МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 533.6.011.51:524.3
© 2008 г. К. В. КРАСНОБАЕВ, Р. Р. ТАГИРОВА
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УСКОРЕННО ДВИЖУЩЕЙСЯ
ГАЗОВОЙ ОБОЛОЧКИ
Численно исследуется развитие возмущений параметров плотной газовой оболочки, движущейся с ускорением под действием разности давлений по обеим ее сторонам. Рассматриваются плоское и цилиндрически симметричное неустановившиеся течения сжимаемой среды. Изучается влияние плотности оболочки, а также вида начальных возмущений ее формы и движения на кумуляцию массы в образующихся уплотнениях. Проведено сопоставление эволюции возмущений слоя и поверхности контактного разрыва, ускоряемого падающей на него плоской ударной волной.
Ключевые слова: неустойчивость, ударные волны, газовые оболочки.
В настоящее время в литературе широко отражены гидродинамические модели кумулятивных явлений, которыми сопровождается воздействие концентрированных потоков энергии на вещество [1-7]. При этом важная роль отводится вопросам устойчивости ускоренно движущихся пластин и оболочек. Здесь представляют интерес не только способы подавления роста возмущений, но и возможности управления развитием неустойчивости. Так, в работах [6, 7] было показано, что если свойства среды таковы, что имеется максимум инкремента нарастания возмущений, то могут возникать достаточно регулярные нелинейные деформации оболочки в виде "ножей" или "пальцев". Эти особенности движения представляют интерес также для астрофизических приложений при исследовании устойчивости плотных газовых оболочек.
Оболочки (слои, волокна) холодного газа наблюдаются во многих космических объектах: в остатках сверхновых; в облаках молекулярного водорода, где происходит активное звездообразование; в окрестности "межзвездных пузырей", выдуваемых звездным ветром; в расширяющихся зонах нагретого газа, ионизованного излучением горячих звезд [8-11]. Характерная морфологическая особенность оболочек - это присутствие в них неоднородностей плотности. Вопрос о происхождении этих неодно-родностей представляет интерес в связи с проблемой возникновения самогравитирую-щих конденсаций с массами порядка масс звезд и планет [12-16].
Одним из предложенных в настоящее время механизмов образования конденсаций служит развитие неустойчивости типа Рэлея-Тейлора [15, 16]. Согласно модели, оболочка формируется в результате распространения в окружающем звезду облаке межзвездного газа комплекса разрывов, включающего ударную волну Б и фронт ионизации I (ионизационно-ударный или I - Б-фронт). При выходе I - Б-фронта на поверхность облака находящийся между фронтами плотный холодный газ ускоряется под действием давления высокотемпературной плазмы меньшей плотности. Тем самым создаются условия для развития неустойчивости Рэлея-Тейлора.
В работе [16] показана неустойчивость оболочки по отношению к возмущениям с характерным масштабом I, много меньшим толщины оболочки 5. Но развитая в [16] модель позволяет объяснить лишь происхождение "каплевидных" (или "глобулоподоб-ных") уплотнений. В то же время наблюдаются и конденсации с существенно различающимися в продольном и в поперечном направлениях размерами ("пальцеобразные") и с высокой дисперсией лучевых скоростей.
6 Механика жидкости и газа, № 5
Исследование неустойчивости длинноволновых возмущений с I > 5 было выполнено в [15] в рамках инерционной модели с учетом "реактивного эффекта'' оттекающей от фронта ионизации плазмы. В результате установлена возможность накопления массы в протяженных конденсациях. Но при этом не учитывалось влияние на структуру возмущений конечной толщины оболочки, отношения плотности в ней к плотности плазмы, сжимаемость среды, поэтому ниже проводится свободное от указанных ограничений численное моделирование эволюции двумерных (плоских и осесимметричных) гармонических возмущений. Кроме того, с целью сопоставления особенности развития неустойчивости рассматриваемого типа с особенностями развития неустойчивости при импульсном ускорении контактного разрыва, представлены результаты расчета деформаций плоского слоя в условиях, близких к реализованным в экспериментах [17].
1. Постановка задачи и расчет ускоренного движения плотной оболочки. Рассмотрим неустановившееся двумерное течение идеального совершенного газа. Примем, что среда сжимаемая и движение адиабатическое с показателем адиабаты у. Тогда система уравнений для определения плотности р, скорости и и давления р как функций пространственных координат и времени ? имеет вид
В зависимости от постановки задачи ниже используются декартова (x, y) или цилиндрическая (r, z) системы координат, причем для x, r принято обозначение x1, а для y и z -обозначение x2. Проекции вектора скорости на оси x1 и x2 обозначим соответственно через u и и.
В начальный момент времени t = 0 в среде считаем заданным распределение р, и и p.
В качестве основного (невозмущенного) движения сначала рассмотрим ускорение первоначально покоившегося (т.е. и = 0 при t = 0) плоского слоя газа. При этом начальными условиями для р и p служат
x1 < xc: р = р0 = const, p = p0 = const
xc < x1 < xc + 50: р = рj = const, p = p1 = const (1.2)
x1 > xc + 50: р = р2 = const, p = p2 = const
где p1 = p0 и, следовательно, xc - координата контактного разрыва D1.
Значению x1 = xc + 80, где 50 = const - начальная толщина оболочки, отвечает положение произвольного разрыва F с p2 < p1.
Будем считать, что р0 и р2 значительно меньше р1, т.е. оболочка (область "1") достаточно плотная. В таком случае область "0" занята горячим газом сравнительно малой плотности, а температура в области "2" невелика.
Решение уравнений (1.1) отыскивается в области < x1 < с граничными условиями отсутствия входящих возмущений при x1 ^ (в расчетах граничные условия выставлялись на таком конечном расстоянии от xc, чтобы за рассматриваемый промежуток времени не достигали границы возмущения, порождаемые движением слоя).
Анализ основных особенностей решения сформулированной задачи удобно провести, вводя некоторый характерный масштаб течения l и выражая пространственные переменные, а также время, плотность, скорость и давление соответственно в единицах l,
dt ^
р ^ + gradp = 0
+ р^уи = 0
dt
(1.1)
1/cq (c0 = pq^qX Po, % pq.
2
Фиг. 1. Распределение давления (а) и плотности (•) в плоском слое в моменты времени г = 0, 0.2, 0.4 (линии 1-3) для 80 = 0.25,р0 = 1, р0 = 1, р1/р0 = 5, р2/р0 = 0.1,р2/р0 = 0.02
Расчеты проводились с использованием монотонной разностной схемы типа Лакса-Фридрихса. Результаты тестовых вычислений сопоставлялись с точными решениями задач о распаде произвольного разрыва. Влияние счетных параметров анализировалось путем изменения числа узлов сетки более чем на порядок.
В момент времени г > 0 (фиг. 1) произвольный разрыв ^ распадается на распространяющийся в положительном направлении оси х1 ударный фронт контактный разрыв Б2 с координатой хе и волну разрежения Я, движущуюся в отрицательном направлении со скоростью иг. В результате падения давления газа внутри слоя скорость движения среды за прошедшей волной разрежения возрастает. Волна разрежения Я достигает границы Б1 (ее координата х;), отделяющей оболочку от горячего газа, и взаимодействует с ней. В результате весь слой с толщиной, мало отличающейся от 50, будет двигаться с ускорением. Таким образом, за характерное время увеличения скорости слоя можно принять выражение = 50/иг. Следовательно, чем толще оболочка, тем больше времени потребуется на ускорение всех фиксированных частиц газа, содержащихся в ней. Для описанных выше параметров одномерного движения ~ 0.4.
Результаты расчетов одномерного движения слоя показывают, что для г > ускорение оболочки мало изменяется со временем. Это подтверждается с помощью вычисления интегральных характеристик массы Мс, импульса П, значений средней скорости V и ускорения W(t)
5 = хе - x¡, Mc = J( 2 п Xj )vpdx1, П = J( 2n fpudx1
V = П1МС, W( г) = dV/dt
Здесь индекс V = 0 или 1 соответственно для плоского и цилиндрически симметричного течений.
С другой стороны, с этими вычислениями хорошо согласуется более простая оценка W(t), которая следует из уравнения изменения импульса при постоянном значении 50
W = (Р1- Р2 )/(р1 §с) (1.3)
Обратимся теперь к расчету эволюции малых двумерных возмущений параметров оболочки. Как обычно, здесь возникает вопрос о выборе вида и масштаба X этих возму-
x
x
x
x
а
-
-
з 1 |
9 -
2 х2
2 х2
5
6
-
| 1
-
х1
14 -
-
13
12 -
11
0
1
0
1
Фиг. 2. Изохоры плоского (а, в) и цилиндрически симметричного (б, г) течений при г = 8 для 80 = 0.25, р0 = 1, р0 = 1, р2/р0 = 0.02, X = 5, А = - 0.1: а, б - р1/р0 = 50, Р2/Р0 = 1; ^ „ - Р1/Р0 = 5 Р2/Р0 = 0.1
щений. В рассматриваемой модели среды масштаб X, конечно, произволен. Однако применительно к движению околозвездных оболочек величина X ограничена снизу из-за влияния процессов радиационного охлаждения, а рост длинноволновых возмущений замедляется вследствие поглощения излучения горячим газом, что препятствует смещению границы [8, 15, 18], поэтому далее предполагается, что используемые значения X лежат в указанном интервале длин неустойчивых волн.
Конкретный вид выбираемых ниже начальных данных основан на следующих соображениях. Поскольку целью расчетов является исследование кумулятивных эффектов, естественно задать возмущения близкими к тем, эволюция которых уже анализировалась в рамках приближенного подхода [6, 7, 15]. Дополним тогда (1.2) соотношениями
и = А со& (кх2), и = А вт (кх2) (хс < х1 < хс + 50)
(1.4)
Здесь А - начальная амплитуда возмущений, к = 2п/Х - волновое число.
В целях исследования общих свойств развития неустойчивости расчеты проводились в широком диапазоне изменения рх/р0, Р\!Рг, §0, X. Характерное время нарастания возмущений гЫс оценивалось по формуле гЫс = (кЖ)/2, где ускорение Ж определялось выражением (1.3).
Об основных особенностях развития неустойчивости дает представление фиг. 2 (у = 5/3). Для цилиндрически симметричного течения начальная координата разрыва
2
0
7
0
1
0
1
7
2
1
4
i
1 1
0
1
2 x2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.