ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2008, № 6, с. 74-86
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
УДК 62-50
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПАРКОВКИ АВТОМОБИЛЯ*
© 2008 г. А. А. Жданов, Д. М. Климов, В. В. Королев, А. Е. Утемов
Москва, ИТМиВТ им. С.А. Лебедева РАН, ИПМех РАН Поступила в редакцию 29.05.08 г.
Представлены первые результаты по разработке автоматической системы управления процессом "параллельной" парковки автомобиля. "Параллельная" парковка автомобиля является примером маневра, имеющего массовый характер применения при высокой стоимости ошибки. Это делает актуальными усилия по разработке систем автоматической парковки. В статье представлены: способ аналитического решения задачи и численное моделирование процесса "параллельной" парковки, которые рассматриваются как промежуточные результаты для создания адаптивной системы управления парковкой. Приводятся примеры "параллельной" парковки автомобиля для некоторых частных случаев расположения препятствий и парковочного места на стоянке.
Введение. Задача "параллельной" парковки автомобиля относится к обширному классу задач поиска пути (в зарубежной литературе этот класс можно встретить под названиями motion planning, path-planning, trajectory planning). Главной характерной особенностью рассматриваемой задачи является ограничение на возможные перемещения объекта управления: конструктивная особенность автомобиля допускает движение только по гладким кривым с ограниченным снизу радиусом кривизны. Также дополнительная сложность вызвана необходимостью учета физических размеров автомобиля для планирования маршрута его движения без столкновений с препятствиями.
Одна из первых работ по данной тематике -статья [1]. В ней доказано, что при отсутствии препятствий кратчайший путь между двумя точками на плоскости при условии, что в этих точках задана ориентация вектора скорости, состоит либо из трех поворотов, либо из последовательности "поворот-прямая-поворот". Причем радиусы всех поворотов являются минимально допустимыми. Позднее были получены аналогичные результаты [2], в том числе и с использованием принципа минимума Понтрягина [3].
Необходимо также выделить результаты публикаций [4, 5], в которых исследовалось движение точечного робота в условиях наличия препятствий. Идеи [1] в них были обобщены и применены для создания полиномиальных приближенных алгоритмов планирования пути. Для весьма узкого класса
препятствий в [6] реализован полиномиальный ал-
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ
(грант < 05-08-50226).
горитм, находящий точное решение для кратчайшего пути в заданное конечное положение.
Движение реального объекта (робота) по плоскости с учетом препятствий исследовалось в [7-9], где динамика объекта близка к динамике автомобиля. В [7] решена задача численного построения траектории движения автомобиля с несколькими прицепами, переводящая его из заданного начального положения в требуемое конечное при условии наличия на парковочной площадке препятствий произвольной формы. Автомобиль здесь представлен в форме прямоугольника, с управляемыми передними колесами и изменяемым направлением вектора скорости (вперед/назад). Прицепы также рассматриваются как прямоугольники, соединенные между собой и автомобилем по принципу жесткой сцепки. В этой работе предложен численный алгоритм реализации субоптимального управления и приведены различные примеры, включающие "параллельную" парковку автомобиля как с прицепом, так и без него. Идея алгоритма основана на численном построении, из начального положения автомобиля, множества достижимости его положений на парковочной площадке. Данное обстоятельство обуславливает длительное время работы алгоритма на компьютере и затрудняет его применение в случае большой удаленности заданных начального и конечного положений автомобиля, а также в случае наличия у автомобиля нескольких прицепов. В [8] предложено выделить на плоскости коридоры, по которым объект может свободно перемещаться и составлять путь из таких коридоров и поворотов в перекрестках между ними. Однако задача выделения коридоров на плоскости здесь не была до конца решена, а са-
ма идея довольно далека от универсальности. В [9] описан интересный алгоритм "Нить Ариадны", который итеративно генерирует и анализирует возможные пути из заданного начального состояния, пытаясь при этом перевести управляемый объект в наименее изученные области пространства. Также в этой работе заслуживает внимания выбор критерия для пути: ищется минимальный путь, состоящий из отрезков и клотоид, что позволяет совершать объекту плавные повороты без снижения скорости. Основной недостаток данного численного алгоритма заключается в том, что его реализация на компьютере требует большого времени.
В данной работе автомобиль представлен как плоское твердое тело, управляемое поворотом передних колес посредством руля и выбором направления движения (вперед/назад). Кроме самого автомобиля на парковочной площадке-стоянке могут находиться неподвижные объекты (в том числе другие автомобили) произвольной формы, которые, своим расположением, создают помехи движению паркуемого автомобиля. Предложен аналитический способ решения данной задачи. Также описана разработанная компьютерная программа, моделирующая процесс автоматической парковки автомобиля на стоянке. С помощью этой программы решается задача численного поиска субоптимальной траектории, переводящей автомобиль из некоторого начального положения на целевое множество (парковочное место) за наименьшее время. Рассмотрен случай так называемой "параллельной" парковки, когда автомобиль требуется запарковать в промежуток между двумя неподвижными автомобилями, стоящими вдоль дороги.
1. Постановка задачи и описание модели. Сформулируем задачу управления автомобилем С в плоском, двумерном случае на полубесконечном интервале времени (* > 0). Автомобиль аппроксимируется прямоугольником с шириной w и длиной I. Полагается, что на плоскости земной поверхности (далее просто - плоскости) определена некоторая территория стоянки автомобилей, которую опишем множеством Р геометрических мест точек (г.м.т.). Считаем, что в любой момент времени автомобиль находится на территории стоянки
V* > 0 — С е Р. (1.1)
Кроме автомобиля С на территории могут располагаться другие объекты, в том числе и неподвижные автомобили. Будем называть эти объекты препятствиями и обозначать множества г.м.т., которые они занимают на территории стоянки, через 01,В2,...,Вп,где п- общее количество препятствий (п > 0). Форма препятствий в проекции на плоскость может быть различной: прямоугольной, круглой, овальной или другой (рис. 1). Полагаем, что площадь проекции автомобиля на плоскость не может пересекать площади препятствий
V*> 0 — С п А = (0}, г = ТТп, (1.2)
где (0} - пустое множество.
Пусть далее на территории стоянки Р определен прямоугольник А - парковочное место автомобиля, причем длина и ширина этого прямоугольника больше соответственно величин I и ж В противном случае автомобиль не может быть
Рис. 2
помещен (запаркован) на множество А. Считаем, что на парковочном месте нет препятствий
л п д = (о}, г = Т7П. (1.3)
Полагаем, что у автомобиля С ведущими являются задние колеса, которые, двигаясь без проскальзывания, обеспечивают своим геометрическим центрам постоянную линейную скорость V. Предположим, что направление этой скорости может изменяться на обратное за нулевое время, т.е. автомобиль, двигаясь вперед(назад) может резко затормозить и начать двигаться в обратную сторону. Управление автомобилем осуществляется за счет поворота передних колес посредством руля на углы а1 (левого колеса) и а2 (правого колеса), величины которых могут варьироваться в пределах
-а0 < а, < а0,
< < (1.4)
-ао <а2 <ао,
где а0 - заданная величина, характеризующая максимально возможный угол поворота передних колес. Примем, что радианная мера этого угла не превышает величины п/3
0 < а0 < п/3. (1.5)
Найдем связь между углами а1 и а2, исходя из того, что, во-первых, автомобиль вместе с колесами перемещается как твердое тело и, во-вторых, что справедливы неравенства
а1 Ф 0, а2 Ф 0 (1.6)
(руль автомобиля повернут на ненулевой угол). В этом случае, согласно теореме Эйлера, движение автомобиля в произвольный момент времени можно представить как вращение вокруг некоторой неподвижной оси, перпендикулярной плоскости. Положим, что эта ось пересекает плоскость в точке О.
Без ограничения общности допустим, что в данный момент времени автомобиль совершает поворот налево по отношению к водителю. Пренебрегая шириной колес, обозначим их геометрические центры через Е, Е, О, Н (см. рис. 2). Будем считать справедливыми равенства ЕЕ = ОН = 1к, ЕО = ЕН = = м!к, ZОEЕ = 90°. Рассмотрим треугольники ОЕЕ и ООН. Углы Z0EЕ и Z00H прямые, так как точка О находится на пересечении перпендикуляров к колесам автомобиля, идущих из точек Е, Е и О, Н соответственно. Из геометрических соображений получаем ZЕ0E = а1, ZH0О = а2 (рис. 2).
Пусть далее ОЕ = й. Тогда из треугольника ОЕБ с учетом (1.5), (1.6) следует:
й = 4/ tg а1.
(1.7)
Анализируя аналогичным образом треугольник ОСИ, имеем
й = /к/ tg а2 - м>к.
(1.8)
Приравнивая правые части (1.7) и (1.8), приходим к равенству, характеризующему связь между углами а1 и а2
tg а 1 - tg а 2 tg а1 tg а2
и
(1.9)
Так как правая часть в (1.9) положительна, то при повороте руля автомобиля его передние колеса отклоняются на разные углы, причем справедливо неравенство а1 > а2. В случае правого поворота, проводя аналогичные рассуждения, получаем неравенство а1 < а2. Это будет учитываться при разработке модели. С физической точки зрения соотношение (1.9) означает следующее. Для того, чтобы при повороте колеса автомобиля не имели бокового скольжения, они должны катиться по окружностям, описанным из одного центра, который называется центром поворота. В этом центре должны пересекаться продолжения осей всех четырех колес автомобиля. Для соблюдения данного условия внутреннее к центру поворота управляемое колесо следует поворачивать на больший угол, а наружное - на меньший. Отметим так
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.