ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 1, с. 111-117
УДК 536.529
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУЗЫРЬКОВ В ТУРБУЛЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ НА ОСНОВЕ ДИФФУЗИОННО-ИНЕРЦИОННОЙ МОДЕЛИ
© 2004 г. Л. И. Зайчик, А. П. Скибин, С. Л. Соловьев
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва Отраслевой центр Минатома России по расчетным кодам для АЭС и реакторных установок, Москва
Поступила в редакцию 07.03.2003 г.
Представлена диффузионно-инерционная модель для описания переноса малоинерционных частиц произвольной плотности в турбулентных потоках. На основе сопоставления с экспериментальными данными показана применимость предложенной модели для расчета движения пузырьков в вертикальной трубе при различных условиях влияния силы тяжести.
ВВЕДЕНИЕ
Известные методы расчета турбулентных двухфазных потоков могут быть разделены на две группы. К первой относятся работы, основанные на смешанном эйлерово-лагранжевом описании движения среды. В рамках этого подхода уравнения движения и энергии сплошной несущей фазы представляются и решаются в эйлеровых переменных, а уравнения движения и теплопереноса дисперсной фазы записываются и решаются в лаг-ранжевых переменных, т.е. интегрируются вдоль отдельных траекторий частиц (капель, пузырьков). Учет в этом случае хаотического характера движения частиц, обусловленного взаимодействием их с турбулентными пульсациями несущего потока, приводит к существенному увеличению объема вычислений, так как для получения статистически достоверной информации необходимо использовать достаточно представительный ансамбль реализаций решений динамических стохастических уравнений типа Ланжевена вдоль индивидуальных траекторий с последующим осреднением решений по ансамблю начальных данных. С уменьшением размера частиц репрезентативное число реализаций должно возрастать, поскольку увеличивается вклад взаимодействия частиц с вихрями все меньших размеров. Поэтому применение стохастического моделирования движения отдельных частиц, по-видимому, целесообразно только для относительно инерционных частиц, эффективное время релаксации которых существенно превышает временной макромасштаб турбулентности.
Другой метод моделирования двухфазных потоков основан на эйлеровом континуальном представлении уравнений движения и энергии для обеих фаз, т.е. на так называемых двухжидкостных моделях. Существенным преимуществом эйлеро-
ва двухжидкостного подхода по сравнению с лаг-ранжевым траекторным моделированием является использование уравнений одного типа для обеих фаз и, соответственно, единого алгоритма решения всей системы уравнений. Кроме того, описание динамики очень мелких частиц не вызывает никаких принципиальных трудностей, так как при уменьшении размера частиц осуществляется предельный переход к задаче о турбулентной диффузии безынерционной (пассивной) примеси.
Простейшей в рамках континуального подхода является диффузионная модель, основанная на применении обычного уравнения диффузии для описания распространения частиц и справедливая только в предельном случае безынерционных частиц. В [1-3] для расчета переноса относительно мелких частиц в турбулентном газовом потоке предложена диффузионно-инерционная модель, которая в отличие от чисто диффузионной модели позволяет в рамках континуального диффузионного подхода учесть ряд динамических эффектов, обусловленных инерционностью частиц. Суть этой модели, как и эйлеровых методов [4, 5], заключается в выражении скорости частиц через характеристики несущего потока и сведении таким образом задачи моделирования транспорта дисперсной фазы к решению только уравнения для концентрации частиц.
Диффузионно-инерционная модель [1-3] для мелкодисперсной примеси тяжелых частиц, плотность которых много больше плотности несущего потока, использовалась для расчета распространения частиц в струях, осаждения и сепарации капель, горения пылеугольного топлива, течений со спонтанной конденсацией переохлажденного пара в соплах. В настоящей статье выполнено обобщение диффузионно-инерционной модели для частиц произвольной плотности и в качестве прило-
жения показано применение модели для расчета распределения пузырьков в вертикальной трубе.
Диффузионно-инерционная модель для частиц произвольной плотности. Движение одиночной сферической частицы произвольной плотности в жидкой (газовой) среде описывается уравнением
d Vp
dt
3 р f р f ( D u Л
— CdI u - vpI ( u - vp ) + g + pf ( D t - g) +
4 p pdp~D
+ Ca f DU - dV-p | + CL Pf ( u - v p ) x rot u,
pp V Dt dT
L P p
ЭФ + BOVk = 0
d t dxk
(2)
dt
+ Vk dX-1 =-э7 (( v '' ^ - A ( "î ) +
+ U-V + A( ^ + Ut U + (¡Цр)р +
Tp* v э t k Эxk ) 1 + CA p + Cl p ( U - Vk ) (dUk _ U - d ln Ф
1 + CA p vô Xi d xk
Tp* d Xk
A =
( 1 + Ca )p t = 4 d p ( 1 + Cap ) p = pf 1 + Ca p' p* 3p Cd I V - U| ' p p p '
где t - время; vp - скорость частицы; u - скорость несущего потока; р^ и pp - плотности жидкости и частицы; dp - диаметр частицы; g - ускорение силы тяжести.
Члены в правой части уравнения (1) описывают соответственно силы вязкого сопротивления, тяжести и Архимеда, эффект присоединенной массы и так называемую подъемную силу, обусловленную сдвигом скорости несущего потока. Сила присоединенной массы записана в форме, доказанной для случая движения частицы в невязкой жидкости [6] и используемой в большинстве теоретических работ для моделирования движения частиц и пузырьков в турбулентных потоках. Коэффициенты CD и CL в силе сопротивления и подъемной силе могут зависеть от числа Рейнольд-са обтекания частицы, параметра сдвига скорости и других параметров.
Уравнение (1) представляет собой стохастическое уравнение типа Ланжевена, поскольку скорость жидкости u и ее ускорение Du/Dt в турбулентном потоке должны рассматриваться как случайные процессы. С целью перехода от динамического стохастического описания движения отдельных частиц к континуальному моделированию ансамбля частиц (дисперсной фазы) вводится функция плотности вероятности (ФПВ) распределения частиц в турбулентном потоке [7]. Из кинетического уравнения для ФПВ может быть получена система уравнений для моделирования движения дисперсной фазы в эйлеровом континуальном представлении.
Уравнение сохранения дисперсной фазы для частиц с постоянной плотностью имеет вид
Здесь и\ и (и'и]) — осредненная скорость и рей-нольдсовы напряжения сплошной несущей фазы; (V' V]) - турбулентные напряжения в дисперсной фазе, обусловленные вовлечением частиц в пуль-сационное движение сплошной среды; Тр* — эффективное время релаксации частиц, учитывающее эффект присоединенной массы. Первый член в правой части (3) описывает турбулентную миграцию частиц, вызванную возникновением турбулентных напряжений в дисперсной фазе и воздействием турбулентных напряжений в жидкости. Следует отметить, что соотношение между этими двумя слагаемыми определяет направление турбулентной миграции. Последний член в (3) описывает турбулентную диффузию частиц. Тензор турбулентной диффузии частиц определяется выражением
Dpij = TD*((v\v'j> -g"*{"'i"'j))•
(4)
Уравнение для вторых моментов пульсаций скорости дисперсной фазы представляется в виде
9 ( v ' v }> д ( v lv }> 1 Эф( v lv ) vk) Vk k d Xk
dt
+ Ф-
d Xk
+
* (d
+ fu 1*V -
Э(и") тт Э("¡и) , Э(u]u'ju'k>
Эт
+U
d Xk
+
.i.juk/ J Э Xk
dV
= -(( v iv k> + gu*( uiuk>)3X- -
д V■
- ( ( v i v k> + gu* ( u) uk>) ^ + ( lu* + Afu ) x
(. , dUj . , ,.ЭUJ
XV(uiuk> Э^ + (u)uk âX-J +
(5)
T *
p*
( fu* ( uiuj> - ( v' v j>) •
где Ф и VI — осредненные объемная концентрация и скорость дисперсной фазы.
Уравнение баланса количества движения записывается как
Коэффициенты/„*, gu*,/и1*, lu* в (4) и (5) характеризуют степень вовлечения частиц в пульсаци-онное движение несущего турбулентного потока. Для вычисления этих коэффициентов необходимо задать автокорреляционную функцию пульсаций скорости жидкости вдоль траектории частицы ^¿р(х). Если автокорреляционная функция описывается экспоненциальной зависимостью
+
^.р(т) = ехр(-тТр), где Т1р - время взаимодействия частиц с турбулентными вихрями, коэффициенты вовлечения представляются в виде
Ускорение миграционной силы, обусловленной взаимодействием частиц с турбулентными вихрями жидкости, с учетом (8) описывается выражением
/и*
1 + А О 1 + О '
= 1- f О ^
fu1*
1-2 А -2 АО - А202
(1 + О)2
(6)
(1 + А О )2( 1 - АО ) 0( 1 + О)2 '
О = ^.
ТьР
Ф = сошЪ V; = и;' < V] V) = < и\и))'
<v 'V' ^к) = < и']и) и\) •
(7)
1 + А О
< v; VJ) = fu*< ии) = 1 + О < ии) •
(8)
При = Вн = Ть < и',и') •
^м; =
-^т(< VVк) - А<иик)) = -))—(м<иик))'
Э х,
Э Хк
м=
(1 - А ) (1 - А О ) 1 + О •
(10)
В случае плотности частиц, равной плотности несущей фазы (р = А = 1), т.е. для равноплотной суспензии, система уравнений (2), (3), (5) с учетом (6) удовлетворяет очевидным соотношениям
Согласно (7) в равноплотной суспензии распределение частиц однородно, а скорости дисперсной и сплошной фаз совпадают.
Уравнение (5) описывает конвективный и диффузионный перенос, порождение пульсаций из осредненного сдвигового потока, генерацию флук-туаций в результате вовлечения частиц в пульса-ционное движение жидкости и диссипацию турбулентной энергии дисперсной фазы за счет работы сил межфазного взаимодействия. В однородном бессдвиговом турбулентном потоке или для мелких частиц в рамках локально однородного приближения из (5) получается простое алгебраическое выражение для тензора напряжений дисперсной фазы
Соотношение (8) совпадает с известной формулой для пульсационной энергии частицы в однородной изотропной турбулентности [8].
Поскольку целью данной статьи является построение модели для описания движения малоинерционной дисперсной фазы, влиянием инерционности частиц на их время взаимодействия с турбулентными вихрями пренебрегается и Т^р полагается равным лагранжеву интегральному масштабу турбулентности Ть. Тогда, в соответствии с решением Чена [8], тензор турбулентной диффузии частиц (4) с учетом локально однородного приближения (8) становится равным тензору турбулентной диффузии безынерционной примеси (пассивного скаляра) Вц
Коэффициент миграции М в (10) определя
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.