МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015
УДК 550.344.42; 551.466
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦУНАМИ КОСМОГЕННОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ
В РАМКАХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА С ИСТОЧНИКАМИ РАЗЛИЧНЫХ
ТИПОВ
© 2015 г. А. С. КОЗЕЛКОВ***, А. А. КУРКИН*, Е. Н. ПЕЛИНОВСКИЙ****,
В. В. КУРУЛИН**
*Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Нижний Новгород ** Российский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, Саров ***Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород e-mail: askozelkov@mail.ru, aakurkin@gmail.com, pelinovsky@gmail.com, kurulin@mail.ru
Поступила в редакцию 27.05.2014 г.
Представлены результаты моделирования цунами космогенного происхождения при использовании двух моделей их генерации. В первой модели параметризованный источник задается аналитическим выражением, а во второй — получен численным решением системы уравнений Навье—Стокса. Приведены результаты расчетов распространения волн в бассейне постоянной глубины, и проведено сопоставление волновых характеристик.
Ключевые слова: космогенные цунами, параметризованный источник, численное моделирование, уравнения Навье—Стокса.
В течение последних 15 лет выполнен всесторонний поиск и анализ околоземных объектов, приведший к открытию около десяти тысяч метеоритов [1], способных пересечься с орбитой Земли. Такие небесные тела называют потенциально опасными, и в настоящее время обнаружено более 800 метеоритов большого диаметра, столкновение которых с Землей может привести к катастрофическим событиям.
Каждый год регистрируется 2—3 пролета на расстоянии 0.5—3 млн км от Земли тел диаметром 100—1000 м, и зачастую пролет обнаруживается уже после максимального сближения. В целом же, в пределах 0,2 а.е. от Земли, вращается более 7000 комет и метеоритов, которые потенциально могут столкнуться с нашей планетой, причем 90% из них имеют диаметр более километра — фиг. 1.
Учитывая тот факт, что водная поверхность составляет около двух третей от всей земной, вероятность падения метеорита в океан гораздо выше, чем на сушу. Однако к настоящему времени обнаружено всего 15—20 кратеров, образованных при ударе в море [2, 3]. Это связано с меньшей исследованностью морского дна, а также особенностями подводного кратерообразования. Малое число кратеров в океаническом дне в значительной степени обязано возрасту океанической коры.
Столкновение метеорита с океаном приведет к возникновению, так называемой, космогенной волны цунами, механизм возникновения и распространения которой изучен слабо ввиду отсутствия хотя бы одного реального события. Исследование возникновения космогенных цунами в общем случае порождает много проблем, для решения которых построение единой физико-математической модели едва ли представляется возможным. Общая модель должна учитывать процессы гидро-, аэродина-
Известные околоземные метеориты
Околоземные метеориты
10000
8000
6000
4000
2000
I I I ■ ■ I
Годы
100 300 1000 Диаметр
Фиг. 1. Статистика обнаружения околоземных небесных тел (а) и их распределение по диаметру (б) [1]
0
мики, механики напряженно-деформированного состояния, динамики многокомпонентных сред, а в более сложном случае и многофазных сред. По этой причине при моделировании космогенных цунами выделяют ряд подзадач, для которых строятся конкретные модели.
К наиболее общим из таких задач можно отнести формирование очага, т.е. непосредственно падение метеорита, кратерообразование на дне океана, выброс воды в атмосферу, распространение волны и ряд других. В настоящее время моделирование очага цунами осуществляется двумя способами. Первый способ восходит к работе [4], в которой форма каверны на поверхности задается с помощью аналитических формул, а стадия падения метеорита и его погружения в воду не рассматривается. Такой способ позволяет решать только гидродинамические уравнения, и он уже использовался для моделирования космогенных цунами в Атлантике [5, 6] и Черном море [7, 8]. Второй способ связан с непосредственным решением уравнений гидродинамики совместно с уравнениями, описывающими движение метеорита. Такой подход уже использовался для моделирования космогенных цунами, сопровождающихся событиями геологического прошлого Земли [9—11].
В данной работе приводятся результаты сравнения этих двух подходов к описанию начальной стадии возникновения и распространения волны цунами космогенного происхождения в бассейне постоянной глубины. Рассмотрена математическая модель, используемая для описания волнового движения, а также начальные условия, выбираемые в рамках двух подходов. Дается сопоставление результатов расчетов в рамках двух подходов.
1. Математическая модель. Опишем сначала классическую задачу, когда вхождение астероида в воду параметризуется определенными начальными условиями. Предполагается [4], что на начальной стадии кратерообразования метеорит создает радиально симметричную полость, которая может быть описана простой функцией
П1т>) = Бе(1 - г2/В&), г < Яв
П™р(г) = 0, г > Кв
где БС — глубина каверны, ЯС и Ял — внутренний и внешний радиусы каверны, соответственно.
В случае равенства внутреннего и внешнего радиусов каверны ДС = Яп в начальный момент времени на поверхности воды образуется впадина (фиг. 2), что соответствует
выбросу воды в атмосферу или ее испарению [12]. В случае ЯБ = 42яс вода, выброшенная из каверны, формирует внешний всплеск — кольцевую структуру, характерную при падении объекта в воду, объем которого в точности соответствует объему воды, выброшенному из каверны.
Считая, что кинетическая энергия метеорита частично переходит в потенциальную энергию смещения уровня воды (во всех расчетах, представленных в данной работе, доля энергии, переданной воде, составляет 15.5%), в [4] выводятся простые аналитические формулы для вычисления радиуса и глубины каверны
Бс = V (2ер 1ЯХ)/(Р „ЕЁ),
Яс = Я1(2бV/ /(Я))8 (р7/р„)1/3((р„/р1 )1/3-8 М^Г1))26)
где р^ — плотность воды, g — ускорение силы тяжести, б — доля кинетической энергии метеорита, переходящая в энергию цунами, р7, Ут — плотность, радиус и скорость метеорита, q и а — коэффициенты, связанные со свойствами метеорита и водного слоя.
Предполагается, что в начальный момент времени скорость частиц воды равна нулю. Начальных условий на смещение водной поверхности (1.1) и нулевой скорости частиц воды достаточно для решения уравнений гидродинамики. Обычно далее используются формулы линейной дисперсионной теории волны на воде (как правило, асимптотические представления интегральных выражений, корректированные с учетом переменности глубины бассейна) [4], или нелинейную теорию мелкой воды, если размер кратера значительно превышает глубину бассейна [12]. Отметим, что эквивалентный очаг цунами космогенного происхождения появился по аналогии с очагом цунами взрывного происхождения [13], который применяется для расчетов цунами вулканического происхождения [14, 15]. В [13] подчеркивается, что параметризация вида (1.1) не является действительной характеристикой процессов, происходящих в очаге цунами, и ее выбор связан исключительно с желанием получить хорошее описание волновых процессов на большом расстоянии от очага.
Во втором подходе возникновение волны цунами описывается в рамках совместного решения уравнений гидродинамики и газодинамики (океан—атмосфера), и механики деформируемого тела (метеорит) или их упрощений. Примеры таких моделей можно найти в работах [3, 9, 16].
В настоящей работе решаются уравнения Навье—Стокса двухкомпонентной (вода и воздух) несжимаемой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, при этом и вода и воздух считаются несжимаемыми. Эти уравнения используются для описания каждой компоненты среды, а их объединение в единую систему осуществляется с помощью
VOF-метода "Volume of fluid method (Метод объёма жидкости)" [17]. Численное решение итоговой системы осуществляется с помощью методов SIMPLE/PISO [18, 19]. Такой подход является стандартным и достаточно распространенным; он применяется для решения задач со свободной поверхностью, как в коммерческих, так и свободно распространяемых пакетах программ [20].
Движение метеорита моделируется с использованием метода погруженных границ [21]. Метод предполагает выделение в расчетной области ячеек полностью или частично занятых твердым телом и введением для данных ячеек дополнительной силы сопротивления, предложенной в [22]. Такой подход к моделированию подвижного твердого тела достаточно прост, не требует динамического перестроения расчетной сетки и дает хорошие результаты для практических задач, где не требуется детальное описание течений в пограничном слое вблизи поверхности твердого тела [23].
Описанная здесь модель реализована в пакете программ ЛОГОС [24, 25], который и используется для численных экспериментов, представленных ниже.
Отметим, что данная модель, основанная на теории несжимаемой жидкости, не может описывать движение метеорита в воздухе. Кроме того, модель должна учитывать термодинамику движения тела в воде и возможность парообразования воды. В частности, эти процессы учитываются в уравнениях состояния Титолсона, учитывающих процесс парообразования [20]. Эти процессы предполагается рассмотреть в дальнейшем. Для качественного сравнения образования и распространения космогенных цунами от источников различного типа сжимаемостью воздуха можно пренебречь, так что данная модель не накладывает никаких ограничений.
Ниже приводятся результаты сравнения распространения волн цунами в бассейне конечной глубины в рамках двух подходов — уравнения Навье—Стокса для жидкости с начальным условием (1.1) и полная модель, учитывающая вход метеорита в воду из атмосферы.
В представленных расчетах используется нулевое начальное условие для поля скоростей среды, а для давления стандартное гидростатическое распределение [26]. Объемная доля каждой компоненты среды в каждом эксперименте различна и зависит от подхода к моделированию источника возмущения.
В качестве граничного условия на дне рассматриваемой области используется приближение твердой стенки: нулевые значения скорости, градиента статическог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.