ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2014, том 41, № 6, с. 559-564
ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕЖИМ ВОДНЫХ ОБЪЕКТОВ
УДК.556.16.:556.072
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕГАУССОВА ВЕКТОРНОГО ПРОЦЕССА В ПРИЛОЖЕНИИ К ГИДРОЛОГИИ1
© 2014 г. А. В. Фролов, Т. Ю. Выручалкина, И. В. Соломонова
Институт водных проблем РАН 119933 Москва, ул. Губкина, 3 E-mail: anatolyfrolov@yandex.ru Поступила в редакцию 26.12.2012 г.
Предложен алгоритм моделирования гидрологического случайного процесса на примере вектора, компонентами которого являются три половодных месяца р. Хопер и стока р. Волги в феврале, апреле и средний за апрель, май и июнь. Продемонстрирована высокая точность моделирования: математические ожидания и коэффициенты вариации точно совпадают с заданными величинами, коэффициенты асимметрии имею точность 0.1, отличие коэффициентов авто- и взаимной корреляции компонент вектора от заданных величин не превышает 0.05.
Ключевые слова: моделирование, гидрология, негауссовый векторный процесс, сток, р. Волга, р. Хопер.
Б01: 10.7868/8032105961406008Х
Для проведения исследований была создана база данных месячных величин стока в 55 створах рек с длительностью наблюдений не менее 40 лет. Гидрографы этих рек отражают вариации статистических характеристик месячного стока и корреляционных связей между стоком отдельных месяцев. Результаты статистической обработки месячного и годового стока рек Волга и Хопер приведены на рис. 1—4.
Анализ полученных статистических характеристик месячного и годового стока 21 реки показал, что метод моделирования стока должен распространяться на отрицательные значения коэффициентов асимметрии, авто- и взаимной корреляции.
Основная идея, использующаяся во всех без исключения методах моделирования взаимно зависимых случайных величин, — их представление через некоторую совокупность взаимно некоррелированных (взаимно независимых) случайных величин.
Одной из первых попыток решения задачи статистического моделирования взаимозависимых гидрологических рядов была предпринята Г. Г. Сванидзе в [10] и далее развита в его монографии [11]. Моделирование основывалось на использовании одномерных и многомерной функций распределения вероятностей моделируемых величин. Такой подход приводит к значительной
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-05-01031а).
сложности практических расчетов, особенно в части обоснования применения тех или иных видов функций распределения.
Г. Маталас [13] предложил метод моделирования в рамках корреляционной теории, т.е. ограничиваясь моделированием последовательностей с заданными моментами распределения. Он использовал линейное преобразование вектора X, компоненты которого — независимые случайные величины, и вектор с взаимно коррелированными компонентами У, У = АХ, где А — в общем случае прямоугольная матрица.
В [6, 7] рассматриваются в рамках корреляционной теории два метода моделирования взаимозависимых рядов. Оба метода достаточно просты и конструктивны, однако алгоритмы их применения требуют большого объема "ручной" работы, что затрудняет эффективное использование возможностей компьютерного моделирования.
Попытка построения периодически коррелированных моделей сезонных колебаний речного стока представлена в [9].
Моделирование взаимозависимых рядов используется также в областях науки, далеких от гидрологии, например при моделировании систем связи [3], при имитационном моделировании сложных систем [12] и др.
Эффективность моделирования внутригодо-вого распределения стока (месячных, декадных и т.д. расходов) по схеме марковской последова-
О, м3/с 30000
26000
22000
18000
14000
10000
6000
2000
-2000
шш
1_ И I
1 2 3 4 5
6 Т 8 9 10 11 Месяцы
1
12 Год
Cs, С 3.0
2.6
2.2
1.8
1.4
1.0
0.6
0.2
-0.2
Рис. 1. Статистические характеристики месячного (месяцы 1-12) и годового стока р. Волги. Широкие белые прямоугольники — среднемесячный гидрограф, м3/с. Здесь и на рис. 3 узкие темные прямоугольники — коэффициенты автокорреляции г; длинная пунктирная линия — коэффициент вариации Су; точечная линия — коэффициент асимметрии Cs.
г О, м3/с
Рис. 2. Автокорреляционные функции г(() со сдвигом до Г = 5 лет стока р. Волги. Здесь и на рис. 4 черные, серые, заштрихованные, с крестиком и белые прямоугольники — сдвиги на 1, 2, 3, 4 и 5 лет соответственно; линия — среднемесячный гидрограф, м3/с.
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕГАУССОВА ВЕКТОРНОГО ПРОЦЕССА
561
О, м3/с
560
460
360
260
160
60
40
шш
Cs, СУ 3.0 2.6 2.2 1.8 1.4 1.0 0.6 0.2
_ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Год
Месяцы
0.2
Рис. 3. Статистические характеристики месячного (месяцы 1—12) и годового стока р. Хопер.
тельности подтверждена в [1, 2, 4]. Этот метод основан на каноническом разложении случайной функции, предложенном В.С. Пугачевым [8]. Фактически, этот метод представляет собой реализацию известного в теории случайных функций утверждения о том, что совокупность в общем случае взаимно коррелированных величин с помощью некоторого линейного преобразования приводится к другой совокупности уже некоррелированных величин. Применительно к векторам с компонентами — случайными величинами это утверждение можно сформулировать следующим образом: вектор со взаимно коррелированными компонентами У может быть представлен как аффинное преобразование ВХ вектора Х со взаимно некоррелированными компонентами (В — нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали). Детерминант матрицы В всегда положителен, что, следует отметить, выгодно отличает ее от нетреугольных матриц, зачастую оказывающихся плохо определенными.
Построение алгоритма моделирования негауссова случайного вектора с авто- и взаимно коррелированными компонентами сводится к моделированию вектора V, компоненты которого — взаимно независимые негауссовы белые шумы V1). Вектор получен в результате преобразования Ж, = ВУ. По сути, предложенный авторами статьи
метод представляет собой обобщение метода канонических разложений гауссовой случайной функции [8] на негауссовы случайные процессы. Приведем предлагаемый авторами алгоритм.
Пусть требуется моделировать «-мерный вектор X,, компоненты которого — одномерные Марковские процессы х(,) с нулевыми средними, дисперсиями л(<), третьими центральными несмешанными моментами цк и ковариационной матрицей еоу(Х, X*):
X, = ^ АХ, _1 + Щ, х<° = г «х« + п®, (1)
' л(1) г... га"Чл(1)л«'
= г ^члл® л(2) ............(2)
г(^л(«)л(1) г(«2Ул(«)л(2) л«
ЧИ« У
где г(() — коэффициент автокорреляции /-й компоненты у(() вектора У, (Марковской последова-
г
1.0 г 0.8 0.6 0.4 0.2
О,
0.2
0.4
6 7 8 Месяцы
10
11
12
Го
м3/с 1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
— 100 —200 —300 —400
Рис. 4. Автокорреляционные функции г(Г) со сдвигом до Г = 5 лет стока р. Хопер.
тельности, другими словами — процесса авторегрессии у()); г(у) — коэффициент взаимной корреляции между 1-й и у-й компонентами вектора
У(1 = 1, 2...и, I Фу); м(() — взаимно коррелированные белые шумы; I — время (I = 1,2, ...).
Задача сводится к моделированию вектора V, компоненты которого — взаимно некоррелированные негауссовы белые шумы V, такие, что линейные комбинации этих шумов образуют компоненты вектора Щ. Другими словами, вектор Щ должен быть получен в результате преобразования Щ= ВVt, причем матрица такого преобразования В берется в виде нижней треугольной матрицы:
В =
( 1 0 ... 0^
Ъ1Х 1 ... 0
.........0
VЪп1 Ъп2 ... 1У
Таким образом, Х( = ЛХ( _1 + ВУ(.
Умножим справа левую и правую части этого
равенства на X* и на (ЛХ1 _1 + В¥,)* соответственно. Проведя статистическое усреднение полученного выражения, получаем:
(вуу*в *) = {х,х*) - (ЛХ, _Х*_1Л*).
Введем обозначения Р = (В¥,¥*В, О =
= (XX*) ЛХ,_1 Х*-1 Л*, эти матрицы симметрические.
Приравнивая элементы этих матриц с одинаковыми индексами, получаем систему уравнений (3) относительно Ъф
X Ъ]къ^] = гД1 - го)[в(()в
(¡)г,и Ь1/2
(3)
к=1
где Ъ( = 1, г( = 1, ( = 1,2,..., п; ( < у.
Решение этой системы существует, и оно единственное, нахождение решения очевидно, что и будет показано ниже на конкретных примерах.
Третьи моменты получаем из системы уравнений
и® = XЪ#(у), (,у = 1,2,...,/
у=1
(4)
Поскольку значения Ъу и известны, последовательно решая уравнения (4) относительно ц((),( = 1,2,...п, находим значения третьих цен-
0
9
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕГАУССОВА ВЕКТОРНОГО ПРОЦЕССА
563
Таблица 1. Статистические характеристики трехком-понентного вектора — стока р. Волги за февраль, апрель и среднее за апрель, май и июнь (в/п Старица, 1891—1985 гг.; числитель — заданные значения, знаменатель — полученные при моделировании)
Характеристика Сток
февраль апрель среднее за апрель—май—июнь
Среднее, м3/с 5 1 .4 5 1 .4 5 98. 0 5 98. 0 329. 6 329. 6
Сч 0 . 545 0 . 545 0 .363 0 .363 0. 296 0. 296
СУ 2 .61 5 2 .68 6 0 .41 0 0 .505 0. 514 0 . 464
г 0 . 12 1 0 . 11 6 0 .21 4 0 .223 0 . 203 0 . 203
Корреляционная матрица (коэффициенты попарной взаимной корреляции между значениями стока Волги за февраль, апрель и среднее за апрель—май—июнь)
Сток 0 .13 6 0 . 148
за февраль 0 .134 0 . 12 0
Сток 0 .13 6 0. 809
за апрель 0 .134 0. 786
тральных несмешанных моментов компонент вектора V,.
Было выполнено моделирование двух трех-компонентных векторов, компонентами которых были: для первого вектора — сток р. Волги в феврале, апреле, средний за апрель, май и июнь; для второго — сток р. Хопер в марте, апреле и мае. Условно можно рассматривать эти компоненты как меженный сток (минимальный), максимальный и средний (табл.1, 2)
Как следует из данных табл. 1 и 2, разработанный алгоритм обеспечивает хорошее качество моделирования: средние величины и коэффициенты вариации в точности равны заданным, коэффициенты авто- и взаимной корреляции отличаются от заданных не более чем на 0.03, разность между заданными и смоделированными коэффициентами асимметрии не превышает 0.1. Анализ построенных гистограмм плотности распределений месячных значений стока обеих рек показал, что для аппроксимации этих плотностей можно использовать бета-распределение.
Одной из особенностей предложенного авторами статьи метода моделирования вектора со взаимно к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.