МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛОКНИСТЫХ МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПЕРАТОРА КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
© 2014 г. В.В. Бардушкин1, В.Б. Яковлев1, А.П. Сычев2, Д.А. Кириллов1, А.И. Сорокин1
Поступила 05.09.2014
В работе проведено численное моделирование предельных прочностных характеристик при сжатии перпендикулярно волокнам двухкомпонентных однонаправленно армированных композитов. Рассматривается хрупкое разрушение композитных материалов на эпоксидной основе (связующие ЭД-20, ЭХД, УП-610 и его модификация) с волокнами из бесщелочного стекла, меди и железа. При моделировании используется оригинальный метод прогнозирования предельных прочностных свойств матричных композитов, согласно которому приложенная к композиту сжимающая в определенном направлении нагрузка становится разрушающей тогда и только тогда, когда внутреннее напряжение в матрице начинает превышать предел ее прочности. Указанный метод опирается на обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей и информацию о прочностных свойствах матрицы. Основой моделирования служит понятие оператора концентрации напряжений (тензора четвертого ранга), связывающего локальные (внутренние) значения тензора напряжений с внешними (средними) по материалу напряжениями. Приведен вывод соотношения для вычисления оператора концентрации напряжений в рамках обобщенного сингулярного приближения. Введением безразмерного параметра микроструктуры, связывающего среднее расстояние между волокнами с их объемным содержанием в материале, проведен теоретический анализ зависимости пределов прочности модельных композитов от состава и концентрации компонентов.
Ключевые слова: матричные композиты, включения, матрица, оператор концентрации напряжений, механическая прочность, моделирование.
При эксплуатации в узлах и деталях машин и механизмов композитные материалы находятся в сложном напряженно-деформированном состоянии. Поэтому при анализе работоспособности изделий из указанных материалов необходимы данные не только об их эффективных (эксплуатационных), но и предельных (разрушающих) характеристиках. Эти сведения часто получают экспериментально. Однако технологии создания композитов с заданными свойствами довольно дорогостоящие, поэтому возникает необходимость в разработке теоретических методов моделирования структуры, подбора состава, концентрации компонентов и прогнозирования их влияния на свойства материала [1; 2].
1 Национальный исследовательский университет "МИЭТ" (National Research University of Electronic Technology), 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, e-mail: bardushkin@ mail.ru
2 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41, e-mail: sap@rgups.ru
Проведение теоретического анализа локальных (внутренних) напряжений и деформаций в композите в зависимости от состава, структуры, формы и концентрации компонентов, а также вида и величины внешнего воздействия является актуальной задачей. Это обусловлено тем, что при внешнем воздействии определенного типа (например, при осевом сжатии) в композитной среде возникает локальное напряженно-деформированное состояние общего вида [2; 3]. При этом возможно существование таких включений, для которых из-за различий в геометрической форме, ориентационной и кристаллографической текстуре значения напряжений (деформаций) будут отличаться от приложенных, в частности превышать их. Это может приводить к процессам перестройки структуры и/или разрушению компонентов материала [2; 4; 5]. Важным направлением исследования указанной проблемы является получение численных оценок предельных прочностных свойств неоднородных материалов [1; 2; 6].
В работе проведено моделирование разрушающих характеристик двухкомпонентных однона-правленно армированных композитов, основанное на разработанном в статье [7] методе прогнозирования предельных прочностных свойств матричных композитов при сжатии. Согласно этому методу, приложенная к композиту сжимающая (в определенном направлении) нагрузка становится разрушающей тогда и только тогда, когда внутреннее напряжение в матрице начинает превышать предел ее прочности. При этом величина внутреннего напряжения, возникающего в матрице при внешнем воздействии на композит, сравнивается с ее известным (справочным) значением предела прочности. Значение предела прочности матрицы должно соответствовать внешней сжимающей нагрузке (в том же направлении, что и для рассматриваемого композита), приложенной к однородному телу, состоящему только из материала матрицы.
Известно, что прочность однонаправленно армированных композитов при сжатии поперек волокон определяется прочностью матрицы (на сжатие) [1; 2; 6]. Поэтому в настоящей работе численное моделирование предельных прочностных характеристик указанных композитов проводится только для сжимающей нагрузки, направленной перпендикулярно волокнам. Рассматривается хрупкое разрушение композитных материалов. Моделирование опирается на обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей [2; 8] и понятие оператора концентрации напряжений [2; 3; 9; 10]. Кроме того, с помощью введения безразмерного параметра микроструктуры, связывающего среднее расстояние между волокнами с их объемным содержанием в материале, проводится теоретический анализ зависимости пределов прочности модельных композитов от состава и концентрации компонентов.
Опишем вначале способ введения безразмерного параметра микроструктуры в двухкомпонент-ном однонаправленно армированном композите. Будем считать, что в рассматриваемом композите
Рис. 1. Введение параметра микроструктуры к/К
волокна имеют цилиндрическую форму приблизительно одинакового радиуса, их положение в объеме матрицы является случайным, однако в целом материал предполагается статистически однородным. Это приводит к наличию среднего расстояния между волокнами, которое может быть связано с их концентрацией. Рассмотрим некоторый усредненный элементарный объем в виде правильной шестиугольной призмы, в центре которого находится одно волокно, ориентированное вдоль оси 2 лабораторной системы координат. Пусть отдельное волокно имеет средний радиус К, а расстояние от центра правильного шестиугольника до его стороны равно К + к. Тогда площадь основания элементарной ячейки определяется как 5 = 2У3( К + к )2, а площадь поперечного сечения волокна 5в = гК2
(рис. 1). Считая, что концентрация волокон V в = —
5
(здесь и далее индекс "в" обозначает величины, относящиеся к волокнам, а "м" - к матрице), получим
V„= 1-V ,
2-/3(1+ к/К )2
Таблица 1. Упруго-прочностные свойства компонентов модельных композитов при сжатии [14-16]
Тип компонента Материал компонента Модуль Юнга Е, ГПа Коэффициент Пуассона о Предел прочности (для связующих) Ям, МПа
Эпоксидная ЭД-20 3,8 0,39 198
матрица ЭХД 4,5 0,36 320
УП-610 + Э-181 5,4 0,42 336
УП-610 5,2 0,41 347
Включение БЩ-стекло 76,2 0,22 -
Медь 125 0,28 -
Железо 217 0,27 -
Отсюда параметр h/R, характеризующий микроструктуру композита, может быть выражен через концентрацию волокон в виде
h _ / r ~ R У V3 v
-1.
(1)
Максимально возможное значение концентрации волокон в данной модели будет при И ^ д что
г К
соответствует V, " —— . 0,9. Минимальное зна-И
чение при — " з, откуда vв ^ 0. Такой диапазон
К И ,
изменения параметра — формально соответствует
границам применимости метода расчета предельных прочностных свойств рассматриваемых композитов. Однако при высоком объемном содержании волокон встает проблема их качественной пропитки связующим. Даже при использовании специальных методов пропитки, например под вакуумом и давлением, не удается добиться полного устранения пус-тот-макропор. Это приводит к снижению прочностных свойств композитных материалов [1; 2; 6].
Поэтому при близких к нулю значениях параметра
и
— возможно расхождение модельных расчетных К
значений с реальными прочностными характеристиками рассматриваемых волокнистых композитов. По этой причине численное моделирование в
и
дальнейшем будет проводиться при — >0,3.
К
Поскольку используемый в работе метод прогнозирования предельных прочностных свойств матричных композитов опирается на понятие оператора концентрации напряжений, остановимся подробнее на выводе соотношения для его вычисления в обобщенном сингулярном приближении теории случайных полей.
Для композитных материалов тензор напряжений а является случайной функцией координат г и может быть представлен в виде суммы среднего значения и флуктуаций (для удобства в дальнейшем, если это возможно, индексы в записи компонент тензоров и элементов матриц будут опускаться):
а(г) = <а(г)> + а'(г).
Угловые скобки ( > здесь и далее определяют процедуру усреднения по ансамблю, которое для статистически однородных композитов, т.е. при выполнении гипотезы эргодичности, совпадает с усреднением по объему. Отметим, что для некоторой случайной величины а(г) и композита, содержащего изотропные включения и матрицу, операция усреднения сводится к суммированию [2; 3; 8]:
( а ( г) > = V, а, + V м ам. (2)
В рамках линейной теории флуктуации линейно зависят от средних значений:
V' (г )= Р ( г )+ ( V (г) > .
Здесь Р(г) является интегральным оператором, описывающим взаимодействие между включениями. Тогда связь между локальными и средними напряжениями в материале может быть представлена в виде
V (г ) = (I + Р ( г )) ( V (г) > ,
где I - единичный тензор четвертого ранга. Это приводит к тому, что локальные напряжения можно охарактеризовать безразмерным оператором концентрации напряжений (тензор четвертого ранга) К"(г) = I + Р(г) [2], связывающим локальные значения тензора напряжений 0-(г) с внешними (средними) по материалу напряжениями (ак1(г)>:
—г) = Кт (г) (ак1 (г) >, I,к, 1 =1,2,3. (3)
Удобство подхода, связанного с оценкой локального напряженно-деформированного состояния неоднородной среды при помощи оператора К °(г), заключается в том, что исключается информация о виде внешнего механического воздействия, поскольку К °(г) мо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.