МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2015
УДК 532.135
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ПОЛИМЕРНОГО РАСПЛАВА В СХОДЯЩЕМСЯ КАНАЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ
© 2015 г. К. Б. КОШЕЛЕВ*, Г. В. ПЫШНОГРАЙ**, М. Ю. ТОЛСТЫХ***
*Институт водных и экологических проблем СО РАН, Барнаул **Алтайская государственная педагогическая академия, Барнаул ***Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова, Барнаул e-mail: koshelevkb@mail.ru;pyshnograi@mail.ru; mister.tolstykh.m@mail.ru
Поступила в редакцию 20.11.2014 г.
Для решения задачи математического моделирования трехмерных течений нелинейной вяз-коупругой жидкости в плоскопараллельном канале с внезапным сужением используется модифицированная реологическая модель Виноградова—Покровского. Получение дискретных аналогов осуществляется методом контрольного объема с разделением по физическим процессам, а численная реализация проводится с использованием графических процессоров на основе технологии параллельных вычислений CUDA. Рассчитаны поля скоростей и напряжений для двух образцов расплавов полиэтилена и отмечается наличие циркуляционного течения в области входа в щелевой канал. При этом размеры вихря существенно зависят от реологических характеристик расплава.
Ключевые слова: реология, расплавы полимеров, параллельные вычисления, реологическое уравнение состояния, трехмерные течения.
Математическое моделирование двух- и трехмерных течений нелинейных вязко-упругих сред является одной из важнейших задач в реологии растворов и расплавов полимеров. Это обусловлено следующим. Промышленная переработка полимеров производится в их вязкотекучем состоянии. Большинство процессов переработки (например, экструзия, литье, выдувание и др.) осуществляются в областях со сложной геометрией.
Само математическое моделирование включает два взаимосвязанных этапа. Во-первых, выбор и обоснование реологической модели и, во-вторых, алгоритмическая реализация полученных уравнений и численный эксперимент. Что касается первого этапа, то в настоящее время нет недостатка в реологических моделях различной сложности как интегрального типа (например, модель KBKZ [1, 2]), так и дифференциального типа (например, модель полимера с разветвленной структурой [3] и ее модификации [4, 5], модель Леонова—Прокунина [6] или модифицированная модель Виноградова—Покровского [7—11]). Все эти модели описывают основные наблюдаемые в вискозиметрических экспериментах эффекты: градиентную зависимость сдвиговой и элонгационной вязкости, первую и вторую разности нормальных напряжений, немонотонное установление сдвиговых и растягивающих напряжений.
Все вискозиметрические течения имеют достаточно простую структуру, так как тензор градиентов скорости известен, и все перечисленные модели демонстрируют похожую точность при описании этих течений. Поэтому вопрос об адекватности реологических моделей решается при расчетах двух- и трехмерных течений в областях со сложной геометрией. На этом этапе математическая проблема сводится к решению
систем дифференциальных или интегрально-дифференциальных уравнений в частных производных, что является достаточно сложной проблемой. Применение различных методов дискретизации приводит к нелинейным системам алгебраических уравнений большой размерности, и их решение требует или привлечения дополнительных предположений, что не всегда обосновано, или применения современных компьютерных технологий, например, параллельных вычислений, что не всегда приводит к приемлемым результатам.
В данной работе для решения задачи математического моделирования трехмерных течений нелинейной вязкоупругой жидкости в плоскопараллельном канале с внезапным сужением используется модифицированная реологическая модель Виноградова— Покровского. При получении дискретных аналогов применяется метод контрольного объема с разделением по физическим процессам, а численная реализация проводится с использованием графических процессоров на основе технологии параллельных вычислений СиБЛ.
1. Математическая модель. Известно, что расплавы линейных полимеров являются нелинейными вязкоупругими средами. Для описания их течений в настоящее время часто используются уравнения, учитывающие существенные особенности поведения полимерных жидкостей [1—10].
Предпочтение при выборе математической модели следует отдавать моделям, в которых в той или иной мере учитывается структура полимерных молекул. Подобный учет достаточно сложен, поэтому наиболее востребованными являются модели, в основе которых лежит мезоскопический подход. В этом случае поведение полимерной макромолекулы заменяется поведением одного или нескольких релаксаторов, а переход к макроскопическому описанию осуществляется методами статистической механики [3, 8, 9, 15]. Одной из таких моделей является модифицированная реологическая модель Виноградова—Покровского [7]
а ¡к = -Р$1к + 3—а1к
Т° (1.1) й 1 + (к-В)/ 2 3В У ;
~а1к -^ца]к к]ац +---— а1к =~У¡к - — аца]к
М т° 3 т°
где а,к — тензор напряжений; p — гидростатическое давление; п° и т ° — начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации; vik — тензор градиентов скорости; ак — симметричный тензор дополнительных напряжений второго ранга; / = ац — первый инвариант тензора дополнительных напряжений; у ¡к = 1 (¡к + V к/) — симметризо-
ванный тензор градиентов скорости; к, р — феноменологические параметры модели, учитывающие в уравнениях динамики макромолекулы размеры и форму молекулярного клубка.
Как показано в [7], тензор дополнительных напряжений ак определяется отклонением тензора инерции макромолекулярного клубка от состояния равновесия, отнесенным к их равновесным значениям. В случае, когда в полимерной системе реализуется течение с ненулевыми градиентами скорости, макромолекулярные клубки деформируются вдоль потока, и сплошная среда, образованная такими клубками, становится анизотропной. Поэтому тензор дополнительных напряжений ак называют еще тензором наведенной анизотропии.
Можно ожидать, что эта модель, опробованная на простых течениях [7—15], окажется подходящей для численного исследования поведения полимеров в сложных условиях деформирования, которые являются характерными для технологических процессов переработки полимеров. Это стационарные и нестационарные течения в
круглых каналах, течения в каналах с резко изменяющемся площадью сечения и течения со свободной поверхностью. Существенной особенностью таких течений является их двух- и трехмерный характер. Ранее попытки моделирования таких течений на основе уравнений (1.1) уже предпринимались [10, 12, 16].
В работах [10, 12] рассматривались двух- и трехмерные напорные течения в каналах с прямоугольными сечениями. При этом градиент поля давлений был известен. В [16] для моделирования входных течений использовался осесимметричный круглый канал. Однако попытка использовать численный метод [16] для расчета плоских каналов оказалась неудачной.
Для проведения расчетов реальных течений на основе этой модели к (1.1) следует добавить уравнения сохранения импульса и массы
( д д ^ д ди, „ ,, ,ч
Р— и + — и 1=—^ = 0 (1.2)
^д? дХк ) дХк дх,
Здесь р — плотность полимера; и — ;-я компонента вектора скорости.
Система уравнений (1.1 — 1.2) является замкнутой относительно переменных ау, и,-, Р. Для решения задачи необходимы начальные и граничные условия, для задания которых обсудим сначала расчетную область, приведенную на фиг. 1.
Расчетная область представляет собой два параллелепипеда. Первый резервуар — канал с квадратным сечением 14 х 14 мм, второй — щелевой канал с сечением 14 х 1 мм. Длины параллелепипедов выбираются достаточно большими (—80 < I < 80 мм) для исключения влияния как входа в резервуар, так и выхода из щелевого канала. Следует ожидать, что течение в такой области будет трехмерным, т.е. различным в направлениях различных осей. При этом основной поток будет направлен вдоль оси Ох; вдоль оси Оу будет происходить сильное сжатие потока, что может привести к появлению вихрей, а вдоль оси О1 изменения будут несущественными. Поэтому назовем ось Ох — направлением потока, ось Оу — направлением, перпендикулярным потоку, а ось О1 — направлением, нейтральным потоку.
vjc ']
Фиг. 2. Сравнение теоретических (1, 3) и экспериментальных (2, 4) зависимостей стационарной сдвиговой вязкости от скорости сдвига для линейного полиэтилена низкой плотности (1, 2) (LLDPE) и полиэтилена низкой плотности (3, 4) (LDPE)
Основными граничными условиями являются условия прилипания на твердой поверхности для скорости Vj = 0. Граничные условия для безразмерных напряжений получаются подстановкой этих условий (uj = 0) в уравнения (1.1) и отбрасыванием слагаемых,
д vt ди{ ^ dv: dv:
содержащих = —-, —- — для стенок у = const; и:, —j, —l- — для стенок г = const; дх дх дх ду
^^, ^^ — ддя стенок х = const. Так как расчетная область симметрична относительно ду dz
плоскостей z = 0 и у = 0, то расчеты проводились для заштрихованной на фиг. 1 области.
В качестве граничных условий при г = 0 или y = 0 использованы условия симметрии или равенства нулю соответствующих частных производных. На входе в резервуар при х = —80 мм для компонент скорости использованы выражения
и2(-80, у, z) = и3(-80, у, г) = 0 и Ui(-80, у, z) = 9V(z - 7)2(у - 7)2/5488, мм/c, где V- объемный расход.
Течения в плоскопараллельном канале с внезапным сужением (фиг.1) обычно называют сходящимися течениями или течениями входа. Для расчетов таких течений по модели (1.1-1.2) необходимо определить численные значения параметров реологической модели р, к, Р, п0 и т0. Для этого обратимся к экспериментальным данным по зависимости стационарной сдвиговой вязкости от скорости сдвига [17]. Параметры модели подбирались из условия наилучшего совпадения экспериментальных и теоретических зависимостей. Результаты сравнения этих зависимостей приведены на фиг. 2. Для образца LLDPE получено п0 = 14500Па, т0 = 0,2 с, а для LDPE — По = 18500 Па, т0 = 2 с. Значения параметров анизотропии в = 0.1 и к = 0.12 оказались одинаковыми. Значения плотности р были приведены в работе [17] и составляют 918 кг/м3 для LDPE и 926 кг/м3 для LLDPE.
Налич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.