удк 620.179.16
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ С СУХИМ ТОЧЕЧНЫМ КОНТАКТОМ В РЕЖИМЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
В. Н. Данилов, А. А. Самокрутов
На основе метода Смирнова—Соболева, позволяющего преобразовать двумерные решения волновых уравнений к трехмерным, получены представления смещений продольных и поперечных волн, возбуждаемых источниками типа сосредоточенная вертикальная и горизонтальная силы на поверхности упругого полупространства, в виде интегральных представлений Фурье—Бесселя. В дальней зоне получены асимптотические выражения смещений. Приведены результаты численных оценок.
При у. з. контроле бетонных конструкций обычно используется нижний диапазон у. з. колебаний (несколько сотен КГц), поскольку бетон относится к крупноструктурным материалам с существенно более сильным затуханием ультразвука по сравнению с металлами в обычно используемой для контроля последних частотной области (несколько МГц). Одним из направлений развития эхометода контроля бетонных конструкций является применение у. з. преобразователей малых волновых размеров с сухим точечным контактом (СТК) [1]. При этом размеры зоны акустического контакта колеблющейся поверхности преобразователя с поверхностью твердой среды гораздо меньше длины рабочей упругой волны в ней, а преобразователь действует на поверхность как сосредоточенная колебательная сила [2, 3].
а б
Рис. 1. Устройство у. з. преобразователей с сухим точечным контактом с продольными (а) и поперечными (б) колебаниями протектора.
На рис. 1 приведены схемы у. з. преобразователей с СТК, создающих продольные (а) и поперечные (б) колебания области контакта, из работы [1]. Воздействие таких преобразователей на контролируемую среду
можно моделировать сосредоточенной силой, расположенной на поверхности упругого полупространства, нормальной (вертикальной) и тангенциальной (горизонтальной) этой поверхности. Ниже проводится расчет смещений упругих волн, возбуждаемых такой силой. При этом вначале проводится расчет для двумерной (плоской) модели, а затем осуществляется переход к объемной с использованием метода Смирнова—Соболева [4].
2
М(Н,в) *
--_ ______
Рис. 2. Схема к расчету смещений упругих волн, возбуждаемых нормальной (вертикальной) поверхностной силой.
О X
Р{х)Т
Схема к расчету для вертикальной гармонической силы Р (направленной по оси 02) приведена на рис. 2. Структура упругого поля описывается скалярными потенциальными функциями Ф(д\ г), ^{х, г), удовлетворяющими скалярным уравнениям Гельмгольца:
Э2Ф Э2Ф
Эл-+Э^ + *'"Ф = 0; Эх2
Э2У Э2У
+ —- + ^¥ = 0, 02
(1)
где кI, кт — волновые числа продольных и поперечных волн; — отличная от 0 компонента векторного потенциала А по оси ОУ [5].
Компоненты вектора смещения 11х(х, г), 1/2(х, г) и тензора напряжений ТХ2(х, г), Т:,(х, г) определяются из соотношений:
и и + т
дх дг 2 дг дх
' Э2Ф Э2У э2^
дхдг дх2
дг2
Т„ = К
гд2Ф | Э2Ф дх2 + дг
Г?,!
+ 2ц
/
д2Ф
+
Эг" дхдг
(2)
X, |! — параметры Ламэ.
Граничные условия (при г = 0):
1 .Т22 I =-Р(х); 2.ТХ2 I =0.
?=0 г=0
(3)
Для потенциалов Ф и ЧК используем пространственные преобразования Фурье (г > 0), удовлетворяющие уравнениям (1) [6]:
ф = ф(дс,2) = у- |ф(*)е
Д
V = Ц>(х,2) = 14>(к)е1кх+^гс1к,
(4)
где к — параметр интегральных представлений; v; т = - к2; Ф(к) и
Ч'(к) — трансформанты Фурье функций Ф и
Для сосредоточенного вертикального источника нагрузка Р(х) -- FDzb(x) на границе z = О также может быть представлена в виде преобразования Фурье с трансформантой
P(k) = FDl]b(x)e~ikxdx = FDl. (5)
Из соотношений (2)—(5) получаем систему уравнений для определения трансформант потенциалов, из решения которой следует, что
2 kv, №-2 к2)
W(k) = (kx2 - 2к2)2 + 4Fvav
Подставляя коэффициенты (6) в (4), определяем интегральные представления потенциалов для двумерной задачи. Если Ф0(х, z) = Ф(х, z) и Ч^Сх, z) = Ч-'Су, z), то согласно методу Смирнова—Соболева потенциалы, удовлетворяющие трехмерным уравнениям Гельмгольца в декартовых координатах, определяются как (см. [4], формулы (2.212)):
л
Ф[х,у, z) = J Ф0 (x cos ^ + j sin
-л
К
4/г (х, у, z) = - J ^ (х cos H, + J sin В,, z) sin (7)
л
у (х, у, z) = J Yj, (х cos % + у sin z) cos
— IT
где Tvy — компоненты векторного потенциала А по осям ох и oy,
ЗУ эч\
—- + —- = 0; интегрирование в (7) идет по всем возможным углам пово-дх ду
рота Í; исходной координатной системы относительно оси OZ.
Подставляя интегральные представления потенциалов (4) в (7), учитывая, что при изменении значения угла £ в указанных пределах произведения kx cos £, и ку sin i; принимают все возможные значения от -кх до кх и от -ку до ку (достаточно сохранить интегрирование по к в пределах от 0 до оа), после изменения порядка интегрирования получаем:
^ 7Т
Ф(х, y,z) = — J Ф(£) dke"'z J exp[ik(x cos E, + у sin £)] dE,; 0 -it
(х, = + dke"zZ ] ехр[^(л- cos^ + у sin d\. (8)
Пусть в плоскости XOY х = г eos ср, у = г sin ф, г = д/х2 + у2, тогда в (8)
.г cos + у sin = г cos (ф -
Для нормальной сосредоточенной нагрузки задача о возбуждении полупространства — осесимметричная, от нуля отлична не зависящая от координаты ф компонента векторного потенциала = - ^ sin ф + cos ф. Поэтому из соотношений (8) с учетом (6) получаем следующие выражения для потенциалов трехмерной задачи:
i ~ (к2 - 2к2)
IV,Z
X
it
X -ж
J exp [ikr cos(£, - ф)]
л
x J ехр[г'£г cos(£, - ф)] cos(E, - ф)с$;. (9)
-л
В формулах (9) внутренние интегралы выражаются через цилиндрические функции Веселя / нулевого и первого порядков [7]. В результате получаем в цилиндрических координатах (г, ф, г) следующее представление потенциалов для нормальной сосредоточенной силы:
OMNIUM
1 ' II , W{k)
P(k)e'v'zJ0(kr))
4>ф (г, Ф, г) = 11 dk (кг). (10)
Аналогичные соотношения для потенциалов первичных (излучаемых) волн, полученные в работе [8] для круглого преобразователя поршневого типа радиусом а по трехмерной модели, записанные в таких же обозначениях в предельном случае сосредоточенной силы РТ1 = Пгп(титР.,) с учетом различия в ориентации оси 02, имеют вид:
Из сравнения соотношений (10) и (11) следует, что они совпадают при F
= где FTz — обозначение сосредоточенной нормальной силы
2к
для трехмерной задачи. При этом для двумерной задачи Р(к) определяется формулой (5). Такое различие связано с разницей в представлении сосредоточенной силы для двумерных и трехмерных задач. В последнем
F 8(V)
случае нормальная нагрузка описывается выражением [4] Р(г) = —-,
2 кг
8(г) = 0 при /■ = 0 и Поэтому преобразование Фурье—
о
Бесселя |9] для Р(г) равно
P(k) = ]p(r)J0(kr)rdr = ^-,
p(r) = \p(ky0(kr)dk, (12)
где Р(к) = кР (к).
При переходе к решению от двумерной к трехмерной модели (10) следует заменить и представление трансформанты нагрузки и использовать выражение Р{к) из (12). Поэтому в формулах (10) следует провести заме-kF
ну Р(к) —> ——, необходимость которой была установлена выше. Из со-2л
отношений (10) и (12) получаем следующие представления компонент вектора смещения в цилиндрических координатах: для продольных волн
Эг 2тJ W(k) Л '
о
а
dz 2щ±{ W{k) 1 оК '
для поперечных волн
dz 2TtjiJ W{k) lV '
1 Э[гУф(г,ф,г)] iFTrc,,2k\liv
и, =—k---l = —— \dk—-~е lJJkr). (14)
г r dr 2щ[ W(k) ov ' y '
Асимптотическая оценка интегралов (13), (14) проводится аналогично тому, как это делалось в работах [8, 10] в дальней зоне при выполне-
V2 2
х +2 и оценок в первом приближении метода перевала при интегрировании вдоль пути наибыстрейшего спуска. При этом предполагается достаточная удаленность точек оценки от границы z = 0, что согласно [6] достигается при выполнении условий k¡zR( 1 -- sin0) » I, где 0 — угол направления определения смещений в сферических координатах (рис. 2). В интегралах (13) проводится замена к - к, sin t, v, = к, cos t, а в (14) — к = kt sin t, VT = kx cos t\ x = R sin 9, z = R eos 9. Сед-ловая точка во всех случаях t = ts = 9. Следует отметить, что для поперечных волн получаемые асимптотические выражения могут быть неточны, если седловая точка ts = 9 приближается к точке ветвления /в = = aresin (к,/кх) (третьему критическому углу) [6].
В результате получаем следующие выражения компонент смещения продольных и поперечных волн для нормально сосредоточенной нагрузки в точке M(R, 9):
Ui. = к' sin9cos9 _ 2kf sin2 9)—, U1 = U1 ; \у2к W(k, sin9) v т 1 1 R z ' sin9
|í2jt W{kx sin9) y ' x R ' eos9
В сферических координатах смещение в радиальном направлении (пд) (продольных волн)
U1 = UR' = и J sin 9 - UJ cos 9 = _ F,, kf cos 9 ,.2
! s [к] - 2k] sin2 9)-
R
в тангенциальном направлении (n0) (поперечных волн) IP = UQX = U,T cos 9 + UZT sin 9 =
FTz k\ 2 sin 9 cos 9 r~2—2 . 2,
. . J/:,2 - ¿2 sin2 9 ■ |Д,2т1 1У(А'Т sin 9) ^ ' т /?
Схема к расчету смещений для горизонтальной силы (направленной по оси ОХ) приведена на рис. 3.
Поскольку в системе координат OXxY{¿, повернутой на угол <р вокруг общей оси OZ относительно системы OXYZ, существует как проекция сосредоточенной силы FTxпд. на ось ОХх FsvTx = FTx cos (р, лежащая в плоскости ZOXx (поляризация SV0, так и проекция на ось OY¡ FSHTx = = -FTx sin ф (поляризация SH), то необходимо рассмотреть две двумерные независимые задачи о возбуждении упругих волн в плоскостях ZOX и ZOY, после чего осуществить переход к решению соответствующих трехмерных задач с использованием метода Смирнова—Соболева. При этом необходимо учесть изменение решений двумерных задач при повороте этих плоскостей относительно оси OZ, связанные с изменением величин
проекций возбуждающей сосредоточенной силы. Общее решение определяется как суперпозиция решений этих двух задач.
Для задами с поляризацией 5У структура упругого поля описывается скалярными потенциальными функциями Ф(х, г), Ч^х, г), удовлетворяющими скалярным уравнениям (1). Сами потенциалы представляются в виде пространственных преобразований Фурье (г > 0) вида (4) с трансформантами Ф(А') и Ч^Л). Граничные условия (при г - 0)
\.Тгг 1=0; 2.7;, I =-ОД, (16)
г=0 г=0 4
где С(х) — тангенциальная нагрузка (сдвиг) [9].
Рис. 3. Схема к расчету смещений упругих волн, возбуждаемых тангенциальной (горизонтальной) по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.