ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2012, том 52, № 10, с. 1890-1903
УДК 519.634
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО РЕЖИМА ДЛЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
© 2012 г. Д. А. Грачев, А. Г. Жданов
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. фак-т) e-mail: dengrac@mail.ru Поступила в редакцию 27.03.2012 г.
Исследуются некоторые нелинейные задачи, в рамках которых на начальной стадии воспроизводятся эффекты перемежаемости. Показано, что с развитием нелинейности быстро падает минимальное число независимых случайных реализаций, необходимое для исследования среднего решения и его высших статистических моментов. В ходе численного эксперимента продемонстрирован слабый рост моментов на нелинейном режиме, свидетельствующий об отсутствии финального распределения. Библ. 26. Фиг. 9.
Ключевые слова: стохастические уравнения, задача усреднения, эффекты перемежаемости, статистический момент, численный эксперимент.
1. ВВЕДЕНИЕ
Известно, что математическими моделями многих процессов и явлений в самых разных областях естествознания являются стохастические эволюционные уравнения — дифференциальные уравнения с коэффициентами в виде тех или иных случайных функций. При решении таких уравнений нередко обнаруживается ряд неожиданных свойств, имеющих достаточно общий характер и мало зависящих от конкретного вида самого уравнения (см. [1]). Например, статистические моменты решения могут прогрессивно увеличиваться со скоростью роста, возрастающей с номером момента, в то время как выборочно (с вероятностью 1) само решение может даже убывать. В физике случайных сред такое необычное с позиции классических представлений явление получило название перемежаемости (см. [2], [3]).
Несмотря на бурное развитие аналитических методов, исследование стохастических уравнений часто сопряжено с проблемами, принципиально ограничивающими возможности аналитической теории. Дело в том, что аналитические результаты, как правило, носят асимптотический характер и формулируются в виде некоторых предельных утверждений, из которых совершенно неясно, начиная с каких значений асимптотического параметра они справедливы. Поскольку в приложениях параметры такого рода играют фундаментальную роль (в первую очередь, это касается минимального объема выборки независимых случайных реализаций решения, требуемого для нахождения его статистических средних), возникает необходимость проведения численного эксперимента. При этом также возникает вопрос о выборе относительно простых модельных уравнений, которые, с одной стороны, отражали бы интересующий нас класс эффектов — в частности, воспроизводили бы свойства перемежаемости, а с другой — допускали бы исследование стандартными численными методами (это актуально еще и потому, что численное моделирование стохастических уравнений пока делает только первые шаги). В указанном контексте значительный интерес представляет исследование обыкновенных дифференциальных уравнений, хотя в приложениях чаще встречаются уравнения в частных производных. С другой стороны, процедура сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям нередко применяется в задачах магнитной гидродинамики и составляет суть так называемого лагранжевого подхода (см. [4]). Поясним, что имеется ввиду.
Пусть рассматривается скалярное или векторное (не обязательно трехмерное) поле и , удовлетворяющее уравнению вида
Qü + (vV)U = L(t, x)U + vAU. (1)
1890
Оператор Ь здесь является алгебраическим, т.е. в скалярном случае сводится к умножению на число, а в векторном — к умножению на матрицу, и содержит случайный параметр. Переносной член (уУ) и тоже может содержать случайную скорость. В настоящей статье рассматривается решение задачи Коши в безграничном пространстве, т.е. эволюция первоначально заданного распределения и0.
В случае малого коэффициента V при лапласиане уравнение (1) допускает сведение к операторному уравнению с обычной производной (случай V <§ 1 реализуется, например, в задаче турбулентного динамо, когда пренебрегают омическими потерями см. [4], [5]). Для этого нужно перейти в систему отсчета, движущуюся вместе со средой, и отбросить член со вторыми производными. В результате получается простое уравнение:
— = Ь и, (2)
аг
в котором значения пространственной переменной вычисляются вдоль траектории частицы среды. При конечном корреляционном времени 5 случайной среды уравнение (2) легко решается (см. [6], [7]):
и = АпАп -1 ...А\и0,
где АI = ехр(Ь х()5), I = 1, ..., п. Таким образом, лагранжево решение представимо как результат действия на начальное условие произведения статистически независимых операторов или скалярных множителей. Отметим, что хотя оно является приближенным решением уравнения (1), на его основе можно построить и точное решение путем усреднения по пучку случайных вине-ровских траекторий (подробнее см. [1] или [2]).
Операторы АI в последнем выражении могут либо коммутировать, либо быть некоммутирую-щими. Оказывается, именно коммутационными свойствами этих операторов определяются основные свойства типичной реализации лагранжева решения, причем поведение и можно рассматривать в контексте противопоставления свойств произведений случайных матриц (случай,
когда АI не коммутируют) и произведения случайных чисел (случай коммутирующих операторов). В отличие от случайных чисел, произведение некоммутирующих статистически независимых случайных матриц, имеющих плотность распределения на группе Ли соответствующей размерности, при увеличении числа сомножителей с вероятностью 1 растет по экспоненциальному закону. Этот глубокий и нетривиальный факт установлен в так называемой теории Ферстенберга (см. [8], [9]).
В недавних работах [5], [10]—[13] проведено подробное численное исследование типичных реализаций и статистических моментов лагранжева решения как для случая коммутирующих
операторов, так и для случая, когда АI не коммутируют. При этом рассматривались простые модельные задачи для уравнений с коэффициентами в виде процессов с обновлением (следуя указанным работам, эволюционную переменную, по которой берутся производные, будем обозначать не через I, а через х) — задача Коши
й = а (х) у (х), у( 0) = 1, (3)
ах
и задача Коши для уравнения Якоби
,2
^ + К(х)у (х) = 0, у (0) = 0, у' (0) = 1. (4)
йх
При условии обновления (определение см. ниже) случайных процессов а(х) = а(х, ю) и К(х) = = К(х, ю) решения стохастических уравнений (3) и (4) формируются, соответственно, как произведение независимых случайных чисел (а именно, случайных экспонент [12], [13]) и как произведение независимых случайных (2 х 2)-матриц (см. [5], [10], [11]). Центральным результатом проведенного численного моделирования является полученная оценка минимальных объемов выборки независимых случайных реализаций решений уравнений (3) и (4), необходимых для нахождения их статистических моментов. Эти объемы неожиданно оказались чрезвычайно большими. Так, для воспроизведения предсказанного теорией прогрессивного роста моментов реше-
ния уравнения (3) требуется усреднить порядка 1000 реализаций, тогда как для уравнения Якоби соответствующий объем выборки составляет еще большее значение (около 5 х 105). На сегодняшний день такое колоссальное число статистически независимых реализаций явно недостижимо в прямом численном эксперименте при моделировании соответствующих трехмерных аналогов (в частности, это касается уравнения индукции в магнитной гидродинамике, когда операторы Ai, формирующие лагранжево решение, являются случайными (3 х 3)-матрицами (см. [5]).
Цель настоящей работы состоит в исследовании реализаций и статистических моментов лагранжева решения на нелинейном режиме. Чтобы можно было сравнить наши результаты с результатами, полученными ранее, мы вводим нелинейность непосредственно в модельные уравнения (3) и (4), при этом нелинейность полагается степенной (см. [1]).
Ключевым результатом статьи, позволяющим, по мнению авторов, более обоснованно планировать дальнейшее численное изучение лагранжевых решений, является оценка соотношения минимальных объемов выборки, требуемых в численном эксперименте в линейном и нелинейном случаях. Оказалось, что для исследования моментов решений линейных задач необходимо существенно большее число независимых случайных реализаций, чем для нелинейных. В этом смысле численное моделирование первых оказывается гораздо сложнее, чем численное моделирование вторых.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
Исследуем интересующий нас круг вопросов в рамках задач
У" + Щу = 0, у' (0) = 1, у( 0) = и, (5)
1 + у
У = a (x) + ку, у( 0) = и, k = const, (6)
1 + У
у = a (x ) у + ky, у (0) = и, k = const, (7)
1 + у2
которые получаются из задач Коши (4) и (3) добавлением членов со степенной нелинейностью и стабилизационного члена ky соответственно. Варьируя параметры и и к, рассматриваем поведение типичных реализаций и статистических моментов решений. В частности, мы отдельно исследуем случай 0 < и ^ 1, который интересен тем, что позволяет обнаружить подавление эффектов перемежаемости при переходе начального линейного (неустойчивого) режима в нелинейный. Как оказалось, нелинейный режим при к < 0 проявляет себя в стабилизации решений и в прекращении прогрессивного роста их высших статистических моментов.
Перед численным экспериментом приводятся некоторые аналитические результаты, касающиеся поведения статистических моментов решений (6) и (7). При этом для указанных нелинейных задач, в отличие от соответствующих линейных (см. [14]—[17]), не удается получить замкнутые моментные уравнения. Подобная проблема носит достаточно общий характер, причем, как показывает исследование литературы (см. [18]—[24]), каждый автор видит ее под своим, весьма специфическим углом зрения. Здесь полагаем, что применительно к нашему случаю преодолеть проблему незамкнутости можно, если выводить уравнения не для моментов решений, а для моментов некоторых функций от решений. При этом оказывается, что такой прием допускает обобщение на случай произвольной степенной нелинейности. Ниже демонстрируется это на примере задачи Кош
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.