АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 1, с. 69-75
АКУСТИКА ОКЕАНА. ^^^^^^^^^^^^ ГИДРОАКУСТИКА
УДК 534.231
МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ГИДРОАКУСТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА
© 2015 г. Ю. И. Папкова
Севастопольский национальный технический университет Севастополь, ул. Университетская 33 E-mail: yulia.papkova@gmail.com Поступила в редакцию 04.03.2014 г.
Рассматривается моделирование нижней границы гидроакустического волновода. Исследуется применимость и связь моделей жесткого дна и жидкого полупространства в зависимости от параметров донных осадков. Рассматривается влияние донных потерь на характеристики звукового поля в волноводе. Приведены примеры численного моделирования.
Ключевые слова: гидроакустический волновод, нормальные моды, дисперсионное уравнение, бесконечные системы линейных алгебраических уравнений.
DOI: 10.7868/S0320791914060124
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время теория слоистых сред составляет основную часть раздела акустики, который связан с распространением звука в жидкости. Важность этого класса неоднородных сред обусловлена тем, что в большом числе геофизических и технических задач среды действительно являются слоистыми или мало отличаются от них [1, 2]. При теоретическом исследовании распространения звука в океане в основном используется приближение плоскослоистой среды, когда скорость звука с(г), плотность р(г) считаются зависящими лишь от глубины г. В этом случае для описания акустических свойств волновода используют два основных подхода: плоскослоистая модель на абсолютно жестком основании и плоскослоистая модель на жидком или упругом полупространстве [1—3]. В реальных природных волноводах применение первого или второго подхода определяется структурой и свойствами донного слоя [1]. Для расчета звукового поля в волноводе с более сложной геометрией дна актуальным является моделирование нижней границы гидроакустического волновода. Цель настоящей работы состоит в исследовании границ для слоистых моделей волноводов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В акустике шельфа для нахождения звукового поля в морской среде широко используется метод нормальных мод [2, 4]. В случае цилиндрической симметрии звуковое поле точечного гармонического источника излучающего волну круговой частоты ю = 2я/, описывается скалярной функцией
Ф(г, г, t) = Ф(г, z)exp(-;'® t), удовлетворяющей уравнению Гельмгольца
ДФ +
ю
С 2(г)
_ 5(z - Zp)S(r)
Ф = -
2ш
где А — оператор Лапласа; Ф(г, г) — амплитуда потенциала скорости; 8 — дельта-функция Дирака; с(г) — вертикальное распределение скорости звука в волноводе.
Поверхность гидроакустического волновода моделируется как акустически свободная, что соответствует краевому условию
ф г=0 = 0.
В качестве первого приближения к реальным гидроакустическим волноводам можно использовать известную модель плоскослоистого гидроакустического волновода [1]. Рассмотрим двухслойную модель гидроакустического волновода, где донный слой лежит на абсолютно жестком основании. Расположим начало цилиндрической системы координат на поверхности волновода над источником звука с координатами (0, г0), ось Ог направлена к дну. Пусть гидроакустический волновод имеет радиальную симметрию и ограничен свободной поверхностью и жидким дном на абсолютно жестком основании:
дФ
dz
= 0.
z=h
На границе раздела слоев г = Н должны выполняться условия непрерывности звукового поля:
lim р1Ф = lim р2Ф;
z ^h- z^h+
lim = lim ,
z^h- dz z^h+ dz
где р1 — плотность слоя воды; р2 — плотность донных осадков. Общее решение Ф(г, ¿) краевой задачи, удовлетворяющее как граничным условиям, так и условию излучения, строится в виде суммы нормальных мод:
Ф = X Аф^)^ Л
(1)
n=0
где Я®(г) = Jv(z) + гТу(г) - функция Ханкеля 1-го рода порядка V, Jv(z) и У„(г) — функции
Бесселя 1-го и 2-го рода соответственно;
и {ф«(г)}Шо — собственные числа и собственные функции следующей краевой задачи:
Ф +
ю
с 2(z)
Ф = О,
Ф1(0) = О,
lim p#i(z)
z —h-
lim P2ф2(z),
z—h+
lim ф1^) = lim ф2(z),
z —h- z—h+
ф2№) = 0, (2)
при этом An — произвольные постоянные.
После подстановки выражения (1) в неоднородное уравнение Гельмгольца, с учетом ортогональности собственных функций {pn(z)}=0 в пространстве L2[0; А1], значения произвольных постоянных An определяются как [5]:
i p(zo)9n(zо)
An 4 hl
I p(zWn(z)dz
В результате выражение для амплитуды потенциала скорости Ф(г, ¿) имеет вид
Ф(Г, z) = 4 p(zo)X ^ o)^n(z) H01) ( nr).
(3)
n=0
Ip(z)9n(z)dz
каждой из которых профиль скорости звука допускает аппроксимацию с(г) = ск(г), г е [гкгк], обеспечивающую существование аналитических решений дифференциального уравнения (2). Линейно независимые решения уравнения для аппроксимации вида
\ 2 Ю |
Ck(z)J
= ak + bkz
2
a =_Ю_
ak -
V zk+1
(
■zk
zk+1 2
V ck
\
J*.
2
ck+1
bk =■
Ю
zk+1 zk
1 1
\\
V-k+1
k
при bk Ф 0 выражаются через функции Эйри:
Ф1, k (z, k) = Ai
92,k(z, k) = Bi
U 2
k - ak
U 2
k - ak
v
- fe - 34bkz
(4)
при bk = 0 — через показательную и тригонометрические функции:
Ф1, k (z, =
Ф2,к (z, £) =
(Vak -^2z), ak -£2 > 0, (ak - £2z), ak -£2 < 0; sin ((ak - £2z), ak -£2 > 0, exp((ak - £2z), ak -£2 < 0.
cos
exp
Таким образом, на отрезке аппроксимации г е е [гк-1; гк] профиля скорости звука общее решение однородного дифференциального уравнения (2) имеет вид
Vк = Ф1,кс1,к + ф2,кС2,к, к = 1,2..., N.
При г ^ да скорость звука достаточно быстро выходит на постоянное значение, поэтому в донном слое будем иметь
к2 ,
С2 = lim C2(z).
z
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ЧИСЕЛ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим алгоритм построения собственных функций и чисел краевой задачи (2) на основе линейной аппроксимации квадрата волнового
2
числа к =-Щ—. Пусть профиль скорости звука
с2(г)
е1(1) в водном слое определен системой опорных точек с(г) = с, тогда отрезок [0; к] разбивается на N частей системой точек [гк}^0 (г0 = 0, zN = К), на
Построив непрерывные со своей первой производной линейно-независимые решения для всего водного слоя в точках г1, г2,..., ZN — 1 с учетом условий (2), получим однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно С1, к и С2, к. Необходимым условием для существования у полученной системы нетривиального решения является равенство нулю ее определителя, что дает дисперсионное уравнение для определения собственных чисел {£,„}. Данные формулы остаются справедливыми и в случае, когда поглощение звука в слое осадков описывается постоянной величиной коэффициента потерь ц, к2 = к2(1 - г'п).
ЗО
0
2
0
МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ПЛОСКОСЛОИСТОГО ВОЛНОВОДА
Гидрофизический волновод, как правило, имеет слоистую структуру, дно которого расположено на жидком или упругом полупространстве [1, 2]. Для исследования волноводных эффектов в гидроакустическом волноводе, таких как распространение звука вдоль трассы, влияние структуры осадков на акустическое поле, энергетические характеристики мод, необходимо предварительно ограничивать область волновода. Данную проблему можно решить путем введения искусственных границ [6, 7].
В простейшем случае гидроакустический волновод представляет собой однородный слой воды глубины Н с постоянным профилем скорости звука с1, лежащий на жидком грунте с профилем скорости звука с2. Из приведенных выше теоретических результатов следует, что решение краевой задачи (2) дает дисперсионное уравнение для определения собственных чисел {£,п}:
_ Ц
¿12^2
Используя
18 (Ц1А)18 - к2№ - А)) = -
2 1 2 ^2 2 Т~2 у2 1 Р1
где Ц1 = к - \ , ^2 = к2 - \ , ¿12 = —.
Р2
известное разложение 1Ъг при больших \г\ [8]: 1Ъг = 1 - 2е-2' + Зе- 2е^ + ...,
для достаточно большой глубины донного слоя А1 получим, что характеристическое уравнение совпадает с характеристическим уравнением для волновода на жидком полупространстве [3] 1§(^1Н) = = ¡^1/Ь12^2, несмотря на различный характер их построения.
В случае типичного для ПЗК профиля скорости звука проведем линейную аппроксимацию (ю/с1(г))2 на двух отрезках [0; г1] и (г1; Н]. Используя предложенный выше метод, можем найти решение задачи (2). При достаточно большой глубине донного слоя Н1 спектр горизонтально-волновых чисел £, задачи (2) совпадает с дискретным спектром краевой задачи для волновода на жидком полупространстве Д(£,) = 0, где
А = ф1Д(0)| А1 --!— А2 1 - ф2,1(0)I Аз--1— А4
¿12^ 2
¿12^ 2
Д1 = Ф1,2(А) (92,2(^1)92,1(^1) - 92,2(^1)92,1(^1)
+ 92,2 (А) (92,1(^1)91,2(^1) - 92,1(^1)91,2(^1));
Д2 = 91,2$) (92,2(^1)92,1(^1) - 92,2(^1)92,1(^1) + 92,2(А) (92,1(^1)91,2(^1) - 92,1(^1)91,2(^1));
Аз = Ф1,2(А) (92,2(^1)91,1(^1) - 92,2(^1)91,1(^1)) +
+ 92,2(А) (91,1(^1)91,2(^1) - 91,1(^1)91,2(^1)); А 4 = ф1,2(А) (92,2(^1)91,1(^1) - 92,2(^1)91,1(^1)) + + 92,2$) (91,1(^1)91,2(^1) - 91,1(^1)91,2(^1)),
а 91,1, ф2,1, ф1,2, ф2,2 — функции Эйри (4). Таким образом, при достаточно большой глубине жесткого дна Н1 модели волноводов с жестким дном и дном в виде жидкого полупространства отличаются лишь вкладом сплошной составляющей спектра (интегралом по разрезу). Предложенный результат можно обобщить и на случай нескольких слоев.
В качестве энергетической характеристики моды номера к [9] возьмем величину, пропорциональную энергии, сконцентрированной в слое воды и в донных слоях, при этом предполагаем, что коэффициент потерь 0 в последнем слое осадков:
Ек =
| фк
1
и А - А-1
где п — количество донных слоев, Н0 = Н. В случае двухслойного волновода данная формула будет иметь вид
Е = _1 А - вшОЛкА)^^^) + 1
2А ^1к 2(1 - А)
¿^1п2(,1кА)18(,1кА)(бХР(-2/^2к(А1 - А) -1
^1к
МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ В СЛОИСТОЙ СРЕДЕ С НЕРОВНЫМ ДНОМ
В настоящее время множество экспериментальных данных о рельефе дна (степени его изре-занности, вертикального расчленения, углах наклона) океана показывают, что для структуры донных слоев во многих случаях не характерна горизонтальная слоистость. Ниже предлагается модель гидроакустического волновода с цилиндрическим выступом (впадиной), который можно моделировать варьированием параметров слоев (рис. 1) в областях декомпозиции гидроакустического волновода. При моделировании нижней границы волновода используем предложенный выше подхо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.