Моделирование процессов взаимодействия систем с помощью автоматных моделей
В.Е. Ланкин,
д-р экон. наук, проф., профессор кафедры менеджмента, Южный федеральный университет (347928, Россия, г. Таганрог ГСП 17А пер Некрасовский,44; e-mail: lankin@tgn.sfedu.ru)
О.Д. Глод,
канд. техн. наук, доц., доцент кафедры менеджмента, Южный федеральный университет (347928, Россия, г. Таганрог ГСП 17А пер Некрасовский,44; e-mail: olga.glod@inbox.ru)
Аннотация. Формализация процессов взаимодействия сложных систем, социально-экономических в частности, является сложной задачей из-за многогранности и многоплановости последней. Системная парадигма, предложенная Г. Б. Клейнером, позволяет, в некоторой мере, наметить пути решения этой проблемы. Системная парадигма Г. Б. Клейнера включает в себя 4 типа систем: объектные, средовые, проектные и процессные. В работе рассматривается возможность моделирования процесса взаимодействия систем различной природы с помощью аппарата вероятностных автоматов и идеологии системной парадигмы.
Abstract. The formalization of the interaction of complex systems, social and economic in particular, is a difficult task because of the versatility and diversity of the latter. Systemic paradigm proposed by G.B. Kleyner allows, to some extent, to identify ways to solve this problem. Systemic paradigm GB Kleyner includes 4 types of systems: object, environment, design and process. The paper deals with the modeling of the interaction of various systems using the apparatus of probabilistic automata and ideology system paradigm.
Ключевые слова: моделирование, система, системная парадигма, процесс, взаимодействие, автоматная модель, нечеткая логика.
Keywords: modeling, system, system paradigm, process, cooperation, automat model, fuzzy logic.
Введение
При описании взаимодействия сложных систем и, в частности, социально - экономических, приходится учитывать многогранность и разноплановость этих систем. Это особенно интересно и важно при анализе, диагностике и прогнозировании процессов инновационного взаимодействия, при котором одна из систем (проект) является инновацией. Ключевым моментом в данной проблеме является моделирование «системы-процесса», устанавливающего языки, правила и порядок взаимодействия систем.
В данной работе предлагается математическая модель автоматов, позволяющая описывать процессы, происходящие при взаимодействии различных систем, в частности, социально - экономических. Использование теории множеств и нечеткой логики значительно расширяет возможности модели с точки зрения многогранности и многоплановости объектов взаимодействия.
Система парадигма
В работе Я. Корнаи взаимодействие социально - экономических объектов в реальном мире рассматривается как совокупность подсистем, которые пересекаются между собой, и могут быть вложены друг в друга [1].
Согласно системной парадигме, рассмотренной в работах Г.Б. Клейнера, в общем виде существуют 4 типа систем: объектные, средовые, проектные и процессные [2]. Эти типы систем различны по своей природе, однако могут быть классифицированы по таким признакам, как:
- длительность;
- место в пространстве [2].
Рассмотренные типы систем в социально
- экономических системах взаимодействуют тесным образом, модели такого взаимодействия отражены в работе [3].
Процесс представляет собой целостную, динамическую систему, обладающую функциональными элементами и структурой.
Процессы классифицируют по трем признакам [3]:
- характеру взаимодействия (внутренние, внешние);
- механизму взаимодействия (физические, химические, информационные, организационные, социальные);
- функциональному признаку взаимодействия (метаболизма, репродукции, эволюции, гармонизации, дифференциации, репликации).
Цель и механизм реализации процесса взаимодействия формируются под воздействием системы-проекта и окружающей системы-среды (рис.1).
цессы.
Согласно стандарту ISO 9000 процесс может быть определен как «совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих видов деятельности, преобразующая входы в выходы».
Известно определение процесса как пятерки, состоящей из множества переменных процесса, начального условия процесса, множества состояний процесса, начального состояния
процесса, переходов процесса [4]. Процесс представлен в виде графа, вершины которого называют состояниями и изображают ситуациями (или классами ситуаций), а ребра имеют метки, изображающие действия. Функционирование процесса - это переходы по ребрам графа от одного состояния к другому. Однако в такой модели отсутствует понятие времени, не задан также механизм переходов от одного состояния к другому.
Представляет интерес поиск математической модели для описания процессов в экономической системе с точки зрения системной парадигмы. Важно, чтобы в описании присутствовала такая категория как время, т.к. по этому признаку классифицируются составляющие системной парадигмы. С этой точки зрения представляет интерес математический аппарат теории автоматов [5]. Известно описание коллективного поведения в социально - экономических системах с помощью автоматных моделей [6].
Автоматные модели
Согласно определению, принятому в технических системах, «автомат» - это устройство (система) преобразования и передачи информации от входа Х к выходу У в зависимости от его состояния ¿, задающего алгоритм его функционирования (рис.2):
X -► 1
Рис. 2. Концепция «автомата».
Элементы Х,Ъ,У называют соответственно входным, внутренним и выходным алфавитом языка описания автомата. В самом общем виде эти элементы представляют собой множества:
Х={х^х2.....хм} - входное множество;
7=^1^2.....Z|} - множество состояний;
У={У1,У2.....уи} - выходное множество.
Применительно к экономическим объектам и процессам их взаимодействия, входное множество Х можно интерпретировать, например, как множество ресурсов, необходимых в экономической деятельности. Как правило, в качестве ресурсов выступают земля, капитал и труд. Таким образом, входное множество Х можно задать кортежом Х=<Х-|, Х2, Х3> [7], где Х1 -земля, Х2 - капитал, Хз - труд. Множество состояний Ъ можно интерпретировать как производственную функцию 0=1(Х2, Хз), где Х2 и Хз -
Р(/.(1) //.(1 - 1),хт (1)) =
р(Уп(1>/2. (1 - 1),хта)^.а -1))
Вероятностные автоматы задаются тремя способами: с помощью матриц, в виде графа и с помощью таблиц переходов и выходов.
При матричном способе задания вероятностного автомата задаются входной и выходной алфавиты, алфавит состояний, ЫМ квадратных матриц размерности I, сопоставляя каждой паре
объемы затрат на капитал и труд соответственно. Производственная функция отражает технологию производства, принятую на предприятии, определяет вклад каждого ресурса в создание готовой продукции. Выходное множество У в таком случае будет отражать издержки производства при заданных ресурсах и соответствующей производственной функции.
Автоматные модели позволяют описывать как детерминированные, так и стохастические системы. В последнем случае его называют вероятностным автоматом (ВА).
ВА задается следующим набором: ВА=<Х,Ъ,У,Ро,{Р(*,у/*-1,жО}>,
где Ро - распределение начальных
состояний, Ро=|| Р.° ||, Р.° - вероятность того, что в такте времени ^ автомат будет находиться в состоянии Р^Р^^у^и^х^Н - стохастическая матрица, в которой Р^у^м.х^Р^^ь у(1)=у^(М)=2ц, х^)=х^ — условная вероятность того, что в такте времени 1 автомат будет в состоянии на выходе будет иметь сигнал при условии, что в такте 1-1 автомат был в состоянии а на вход был подан сигнал х^
Конечные автоматы функционируют в дискретные моменты времени 1, причем в каждый момент времени ^ автомат находится в одном из возможных состояний 2(Ъ).
При моделировании следует определить функции переходов ф и выходов ф. Функция переходов задает отображение ф:Х*Ъ^Ъ и ее следует задать в виде стохастической матрицы ||Р{21(1)=2(1)/21_ 1 х1}||. Функция выходов задает отображение ф: и определяет выходные сигналы и задается в виде стохастической матрицы ||Р(у^2м,х^)||, в которой Р(у^_
1,*,*)=РМЧ=у,/2Р-1)=*.1,х(Ч=хь 2(Ч=*} [5].
Функционирует автомат следующим образом. В момент 1 на вход конечного автомата поступает входной сигнал - одна из букв хт входного алфавита Х. При поступлении сигнала хт состояние конечного автомата изменяется в соответствии с функцией переходов ф. На выходе конечного автомата появляется выходной сигнал упф - буква выходного алфавита У, определяемая функцией выходов ф. В начальный момент времени 1о автомат находится в состоянии Ъо. Процесс функционирования конечного автомата рассматривается как последовательная смена его состояний в некотором интервале времени (Ь, Т).
При детерминистическом задании функций перехода и выхода они имеют вид:
1 при Z(t) = ф - 1), Х(1) ] О при Z(t) ^(1 - 1),Х(1)] [1 при У(1) = у^(1-1), Х(1), Z(t)] : [О при У(0 - 1),Х(0^(1)]
символов (хт,уп) матрицу вероятностей смены состояний и выходов.
При задании вероятностной автоматной модели в виде графа задают входной и выходной алфавиты, алфавит состояний. Вершины графа представляют собой состояния автомата, а ребра между ними соответствуют дизъюнкции пар (хт,уп) входов и выходов автомата.
При табличном способе задания вероятностного автомата также задают входной и выходной алфавиты, алфавит состояний, таблицу переходов с вероятностями смены состояний и таблицу выходов с вероятностями выходов.
В таблице 1 приведен пример задания таблицы переходов автомата. В таблице 2 приведен пример задания таблицы выходов автомата.
Таблица 1
Возможно также задание общей таблицы переходов и выходов, пример которой приведен в виде таблицы 3.
Таблица 3
ZxX ZxY
Z1 *Y1 Z1 *Y2 ZN*YR
Z1*X1 P11" d '2 P11 о nr P11
Z1*X2 P12" d 12 P12 о nr P12
ZN*XM pnm" pnm" pnm
ZxX Z
Z1 Z2 ZN
Z1*X1 Р1г Рц2 P n p11
Z1 *X2 P« P,22 p in P12
ZN*XM Pnm1 Pnm2 P n Pnm
Таблица выходов автомата
Таблица 2
X*ZxX Y
Y1 Y2 YR
X1*Z1*X1 P111- P1112 p r P111
X1*Z1 *X2 P112 P122 p r P12
XM^ZN^XM pmnm 1 pmnm2 P r pmnm
Автоматная модель взаимодействия систем
Используя автоматную модель, можно представить
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.