 = u - соответствующие скорости перемещения. Скорости деформации выражаются через скорости перемещения следующим образом [2]:
е x = д u/dx, е y = du/dy, е z = c, zxy = jxy/2
(1.6)
Yxy = д u/dy + ди/д x, exz = eyz = 0
Связь между напряжениями и скоростями перемещений, характеризующая физическое состояние среды в условиях сверхпластичности [1], имеет вид:
0ij = V(Ui, j + Uj, ,) + Заметим, что
К A t -2 ц] up- р + о*
§j(1.7)
= = 0, öz = 2ц с + ( KAt - 2 ц|е + о *
Здесь е характеризует скорость изменения объема:
е = ех + е у + е z = 3 е = д u/dx + ди/д y + с (1.8)
где K - коэффициент объемного сжатия; ц - нелинейный коэффициент вязкости, представляющий собой функцию интенсивности скорости деформации и, вообще говоря, зависящий от ряда физических параметров [3]; о* - накопленное гидростатическое давление.
Задача ставится и решается в условиях квазистатики, т.е. на каждом шаге деформирования At считаются выполненными условия равновесия. Граничные условия могут быть заданы в напряжениях, в скоростях перемещений и быть смешанного, контактного типа [4]. Разрешающие уравнения метода конечных элементов могут быть построены с использованием принципа минимума энергии в соответствии с методикой, изложенной в работах [1, 5].
2. Последовательность выполнения операций при расчете формоизменения критического сечения оболочки. Прежде всего, по чертежам конечного изделия или по конфигурации штамповой оснастки необходимо определить направления средней максимальной и средней минимальной вытяжки. Рекомендуется при выборе системы координат за направление Oz выбирать направление минимальной относительной вытяжки, в котором
ln (l/10 min (2.1)
где l0 - начальный характерный размер сечения; l - длина образующей средней линии оболочки в рассматриваемом сечении после формовки (или длина контура соответствующего сечения гравюры штампа).
МММ
P(t)
Фиг. 1
Направление Ox выбирается как наиболее характерное или наиболее опасное с точки зрения вероятной потери сплошности при формовке или максимальной вытяжке. Ось Oy выбирается в направлении действия давления P(t) и деформирования оболочки (фиг. 1).
Далее, в сечении (x, y) следует определить значение x*, окрестность которого (x* - ю, x* + ю) будет непосредственно контролироваться при расчете. Определяются также края закрепления оболочки в сечении (x, y): (xmin, 0) и (xmax, 0).
Затем выбираются k точек x¡ е [x,
mm' yvmax-
, 1 = 1, 2, ..., к. Через эти точки проводятся плоскости, ортогональные оси Ох. Затем вычисляются средние, по полученным сечениям, деформации
ezz(x;) = ln (l;/l0)
(2.2)
где I; - начальная длина 1-го сечения оболочки; 1г - длина соответствующего контура сечения штампа. Значения егг(х1) равномерно или неравномерно распределяются по всему отрезку [хт;п, хтах], на котором определено сечение.
По значению х* находится х, для которого егг(х;) = егг(х*), и осуществляется нормировка
д(х) = е„(х1-)/е„(х *), д(х *) = 1
(2.3)
причем, вообще говоря, координаты х, и х* могут совпадать.
Далее необходимо осуществить решение плоской задачи в сечении штампа и оболочки плоскостью (у, г) в точке х = х*. Расчет формоизменения сечения осуществлял-
у
о
z
Фиг. 2
ся с помощью метода конечных элементов вычислительной системой 8РЬБМ (www.kommek.ru). При этом в отмеченной зоне Q, в окрестности точки x* (фиг. 2), рассчитываются средние деформации егг в зависимости от высоты h, т.е. е* (Мф для Vx е Qд(x*). В процессе формовки высота h изменяется от 0 до Нтах (высота hmax ограничена глубиной штампа).
Таким образом, будет получена функция
е*г(Н(0)
I егУ / I
, в* е OA(x*)
(2.4)
н = ад
где ^ - соответствующие площади треугольников конечно-элементной аппроксимации окрестности OA(x*).
Полученный график е* (h(t)) позволяет уточнить значения е--(хг), полученные ранее из геометрических соображений, а также увязать эти значения с текущей высотой куполообразной оболочки.
Действительно, так как
е*МР)) - е*-(х*, Н(ф
то
ея(х;, h(t)) = е*-(х*, Н(Шх)
(2.5)
(2.6)
Воспользовавшись соотношением (2.6), построим специальную матрицу компонент е^(хг, нр, г = 1, 2, ..., к; ] = 1, 2, ..., п в сечении (х, у) в зависимости от координаты х и высоты Н = Н(0 в точке х* (см. таблицу):
Й1 к2 К
х1 ен(х1, Ь) егг(x1, К„)
х2 ен(х2, К) ен(х2, К) Кп)
хк егг(xk, К1) егг(xk, К2) егг(х/Ь Кп)
У
х
в
s
(a)
l_i 3 2 Сечение по x*
30 20 10
0 20 40
I I
/ •s
/ \
60 i 80 100 120 140
zi z0
(b)
2-2
Сечение по z0
\
Л \ ✓ Л
/ \
20 40 6С -3 80 100 120 14 Сечение по z1
\
/ N S V
/ s
0
Фиг. 3
20 40 60 80 100 120 140
x*
При этом полагаем, что егг = 0 при всех х < хг и х > хк. Очевидно, что в этих зонах и
е zz - 0.
Примем, что егг, в соответствии с данными таблицы, не изменяется на отрезке [(х; _ 1 + х^/2, (х, + х, + 1)/2] и равно егг(х1-)|А, а на отрезке [Н, Н, + функция е^ изменяется по линейному закону. Если хт е [(х,_ 1 + х1)/2, (х, +х, + 1)/2], а Н е [Н, Н + 1], то
ezz(xm, Л) =
£zz(xm' Л i
■ 1) - ezz(xm, Л i) , . £zz(-Xm' Лhi + 1 - £zz(-Xm' hi + 1)Лi
hi + 1- л1
Л1 +1- hi
(2.7)
Далее, в каждый момент времени может быть определено поле скоростей деформаций егг (х, ?) в соответствии с заданной матрицей деформаций (таблица).
Полученное решение будет непрерывным во всех внутренних точках конечно-элементной аппроксимации. Разрывы в решении по третьей компоненте, вдоль оси Ог, могут быть только на границах элементов. В среднем по ансамблю эта погрешность не приведет к фатальным результатам.
Построенная аппроксимация дает более точное приближение решения, полученного в сечении оболочки, к реальному пространственному напряженно-деформированному состоянию оболочки.
3. Выполнение расчетов тестовых изделий и сравнение полученных прогнозов с экспериментами. Рассмотрим формовку изделия типа "овраг". Общий вид штампа в сборе для его изготовления показан на фиг. 3. В соответствии с ранее указанными общими соображениями, направление оси Ог выберем вдоль продольной выемки в штампе, а ось Ох ортогонально к оси Ог и проходящей через центральное сечение штампа. Для соответствующих точек х1 по геометрии штамповой оснастки определим начальные длины
1-го сечения оболочки , длину соответствующего контура сечения штампа 1, дефор-
мации егг(х1) = 1п(1/10 ) и нормированные величины д(х) по соотношению (2.3).
1
3
3
Фиг. 4
Далее, выберем вспомогательное контрольное сечение вдоль оси О- при х = х* = 63 мм. В планиметрии это сечение имеет вид, показанный на фиг. 3, а. В этом сечении выполним расчет формоизменения плоского сечения оболочки начальной толщины 1мм при условии поддержания состояния сверхпластического течения в среднем по объему [6]. Управляемый режим формовки осуществляется без ограничения на максимальное значение давления (Ртах) при Т = 825°С. Коэффициент трения при скольжении оболочки по поверхности штампа в интерпретации [1, 4] принят равным 0.3. В процессе расчета формоизменения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.