ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 1, с. 15-28
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 519.711.3, 531, 531.391.5
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С ПРОГРАММНЫМИ СВЯЗЯМИ*
© 2015 г. Р. Г. Мухарлямов
Москва, РУДН Поступила в редакцию 05.05.12 г., после доработки 26.08.14 г.
Излагаются результаты исследований по решению задач управления динамикой систем с программными связями, содержащих элементы различной физической природы. Определяются условия устойчивости решений уравнений динамики относительно уравнений связей, и предлагается алгоритм построения уравнений возмущений связей, гарантирующий стабилизацию связей при численном решении. Приводится решение задачи управления прямолинейным движением тележки с перевернутым маятником.
DOI: 10.7868/S0002338815010114
Введение. Современные методы моделирования динамики сложных систем предполагают обеспечение выполнения требуемых свойств функционирования на этапе составления уравнений динамики. Для построения уравнений динамики, исследования кинематических и динамических свойств управляемых систем, содержащих элементы различной физической природы, используются уравнения и методы классической механики [1—5]. Аналогия динамических процессов в простейшем экономическом объекте движению точки переменной массы [3] позволяет решать задачи планирования и управления динамикой производственных систем, используя методы аналитической динамики систем с переменной массой [6]. Движения механических систем описываются дифференциально-алгебраическими уравнениями, составленными из уравнений динамики и уравнений связей. Существенной проблемой численного решения этой системы является стабилизация связей [7], которая ставится как проблема ограничения отклонений за счет дополнительных сил или соответствующей модификации реакций связей.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача моделирования динамики системы, кинематические свойства и цели управления которой задаются уравнениями связей. Управление динамикой призвано обеспечить выполнение уравнений связей при соответствующих начальных условиях и стабилизацию связей при возмущениях, вызванных отклонениями при задании начальных условий и погрешностями численного решения уравнений динамики. Решение задачи будет обеспечено только в том случае, если уравнения связей составляют частные интегралы соответствующих уравнений динамики системы. При этом необходимо, чтобы решение уравнений динамики было асимптотически устойчиво по отношению к функциям, оценивающим отклонения от уравнений связей.
Известные методы стабилизации связей [7—10] основаны на использовании линейной комбинации, составленной из уравнений связей и их производных. Для определения управляющих реакций связей может быть применен общий подход, основанный на построении систем дифференциальных уравнений по известным частным интегралам [11—13].
2. Построение уравнений динамики сложных систем. Для моделирования динамики систем с элементами различной физической природы вводится унифицированный набор переменных, посредством которых определяются динамические показатели системы и составляются уравнения динамики [2]. Требуемые свойства исследуемой системы и цели управления выражаются
уравнениями связей, наложенных на обобщенные координаты д' и скорости V = йд /й, / = 1,п, системы
/ц (д, ^ = 0, ц = 1, т, (д^, ?) = 0, у = т + 1, г, (2.1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-08-00535).
/1 яч т /1 яч т и ^
q = ,..., q ) , V = (V ,..., V ) , г < Я.
В частном случае, когда /ц (, t) = qц - qц (), уравнения связей задают закон изменения необходимых координат управляемой системы.
Пусть динамика управляемой системы описывается уравнениями Лагранжа
_ I
(2.2)
Ш $ М _0 ^')+*
% = (q'v' ' ' = 1, я-
5 = 1
Здесь Qi, и — соответственно непотенциальные обобщенные силы и управляющие воздействия, Ь — лагранжиан. В выражениях (2.2), как в дальнейшем, по одинаковым индексам производится суммирование. Выражение целей управления уравнениями связей оказывается часто предпочтительным, так как в основной задаче управления накладываются ограничения на фазовые координаты объекта, но не на координаты управляющих устройств. Если число Б управлений равно
числу г уравнений связей, неголономные связи /1 V, ?) = 0 линейны относительно скоростей, и
# = /, ыЖ,,
д^ дv'
то силы % являются соответствующими составляющими реакций идеальных связей, а управления и совпадают с множителями Лагранжа. Тогда приложенные дополнительные силы обеспечивают движение в соответствии с уравнениями связей (2.1). В случае Б > г оказывается возможным управление движением по многообразию, соответствующему уравнениям связей, или вдоль траектории.
Решение задачи управления динамикой системы сводится к определению управляющих воздействий и, которые обеспечивали бы выполнение уравнений связей (2.1) на решениях дифференциальных уравнений динамики (2.2). Вопросы управляемости системы (2.1), (2.2) исследуются в работах [14, 15].
Обычно в случае Б = г для определения выражений множителей Лагранжа используются равенства
Р ^ = 0, р = й, (2-3)
ш
я ^
/(ы,0 = X^() + (0. /Г =
'=1 ^
Левые части выражений (2.3) вычисляются с учетом уравнений динамики (2.2). При этом существенным является предположение о том, что начальные значения q' (0) = q0, V' (0) = v0 удовлетворяют уравнениям связей:
/ >0, to) = 0, я р(^0, = 0. (2.4)
Если величины q0, v0 не соответствуют условиям (2.4), то решение
У " (() = Я >0,^0, to)t + / ц (qo, to), гУ (t) = я \qoVo, to) системы уравнений
йу! = г^ йгР = 0 dt ' Ш '
Б
Ц р
где величины у , г определяются равенствами
У * - /* (д, О = 0, (2.5)
гр - ^р (д,^ 7) = 0, (2.6)
с течением времени будет возрастать по норме, а численное решение уравнений динамики будет неустойчиво по отношению к уравнениям связей (2.1).
Для решения задачи стабилизации связей используем величины у и, гр.
С учетом новых переменных будем рассматривать расширенную систему, которой соответствуют лагранжиан Ь = Ь (д, V, у, г, 7) и диссипативная функция Б = Б (д, v, у, г, 7), удовлетворяющие условиям Ь (д, V, 0,0,7) = Ь (д, V, 7), Б (д, V, 0,0,7) = 0, и на которую действуют силы (д, V, 7) + $. Положим
Ь = Ь + ь(2),
г г т т г
Ь = X «рагV + ЬРгруц + X ^у*, 2Б = X йрСгV.
р,а = 1 р = 1 Ц = 1 = 1 р,ст = 1
Если
п
Ь = Т - V (д), 2Т = X ту (д) ^,
с, у = 1
коэффициенты арст, Ьрц, квадратичной формы Х(2) являются функциями переменных д, йра = йра (д, V, 7), то динамика расширенной системы будет описываться уравнениями
йд
v .
Л
х тссС7 =а'+х ьи»
У = 1 ^ = 1
(2.7)
с/
л
= гц,
(2.8)
X ар° "йг="X ^"- X м а,
а = 1 ц = 1 а = 1
т д2Ь а О + V 52Ь у д2Ь +5Ь(2) 5Б т„ = -:-:, а, = О: +--г — X -:-: V--:--+ -
у дv у ' ' дд' дду дv' дv' дд' дv'
Лр„ = X —^ V +—— - сР1,, су„ = 0,
№ X дд 31 № '' = 1 1
п
кра = X ^Г + V + - V ЬРУ = 0'
дд д
'' = 1, п, ц = 1, т, р = 1, г.
Если уи, гр считать функциями переменной удовлетворяющими уравнениям (2.7), (2.8), то равенства (2.5), (2.6) можно рассматривать как уравнения программных связей по отношению к
исходным переменным д V.
3. Управление динамикой. Представим систему уравнений (2.7), (2.8) в виде, разрешенном относительно производных -у1 |dt, йг р /dt:
_ у'
dt '
' * . (3.1)
-Щр = ^ (?, V, ?) + Еъ™ ^У, ?)и,
5 = 1
= г,,
т г (3.2)
= "Е % Уц - Е кР г Р,
ц = 1 р = 1
Я Я
Q' (q, V, t) = Е т%, Ъ'5 (, V, t) = Е т'Ъ,
;=1 ]=1 г г
= Е а , = Е а РХа, р, а = 1, г,
П = 1 п = 1
т_, арп — элементы матриц (ш$), (арТ|), обратных к матрицам (ш(у), (арп) соответственно.
Система уравнений (3.1) при определенных значениях функций управления и5 и добавочных
переменных уи, гп, выраженных через q',vy, описывает динамику исходной системы. Уравнения (3.2) составляют систему уравнений возмущений связей (2.1) исходной системы. Для стабилизации связей обычно используются различные частные виды системы уравнений (3.2). Имеется достаточно много публикаций обзорного характера, монографий и учебников, посвященных алгоритму Баумгарта [7] и его модификациям [8—10]. Так, выбирая коэффициенты функций Х(2), Б постоянными: арс = 8рс, Ърц = 0, с= -ю28цу, -рс = 2к8рс, получаем систему уравнений возмущений связей
^ = г^ = -юу - 2кг^ = -2кг1, (3.3)
dt dt dt
предложенную в [7]. В случае г = т и к = ю из (3.3) следуют уравнения
^ = г^ = -ю2уц - 2юг(3.4) dt dt
которые используются в [8] для стабилизации голономных связей, наложенных на механическую систему.
Для определения выражений управляющих воздействий и5 через переменные q', V', t следует продифференцировать равенства (2.6) с учетом уравнений динамики расширенной системы (3.1), (3.2):
Я Г * \
ТР . "я „Р
Ж = 0. (3.5)
дt
Е Ку"+ Е кРрг°+Ед^г V'+Е^ о_+Е ъч
ц = 1 с = 1 ' = 1 ' = 1 \ - = 1 у
Равенства (3.5) представляют собой систему г линейных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять Б управляющих функций и5, Б > г:
Б т Б
-Е л = Е к>" + Е крг+яр, (3.6)
5 = 1 ц = 1 а = 1
X, г = X ?тV
''=1
дёР'' + дё
''=1 Удд
дv
+
д£ дг
Правые части уравнений (3.6) содержат слагаемые Н^уц + к^г которые обращаются в нуль на решениях исходной системы, удовлетворяющих уравнениям связей (2.1), и коэффициенты которых определяются выбором функций Х(2), Б. Предполагается, что ранг матрицы (д^) равен г при всех допустимых значениях переменных д, V, 7. Если Б = г, то система уравнений (3.6) имеет решение
г ( т г ^
и —X ёр X Ку " + X крг ° + ёр
р =1 V ^ =1 р =1 /
, (ёФ) = (ё^ Л ^ = 1, г
В случае Б > г система уравнений (3.6) с прямоугольной матрицей (д^) коэффициентов ёр5 имеет общее решение, состоящее из двух слагаемых
0 т V
и, = и и, + и,.
(3.7)
Здесь и0 — произвольная скалярная величина, и, вычисляется как определитель, первая строка
которого состоит из величин 5= 0, I ф 5, 555 = 1, ,, I = 1, Б, последующие строки составлены из
коэффициентов ёр5 уравнений (3.6) и произвольных величин ё™, к = г + 1, Б - 1, которые не обращают в нуль величину определителя.
Второе слагаемое и] ищется в виде линейной комбинации
р5
и5 = X ^ рё
р = 1
коэффициентов ёр5. Множители X р оп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.