научная статья по теме МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ УРОВНЯ ОЗЕРА КИНЕРЕТ Геология

Текст научной статьи на тему «МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ УРОВНЯ ОЗЕРА КИНЕРЕТ»

ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2014, том 41, № 6, с. 565-572

ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕЖИМ ВОДНЫХ ОБЪЕКТОВ

УДК 551.461

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ УРОВНЯ ОЗЕРА КИНЕРЕТ © 2014 г. И. А. Кожевникова*, В. И. Швейкина**

*Московский государственный университет 119991 Москва, ГСП-1, Ленинские Горы E-mail: irina_kozhev@mail.ru **Институт водных проблем РАН 119333 Москва, ул. Губкина, 3 E-mail: shveik@aqua.laser.ru Поступила в редакцию 20.02.2013 г.

В качестве модели колебаний уровня оз. Кинерет использовано автономное дифференциальное уравнение со случайной возмущающей силой. Моделированная траектория, отвечающая этому уравнению, качественно отражает особенности колебаний уровня оз. Кинерет. Дан предварительный прогноз достижения минимального уровня.

Ключевые слова: полиномиальная регрессия, состояние равновесия, потенциал, корреляционная функции, периодограмма, метод наименьших квадратов, фазовая диаграмма, вероятностный прогноз, матеатическое моделирование.

Б01: 10.7868/8032105961406011Х

Кинерет (более известное как Галилейское или Тавериадское) — небольшое проточное озеро, его площадь — в среднем 165 км2, площадь водосбора — 2730 км2, максимальная глубина ~45 м. Озеро расположено в Иорданской рифтовой долине значительно ниже окрестностей (разница высот ~550 м). С севера в оз. Кинерет впадает несколько рек, берущих начало на Голанских высотах, в том числе Иордан, которая затем вытекает с южной стороны озера. Озеро — относительно проточное, так как объем поступающей в Иордан из озера воды регулируется с помощью специальных гидротехнических сооружений. Когда в 1964 г. возводилась дамба Дганья, предполагалось, что из озера в Иордан не попадет ни капли воды. В настоящее время дамба открывается, когда уровень воды в озере достигает отметки —208.8 м абс. Следует отметить, что за весь период инструментальных наблюдений (1966—2011 гг.) такое событие происходит не часто и длится очень недолго (рис. 1). В связи с этим оз. Кинерет трудно считать по-настоящему проточным. Уровень воды в озере подвержен изменениям в течение года в зависимости от количества осадков и потребления воды. На протяжении нескольких лет до 2009 г. зимы были засушливыми, и уровень воды в Кинерете упал ниже "красной черты" (213 м ниже уровня моря (н.у.м.)). В 2009 г. уровень озера достиг отметки —214.37 м абс. Подобное падение грозило

нарушением экологического равновесия и ухудшением качества воды. Возникла также опасность снижения уровня Кинерета до "черной черты" (214.87 м н.у.м.), когда забор воды из водоема становится невозможным.

Подобная ситуация складывалась и в 2001 г., когда уровень достиг критической отметки в —214.87 м абс. Тогда был разработан чрезвычайный план сбережения водных ресурсов. Но пошли дожди, и все забыли о водном кризисе. В мае 2011 г. к авторам настоящей статьи обратился профессор Р.М. Дигилов (Израиль, Технион — Израильский технологический институт (Tech-nion — Israel Institute of Technology)) с просьбой определить устойчивые состояния равновесия и рассчитать вероятность достижения критического уровня, чтобы знать, как часто возникают опасные для жизни ситуации. Для определения положения равновесных состояний и расчета вероятности прежде всего необходимо построить стохастическую модель и, что особенно важно, доказать ее адекватность. Именно этому вопросу посвящена статья.

АВТОНОМНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Весь используемый в исследованиях статистический ряд (1966—2011 гг.) содержит данные на-

-208 г

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015

Время, годы

Рис. 1. Колебания уровня оз. Кинерет (01.09.1966-31.12.2011).

блюдений, которые проводились через разные промежутки времени. В период с 2011 по 2013 г., когда возникла опасность достижения критического уровня, замеры стали выполняться ежедневно, тогда как в предыдущие годы наблюдения фиксировались 2-3 раза в месяц. Для проведения анализа имеющегося ряда построена выборка через одинаковые промежутки времени, содержащая два наблюдения в месяц (рис. 1). В колебаниях уровня ярко выражена годовая периодичность, и можно предположить, что имеется, по крайней мере, два устойчивых состояния, около которых происходят колебания.

Рассмотрим колебания уровня озера в плоскости (уровень, приращения уровня), тем самым будет исключена зависимость колебаний уровня от времени в явном виде. Исходные данные на этой плоскости будут представлены множеством точек. Для этого множества построим выборочную функцию, характеризующую меру разброса экспериментальных данных около некоторой функции g(x), называемой регрессией. Пусть функция g(x) непрерывна на заданном конечном отрезке. Наиболее часто используемая мера разброса —

б(8) = ХП=1 ( - 8(х)) (У - ордината, х- - абсцисса экспериментальных наблюдений). Наилучшая функция g(x) - та, на которой функция б (8) достигает минимума. Воспользуемся теоремой Вейерштрасса [2], которая утверждает, что любую непрерывную на конечном отрезке функцию можно приблизить алгебраическим полиномом с любой заданной точностью.

Полиномиальную регрессию (алгебраический полином 5-й степени) впервые для анализа статистических данных применил Т. Озаки [9], который назвал свою нелинейную модель пороговой авторегрессией. Следуя этой идее, применим полиномиальную регрессию для анализа колебаний уровня оз. Кинерет.

Рассмотрим параметрическую модель вида: АН = Ф(Н) + у(0,

где Н - уровень водоема, АН - его приращения, у(0 - случайная вынуждающая сила, Ф(Н) - алгебраический полином, называемый регрессией. Регрессию, заданную приведенным выше уравнением, будем впоследствии называть автономной (независящей от времени), и в дальнейшем рассматриваются регрессии только этого вида. В автономное уравнение или в систему автономных уравнений явно не входит независимая переменная (время). Это означает, что закон изменения неизвестных функций, описываемых автономным уравнением или системой автономных уравнений, не меняется с течением времени, что характерно для физических законов [5]. И, следовательно, решение такого уравнения можно экстраполировать за пределы рассматриваемого интервала времени, в отличие от водно-балансовых соотношений, которые верны только для того интервала времени, для которого они построены.

Во избежание ошибок при округлении в вычислениях статистические данные наблюдений Н(0, t = 1, ..., N были нормированы с помощью преобразования [7]:

ти

с о н ь л ве

ав

ро

дд

ае вл кс

а по

п

О

3.000 2.998 2.996 2.994 2.992 2.990 2.988 2.986 2.984 2.982

3

6 7 8 9 10 Порядок регрессии

Рис. 2. Зависимость суммы квадратов остаточной последовательности от порядка регрессии.

у 2И ) - Итах - И

(Г) = И - И

-*--*- тяу ггпп

Итах = тах И (?),

1<(<N (1)

Итт = т1и И(?), у (?)| < 1.

N-1

о(а0,аь ...,ак) = £

Г=1

у (Г + 1) - у (г) - £ аУ (?)

I=0

215

213

-211 -209

Уровень м абс.

1« <N

Стандартный метод построения параметрической регрессии основан на использовании следующей линейной относительно параметров дифференциально-разностной модели [1, 7]:

У(? + 1) - ДО = Ф(2(0) + у®(0, (2)

где

к

Ф (у (? )) = X аУ Ц),

(=0

а у(к)(?) — остаточная последовательность регрессионной модели порядка к. Предположим, что эта последовательность стационарна в широком смысле [3]. Распределение у(к)(?) определяется в результате исследования. Оценки параметров а( определяются из условия минимума функции 0:

где к — степень полинома, N — число статистических данных наблюдений. Функция 0(а0, а1, ..., ак) достигает минимума в точках, где производные по соответствующим параметрам обращаются в ноль. Полученные уравнения — линейные относительно параметров [1, 7].

Степень полинома выбирается при условии стабилизации суммы квадратов остаточной последовательности. Такие суммы были вычислены для полиномов 3, 4, ..., 9 степени (рис. 2). На основании приведенных значений считаем, что остаточная сумма квадратов нормированных данных стабилизируется при к = 7 и дальнейшего увеличения порядка регрессии не требуется.

Рис. 3. Полиномиальная регрессия 7-го порядка в абсолютном масштабе.

Для нормированных по формуле (1) данных наблюдений за уровнем водоема с 1966 по 2011 г. методом наименьших квадратов получена регрессионная зависимость в виде полинома 7-й степени (рис. 3):

Ф(У) = 0.0035 + 0.0176Д0 — 0.0766У2(?) -

— 0.1393У3(?) + 0.2609У4(?) + 0.3257У5(?) - (3) - 0.2381У6(?) — 0.2683У7(?).

Равновесные положения уровня являются корнями уравнения Ф(У) = 0 [5] и принимают для нормированных данных следующие значения:

У1 = -0.587, У2 = -0.141, У2 = -0.327.

Характерная особенность полинома Ф(У) — наличие трех действительных корней, которые дают значения уровней, являющихся положениями равновесия:

Н1 = -213.494 м абс., Н2 = -212.004 м абс., Н3 = -210.444 м абс., что согласуется с рис. 1.

Знак производной в точках Н^, ] = 1, 2, 3, означает состояние: устойчивое (знак "—") или неустойчивое (знак "+") [5]. Для наглядности движения идеальной точки между устойчивыми состояниями равновесия под действием случайной вынуждающей силы рассмотрим потенциал

и (И) = -|Ф (И)1И. Минимумы потенциала соответствуют устойчивым состояниям равновесия, максимумы — неустойчивым, при этом точки экстремумов и(Н) совпадают с корнями Ф(Н). Потенциал и(И) в случае оз. Кинерет (рис. 4) имеет два минимума: в точках Н1 = - 212.9 м абс., Н3 = = -210.4 м абс. (устойчивые уровни) и максимум в точке Н1 = -212.1 м абс. (неустойчивый уровень).

4

5

0-1-1-1-1-1-1-1-1

-216 -215 -214 -213 -212 -211 -210 -209 -208

Уровень м абс.

Рис. 4. Потенциал регрессии 7-го порядка.

а р

1-1

о ч

о р

е

С

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

0.45 0.50 Частота, Гц

Рис. 5. Периодограмма остаточной последовательности после удаления полиномиальной регрессии 7-го порядка. Вершина пика равна 496 на частоте V = 0.041705.

3

2

1

0

Для моделирования траектории необходимо провести исследование остаточной последовательности. Если остаточная последовательность - последовательность независимых случайных величин, то она уже не содержит информации, заложенной в исходных данных, и построенная модель адекватна исходным данным. Оценка корреляционной функции остато

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком