МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.2:3
© 2008 г. Г.Л. БРОВКО, О.А. ИВАНОВА
МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОЙСТВ И ДВИЖЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО ОДНОМЕРНОГО КОНТИНУУМА СЛОЖНОЙ МИКРОСТРУКТУРЫ ТИПА КОССЕРА
Рассматривается подход к моделированию свойств одномерного континуума Коссера [1]. Используется предложенный Ильюшиным в [2] и примененный в [3] метод механического моделирования, предусматривающий построение дискретной модели конструкции, составленной элементами (блоками, ячейками) специального вида, осредненные свойства которой воспроизводят свойства моделируемого континуума. В качестве исходной дискретной модели для континуума Коссера предложена модель оснащенного стержня - упругая конструкция в виде тонкого стержня с размещенными вдоль его упругой линии на упругих шарнирах массивными включениями (шкивами), связанными между собой упругими ременными передачами. Выведена полная система уравнений, описывающих механические свойства и динамическое равновесие оснащенного стержня в произвольных плоских движениях. Проведено усреднение этих уравнений в случае достаточно плавного изменения параметров движения вдоль стержня (длинноволновое приближение). Установлено, что осредненные уравнения в точности совпадают с уравнениями одномерной среды Коссера [1], а в частных случаях и с классическими уравнениями движения упругого стержня [4-6].
Изучаются плоские движения построенной модели одномерного континуума. Уравнения, характеризующие свойства и движения континуума, линеаризуются с помощью ряда предположений о малости кинематических параметров. Решена задача о собственных колебаниях с однородными граничными условиями. Обнаружено, что каждому значению параметра, выделяющего моды собственных колебаний, отвечают ровно две различные формы колебательных движений (в одной моде), каждая со своим значением частоты.
1. Моделирование одномерного континуума Коссера. 1.1. Описание исходной модели. Исходная конструкция, привлекаемая для моделирования одномерного континуума Коссера, представляет собой в недеформированном состоянии тонкий стержень длины l с помещенными на его упругой линии через равные расстояния a жесткими массивными дисками (включениями), способными вращаться в плоскости изгиба стержня вокруг своих осей симметрии, жестко закрепленных на стержне и перпендикулярных плоскости его изгиба (фиг. 1а)). Повороты дисков относительно упругой линии стержня регулируются упругими шарнирами. Будем предполагать диски также связанными друг с другом (с ближайшими соседями с обеих сторон) одинаковыми ременными передачами, обеспечивающими сопротивление относительному повороту охваченных ими соседних дисков. Ячейкой этой конструкции назовем повторящийся элемент конструкции длины a, включающий один из дисков и два полустержня, примыкающих к месту крепления этого диска с двух сторон. Для изолированного рассмотрения ячейки как отдельной механической системы, примем, что ременные передачи связывают соседние массивные
(a)
Al ( \ f V i Г i Л ( \ Г \ Í Л А
г Ч у ТТ Ч У ТТ V У ТгТ i
Фиг. 1
диски-включения через невесомые и не оказывающие сопротивления передаточные диски-шкивы того же диаметра, расположенные на границах ячейки (фиг. 1 и 2). Будем считать углы поворотов передаточных шкивов равными средним значениям углов поворота связываемых ими включений в соседних ячейках.
На фиг. 1 изображен оснащенный стержень в недеформированной (а) и в деформированной (Ь) конфигурациях. Массивные диски-включения изображены затененными кругами, передаточные невесомые шкивы - прозрачными кругами; штрихованные линии - ременные передачи. Ячейка конструкции выделена штрихпунктирным прямоугольником.
Будем рассматривать плоские движения конструкции (в плоскости Оху), характеризуемые перемещениями узлов (мест крепления осей дисков), изгибом и растяжением стержневых элементов (совместно с растяжением ременных передач, не теряющих подходящего для зацепления дисков натяжения), а также вращением дисков вокруг своих осей симметрии (фиг. 1,Ь). Эти движения сопровождаются плоскопараллельной системой силовых и моментных внешних воздействий на конструкцию и внутренних взаимодействий ее элементов (векторы силовых моментов перпендикулярны к плоскости). Деформированная конфигурация ячейки с внешними воздействиями и внутренними моментами изображена на фиг. 2.
Кинематические и силовые характеристики состояния ячеек конструкции при указанных движениях будем считать плавно изменяющимися вдоль длины дуги £ оси стержня в недеформированной конфигурации так, что наименьшая длина А/ участка их монотонного изменения существенно больше характерных размеров ячейки (длинноволновое приближение): а < А/, т.е. а = а/А/ - малый параметр.
1.2. Уравнения движения и определяющие соотношения ячейки. Кинематику ячейки характеризуют г - радиус-вектор точки положения узла ячейки на плоскости, г+ и г- - радиус-векторы правого и левого концов стержневого элемента ячейки, Х+ и Х- -кратности удлинений правого и левого полустержней ячейки, Фъеат - угол между каса-
y
a
x
y
x
Фиг. 2
тельной к упругой линии стержня в узловой точке и осью х, Дф+еат /2 и -ДфЬешп /2 - углы, отсчитываемые по часовой стрелке от касательной к оси стержня в узловой точке к касательным в правой и левой концевых точках соответственно, ф;пс1 - абсолютный
угол поворота массивного диска, Дф+пс1 /2 и -Дфтс1 /2 - относительные углы поворота
правого и левого передаточных шкивов относительно диска-включения.
Внешними по отношению к ячейке силовыми и моментными воздействиями являются как внешние воздействия по отношению ко всей конструкции: Ь - суммарный вектор действующих на ячейку в целом внешних сил, даЬеаш - момент всех внешних сил, действующих на стержневой элемент ячейки, шпсХ - внешний момент, действующий на массивный диск-включение, - так и "внешние" воздействия со стороны остальных частей конструкции: Р+ и -Е- - векторы сил, действующих на правый и на левый полустержни со стороны отброшенной правой и левой частей конструкции, М+еат и -МЬеат - моменты, действующие на правый и на левый полустержни со стороны отброшенных частей конструкции, М+Пс1 и -М1пс1 - моменты, действующие на правый и на левый передаточные шкивы со стороны дисков соседних ячеек.
Внутренними взаимодействиями в ячейке являются Р+ и Р - силы сопротивления правого и левого полустержней растяжению, М+епё и МЪепй - моменты сопротивления
правого и левого полустержней изгибу, М*с1 ^ Ьеат - момент воздействия включения
на стержень, М+п1 и -Мт(. - моменты воздействия правого и левого передаточных шкивов на включение.
Тогда, обозначив массу ячейки через тсе11, а момент инерции диска-включения через ./¡пс1, учитывая инерционные члены среднего поступательного перемещения ячейки и вращательного движения массивного диска-включения, и пренебрегая инерционными членами относительного удлинения и вращения стержневых элементов и ре-
менных передач, получим выражение виртуальной работы всех внешних, внутренних и инерционных сил ячейки в виде
5Л = Ь5г + F+5 г — F-5r- +
+ М+еаш5(Фъеаш + АФ+еат/2) - (Ъеат5(фъеаш - АФ-еат/2) +
+ даЪеат5фЪеаш + mrnc^inc1 - Р+ - Р а/2Ы -
- М+епа§АФ+еат/2- ^bend
§ДфЪеат/2 + Mfnc1 — Ъеат
5фЪеат Mmc1 — Ъеат
5ф
incl
(1.1)
+ ((тс1 - (п)5(Фтс1 + АФтс1/2) - (М—пс1 — (п)5(Фтс1 - АФ—пс1/2) + + ((М^п1 — )5Фтс1 - тсе11г5г - ^тс1 ФРтс15 Ф1пс1
Учитывая, что в рамках принятого здесь длинноволнового приближения кратность удлинения и кривизна стержня слабо изменяются в пределах ячейки, и обозначив через X и к значения кратности удлинения и кривизны стержня в узловой точке ячейки, а через X' и к' значения их производных в той же точке по длине дуги недеформиро-ванной конфигурации стержня, получим приближенные равенства
X+ = X + (а/4)Х, X = X - (а/4)Х, к+ = к + (а/4)к', к = к - (а/4)к' Дф+еат/2 = (а/2)кХ + (а2/8)(к'Х + кХ'), ЛфЪеат/2 = (а/2)кХ - (а2/8)(к'Х + кХ')
(1.2)
r+ = r + (а/2)(Х + (а/4)Х')e + (а /8)кХ2n
г = г — (а/2)(Х — (а/4)Х')е + (а /8)кХ2п
где к+ и к- - средние значения кривизны правого и левого полустержней, е и п - единичные векторы касательной и нормали к изогнутой оси стержня в узловой точке ячейки.
Равенства (1.2) позволяют принять величины X, X', к и к' совместно с г, ФЬеат, Фтс1, АФ+1с1 /2, ЛФтс1 /2 в качестве новых независимых кинематических параметров ячейки. Тогда, переписав выражение виртуальной работы (1.1) и применяя принцип виртуальных работ [8], состоящий в выполнении равенства 5Л = 0 при произвольных вариациях кинематических параметров ячейки, приравниванием нулю множителей при независимых вариациях получим систему уравнений:
5 г: а <! ^ + ? — р г! =0
I
5Х:
а\ T - Р + (МЪеат - Mend )к + кХ +
Э % 4
д M
beam
д M
bend
з% з%
а
ТГ к'
= 0
5Х': i -
Э T _ дР +
5к:
5к': -í-
.3% 3%
а i (Мъ
Э Мъ
beam
Э M
bend
3 %
3 %
- мъ end ) x + ^ ^ x2 +
к!> = 0
3 %
д M
beam
д M
bend
3% 3%
а X'
Э Мъ
beam
Э M
bend
3 %
3 %
X = 0
=0
(1.3)
3
3
P^beam,;^ , ~ , д T С^ ,2 д Qa\ ,1 „
5фъеаш: a 1 - „ + Q X + m + Mincl ^ beam--"^kX + -ff-^ X | = 0
[d £ д £ 8 д £ 8 J
[д M
§Фтс1: С [ ■""д;--;^ + m in- Mincl ^ beam- J pincl | = 0
5(Дф+пс1/2): MMinci - MMint = 0 Х(Лф- /<П [ д Mincl д Mint 1 n
8(Дф-1/2): a | IT - TT1 = 0
Левые части первых семи уравнений (1.3) суть не что иное, как множители при соответствующих вариациях в выражении виртуальной работы 5A; левые части последних двух уравнений получены комбинацией таких множителей: в первом из них стоит их полусумма, во втором - разность. Кроме того, использованы обозначения
f = Ь/a, m = mbeam/a' min = mincl/a (1.4)
для удельных (погонных по отношению к длине a ячейки в недеформированной конфигурации) внешних нагрузок, обозначения
Mincl ^ beam = M*d ^ beam/a, Р = ^ell^ J = Jincl/a (1.5)
для удельного момента взаимодействия включения со стержнем, удельной плотности массы конструкции и удельного момента инерции включения, а также обозначения вида
A = (A+ + A")/2, дА/д£ = (A+ - A")/a (1.6)
для средних значений и разностных отношений величин A+ и A-, причем принято T = F+ ■ e, Р = F- ■ e, Q+ = F+ ■ n, Q- = F- ■ n.
Сравнительная оценка в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.