КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
У V 530.145+004.42
МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАНТОВОГО ИСПРАВЛЕНИЯ ОШИБОК С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА QuantumCircuit*
© 2013 г. В. П. Гердт А. Н. Прокопеня 2 3
1 Объединенный институт ядерных исследований, Россия
141980 Дубна
2
02-787 Варшава, ул. Новоурсыновска, 166 3 Брестский государственный технический университет, Белоруссия, 224017 Брест, ул. Московская, 267 E-mail: gerdt@jinr.ru, prokopenya@brest.by Поступила в редакцию 31.08.2012
В статье обсуждается проблема моделирования квантовой коррекции ошибок с помощью кодов, исправляющих ошибки. Представлены конкретные примеры исправления ошибок с помощью квантовых схем, построенных и смоделированных с помощью пакета "СЗиагйитСпхш!;", написанного на языке системы компьютерной алгебры МаЛетаЫса.
1. ВВЕДЕНИЕ
Квантовое вычисление [1, 2] - это унитарное преобразование 2п-мерного вектора состояния регистра памяти, содержащего п куби-тов, осуществляемое набором квантовых вентилей (гейтов). Квантовые вентили действуют на один или несколько кубитов в определенной последовательности, задаваемой квантовым алгоритмом, который можно представить в виде диаграммы, называемой квантовой схемой.
п
соответствующая унитарная матрица имеет размерность 2п х 2п, что означает экспоненциальный рост ресурсов, необходимых для ее вычисления. Поэтому для моделирования квантовых схем на классическом компьютере требуются эффективные алгоритмы вычисления унитарных матриц, ряд таких алгоритмов представлен нами в работе [3]. Описанные алгоритмы, а также процедуры интерактивного построения соответствующих квантовых схем и их графического представления реализованы в виде пакета С^иапШтСЛгсий, написанного на языке системы компьютерной алгебры МаШетаМса [4].
* Исследования, представленные в настоящей работе, были частично поддержаны грантом РФФИ 01-01-00200.
Дальнейшее развитие встроенной алгоритмической базы пакета за счёт включения в него таких основных квантовых алгоритмов, как алгоритм Шора целочисленной факторизации и алгоритм Гровера поиска в неотсортированной базе данных представлено нами в недавней работе [5].
Выполняемое пакетом СЗиапШтСЛгсий вычисление унитарной матрицы, определяемой квантовой схемой, моделирует вычисление, производимое идеальным квантовым компьютером. В реальном же квантовом компьютере все действующие на кубиты гейты „шумят", т.е. воздействие на них физического оборудования сопровождается появлением ошибок в квантовом состоянии кубитов, что приводит к потере информации в процессе квантового вычисления. Другим источником ошибок является взаимодействие кубитов с окружающим квантовый компьютер оборудованием и внешними силовыми полями, что также приводит к потере квантовой информации. Более того, из-за них через какое-то время (время декогеренции) происходит разрушение суперпозиции в квантовом состоянии кубитов - деко-геренция, и поэтому время вычисления на реальном компьютере должно быть меньше времени декогеренции.
Потерю информации, если она не очень велика, т.е. при определённых ограничениях на величину возникающих шумов, можно восстановить используя квантовую коррекцию ошибок, которая играет важнейшую роль в квантовой информатике и является квантовым аналогом коррекции ошибок в классической информатике. Разработка теории квантовых кодов, корректирующих (исправляющих) ошибки, была начата Питером Шором в [6] и затем развита далее многими авторами (см., например, монографии [1, 7, 8], изданные на русском языке, и библиографические ссылки в них).
В настоящей работе мы представим алгоритмическое расширение пакета QuantumCircuit, направленное на моделирование квантовой коррекции ошибок с помощью кодов, исправляющих ошибки. Будем предполагать, что ошибки могут возникать под действием шума при передаче квантовых состояний по каналам связи, а кодирование и декодирование квантовых состояний выполняется без ошибок. Кроме краткого описания основных идей квантовой коррекции ошибок мы иллюстрируем её применение на конкретных примерах с использованием квантовых схем, построенных и промоделированных с помощью реализации пакета QuantumCircuit на языке системы Mathematics 8.
2. КВАНТОВЫЙ КОД, ИСПРАВЛЯЮЩИЙ КЛАССИЧЕСКИЕ ОШИБКИ
Проблема коррекции ошибок хорошо известна из теории классических компьютеров, где она решается за счет кодирования и использования дополнительной информации. Предположим, например, что требуется передать один бит информации по классическому каналу с шумом. Поскольку классическая информация легко копируется, в простейшем случае к информационному биту добавляются две копии, т.е. значения бита 0 и 1 заменяются соответственно на ООО и 111. При этом передаваемые строки ООО и 111 играют роль нуля и единицы соответственно и называются логическим 0 и логическим 1. При передаче каждый из трех битов, составляющих логический бит, может быть инвертирован под действием шума, причем изменения битов происходят независимо друг от друга. Если вероятность изменения одного бита p < 1/2, то вероят-
ность одновременного изменения двух или трех
битов будет 3p2(1 — p) + p3 < p и при достаточ-p
более вероятной ошибкой, возникающей при передаче логического бита, является инверсия одного из трех битов. В этом случае восстановление исходного бита при декодировании из трех полученных битов осуществляется по большинству, т.е. строки вида ООО, 100, 010, 001 соответствуют исходному биту 0, а строки 011, 101, 110, 111 - исходному биту 1. Просмотр получаемых битов не представляет проблемы в классических вычислениях и потому возникающие при передаче информации ошибки можно легко идентифицировать и исправить при декодировании. Хотя с ростом интенсивности шумов требуются более сложные методы коррекции ошибок, в основе таких методов всегда лежит идея добавления избыточной информации к сообщению при кодировании.
Следует отметить, что непосредственное использование идеи копирования кубитов при конструировании кодов, исправляющих квантовые ошибки, не представляется возможным, так как копирование произвольного состояния кубита запрещено теоремой о невозможности клонирования (см., например, [1, 2, 7]). Кроме того, измерение состояния кубита, необходимое для сравнения с другими кубитами, полностью разрушает это состояние и восстановление исходной информации оказывается невозможным. Чтобы разобраться с методами решения указанных проблем и идеями квантовой коррекции ошибок, сначала рассмотрим простейший случай, когда единственной ошибкой, возникающей при передаче квантового состояния по каналу связи, является инвертирование битов. Это означает, что под действием шума произвольное квантовое состояние |,) = а|0) + в|1), где комплексные числа а и в удовлетворяют условию |а|2 + |в|2 = 1, переходит в |,) = а|1) + в|0). Ошибки такого типа называются классическими ошибками. Требуется закодировать состояние , так^ чтобы можно было обнаружить возможное инвертирование битов, не измеряя состояние кубита, и затем восстановить его исходное состояние при обнаружении ошибки.
Рассмотрим два дополнительных кубита, пер-
|0)
помощью квантовой схемы, изображенной на рис. 1, закодируем следующим трехкубит-ным состоянием:
|Ф) = а|000) + в|111)
(1)
Рис. 1.
Квантовая схема для кодирования состояния кубита а|0) + в|1) трехкубитным состоянием а|000) + в| 111)-
Предполагая, что вероятность инверсии одно-IX) кубита достаточно мала, можно исключить из рассмотрения случаи одновременной инверсии двух или трех кубитов и считать, что наиболее вероятной ошибкой, возникающей в процессе передачи состояния |Ф), является инвертирование только одного из трех кубитов. Для моделирования такой ошибки достаточно применить к соответствующему кубиту логический элемент Паули X. В результате па выходе получим одно из трех состояний:
|Фо) = а|001) + в|110) , (2)
|Ф1> = а|010) + в|101) , (3)
|Ф2> = а| 100) + в|011) . (4)
Напомним, что нумерация кубитов на квантовой схеме обычно производится снизу вверх, начиная от нуля. Поэтому состояние |Ф»), (г = 0,1, 2) соответствует инверсии г-ого кубита.
Легко видеть, что векторы (1) (4) принадлежат к взаимно ортогональным двумерным подпространствам, которые вместе составляют пространство состояний трех кубитов размерности 23 = 8. Поэтому для обнаружения и идентификации ошибки, возникающей при передаче трех-кубитового состояния, достаточно выяснить, к какому из подпространств принадлежит получаемое состояние. Эта проблема решается путем подбора двух коммутирующих эрмитовых
операторов Ц и И2, удовлетворяющих условию и2 = и2 = 1, V которых состояния (1)-(4) будут собственными векторами, соответствующими различным наборам собственных значений. Очевидно, каждый из операторов Ц и Ц имеет собственные значения ±1, из которых можно составить равно четыре различных комбинации. Поскольку состояния вычислительного базиса кубита |0) и |1) являются собственными векторами оператора Паули 2, соответствующими собственным значениям ±1, операторы Ц и Ц можно построить из операторов 2о, 21 и 22, где индекс г оператора 2^ соответствует номеру кубита, на который он действует.
Легко убедиться в том, что искомые операторы Ц и И2 можно выбрать в виде Ц = 2221 и И2 = 212о, причем их собственным векторам (1) (4) соответствуют четыре пары собственных значений (+1, +1) (+1, —1), (—1, —1) (—1, +1). Теперь проблема идентификации ошибки, возникающей при передаче трехкубитного состояния (1), сводится к проецированию получаемого состояния на подпространства состояний, соответствующих указанным наборам собственных зна-и1 и2
и
±1
странства, соответствующие этим собственным значениям, определяются как 2(1 ± И). Квантовая схема для реализации проецирования произвольного состояния |ж) на собственные подпро-
и
и
жит два вентиля Адамара и дополнительный ку-
| 0)
Непосредственное вычисление показывает, что на выходе квантовой схемы возникает перепутанное состояние кубитов
|х)|0) ^ ( ^|х)
|0) +
1и
|х) |1) .
Если входное состояние |ж) является собствен-
и
+1
чим состояние |ж)|0) и, измеряя состояние дополнительного кубита, получим 0. Если же состояние |ж) соответствует собственному значе-—1
даст 1. В обоих
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.