УДК 551.465
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ЗАДАЧАХ ЦИРКУЛЯЦИИ ОКЕАНА
© 2014 г. С. Н. Мошонкин*, В. Б. Залесный*, А. В. Гусев*, Р. Тамсалу**
*Институт вычислительной математики РАН 119991 Москва, ул. Губкина, 8 E-mail: atarexm@himki.net **Эстонский морской институт 12618 Таллинн, Эстония Поступила в редакцию 15.03.2013 г., после доработки 08.04.2013 г.
Дана физическая постановка, формулируется математическая модель и численный алгоритм модели турбулентности как блока модели циркуляции океана для расчетов на десятки лет. Модель основана на эволюционных уравнениях для кинетической энергии турбулентности (КЭТ) и частоты ее вязкой диссипации. Численный алгоритм решения как модели циркуляции, так и модели турбулентности основан на неявных схемах расщепления по физическим процессам и геометрическим координатам. Для модели турбулентности это позволило получить аналитические решения на фазе расщепления, связанной с генерацией и диссипацией КЭТ. С целью воспроизвести годовой ход и синоптические возмущения характеристик океана проведены численные эксперименты с моделью совместной циркуляции Северной Атлантики, Северного Ледовитого океана и Берингова моря с разрешением 0.25° по широте и долготе с 40-ка расчетными уровнями по вертикали, положение которых учащается по мере приближения к поверхности океана, что позволяет лучше воспроизводить процесс развитой турбулентности. Результаты сравниваются с данными наблюдений и результатами моделирования с использованием "традиционных" параметризаций перемешивания верхнего слоя океана. Показано, что модель хорошо воспроизводит характеристики океана, незначительно увеличивая время расчетов по сравнению с простыми параметризациями. Дан анализ пространственных и временных распределений характеристик турбулентности.
Ключевые слова: модели, турбулентность, циркуляция, океан.
Б01: 10.7868/80002351513060126
1. ВВЕДЕНИЕ
Моделирование с помощью трехмерных моделей общей циркуляции океана чрезвычайно важно для изучения как генезиса изменений климата, так и роли океана и морского льда в этих изменениях. Турбулентные процессы являются принципиально значимым фактором для таких моделей. Они не описываются уравнениями модели общей циркуляции, поэтому их необходимо параметризовать или добавить дополнительные уравнения, воспроизводящие их. Заметим также, что в модели циркуляции океана расчет потоков тепла на границе атмосферы и океана идет с использованием модельной температуры поверхности океана, а она принципиально зависит от турбулентного перемешивания. Таким образом, задание граничных условий также во многом определяется типом используемой модели турбулентности. Современное состояние воспроизведения турбулентных процессов в моделях циркуляции, ис-
пользующихся для реконструкции климата или средних климатических состояний, можно характеризовать тремя уровнями подходов. Во-первых, заданием более или менее адекватных постоянных значений коэффициентов вертикального обмена, как это делается, например, в модели циркуляции Северного Ледовитого океана (далее — СЛО) с пространственным разрешением 9 км при 45 уровнях по вертикали, где воспроизводится среднее климатическое состояние и оценивается вклад вихревого компонента в формирование характеристик [1]. Во-вторых, использованием той или иной простой зависимости коэффициентов вертикального обмена от стратификации и сдвига скорости течения или от локального числа Ричардсона, типа параметризаций Монина-Обу-хова [2] или Манка-Андерсона [3] и др. И в-третьих, применение моделей турбулентности разного уровня учета физических факторов. Пожалуй, наиболее полной моделью турбулентности, используемой сейчас в моделях циркуляции, яв-
ляется модель Мелора—Ямада уровня 2.5 [4]. Она используется в широко применяемой модели POM. Это положение зафиксировано на сайтах таких моделей как MOM, OPA, POM. Отмечается, что третье направление дает наилучшие результаты, но существенно увеличивает время расчетов. В качестве характерного примера приведем проект NEMO, модель OPA [5], где все указанные выше направления представлены. Здесь же дано использование так называемой КРР параметризации [6], представляющей собой некий аналог интегральной модели верхнего перемешанного слоя с элементами теории подобия в погранслое. В модели турбулентности, которая описана в [5], вместе с уравнением КЭТ используется простейшее выражение для масштаба турбулентности и отсутствует вертикальный перенос (выигрыш во времени за счет "урезания" физики).
Заметим, что для турбулентных потоков свойств выводятся точные уравнения, но при этом возникает проблема замыкания и параметризации более высоких турбулентных моментов. Эта проблема обходится с помощью Z-гипотезы, когда турбулентные потоки полагаются пропорциональными средним градиентам крупномасштабных характеристик. Возникают кинематические коэффициенты турбулентной вязкости Ku и турбулентной диффузии температуры KT и солености KS. При такой параметризации третьих турбулентных моментов турбулентные коэффициенты зависят как от характеристик турбулентности, так и от функций устойчивости, учитывающих влияние вертикального сдвига скорости и стратификации плотности на процессы турбулентного обмена, которые выводятся тем или иным способом из уравнений переноса третьих моментов (см., например, [7—9] и др.). Актуально как применение достаточно полной физической формулировки модели турбулентности, так и использование такой численной схемы, которая позволила бы построить наиболее экономичный расчетный алгоритм. Выбор начального варианта модели турбулентности осуществлен нами на основе результатов обзора современных моделей турбулентности, приведенного в ряде работ и особенно в обзоре [9]. Попытка решения такой задачи была предпринята в нашей работе [10], где модель турбулентности расщепляется по физическим процессам. Цель данной работы — модифицировать алгоритм этой модели и подключить ее в разрешающую вихри модель циркуляции океана. При этом осуществляется построение экономичного и устойчивого алгоритма решения для задачи расчета характеристик турбулентности, который не вносит существенного увеличения времени расчета климатических характеристик в общей задаче циркуляции океана и турбулентности. Апробация модели про-
изведена на примере Северной Атлантики (СА) и Северного Ледовитого океана.
Структура модели основана на методе ее численного решения — методе многокомпонентного расщепления. Метод включает неявные схемы расщепления по физическим процессам и геометрическим координатам [11]. Программной реализации модели присущ модульный принцип: отдельный этап расщепления представляется отдельным программным модулем. В результате расщепления сложная система уравнений динамики океана разбивается на ряд отдельных подсистем — модулей более простой структуры. Модель может состоять из разного набора модулей, описывая физический процесс с заданной степенью полноты. Ниже описывается математическая модель, разработанная в ИВМ РАН для воспроизведения совместной термохалинной циркуляции вод СА и СЛО. Описывается численная техника решения задачи, постановка и результат вычислительного эксперимента. Результаты расчета сравниваются с данными наблюдений и результатами моделирования с использованием известных традиционных параметризаций.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЦИРКУЛЯЦИИ ОКЕАНА И ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ст-СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Для исследования климата океана используется модель крупномасштабной циркуляции океана в ст-системе координат с приведенной глубиной а = (2 -£)/(И -С), где Z — обычная вертикальная координата, Н — глубина места, с; — уровень океана. Она основывается на полных "примитивных" уравнениях для горизонтальных компонентов скорости течения, гидростатики, неразрывности, эволюции тепла и соли и уравнении состояния [12—14]. В качестве новой системы координат вместо обычной географической выбирается 2-х полюсная ортогональная система с целью избежать численного шума у Северного полюса. Полюсы новой системы расположены на географическом экваторе за пределами расчетной области в точках с координатами 120° W и 60° Е.
Как было сказано выше, для большинства моделей общей циркуляции океана одними из наиболее важных процессов являются вертикальные турбулентные обмены моментом, теплом и солью, которые не описываются уравнениями модели. Для расчета коэффициентов вертикальной турбулентности в нашей модели использовались параметризации [2], либо [15]. В этих случаях процесс глубокой конвекции при неустойчивой стратификации потенциальной плотности параметризуется увеличением на несколько порядков коэффициентов вертикального обмена [12, 14].
Другой подход состоит в применении модели развитой турбулентности, основанной на следующих уравнениях в ст-системе координат [16—18]:
йк 1 Кий£] + киО2 - КРК2 - (с0)4шк, СИ Н2 дст^ст* За) р
í т^ „ л
do
dt
G
X А
H2 5а
Ku ды
1а<» да
ы (cifflKuG2 kу
- CiKpN2 - c2ffl(cs)4kw),
(1.1)
= (-L du)2
(H Ôa!
+(1 - )2 \H da!
( ± dw )2
(H Ôa!
N =
=a g dp
H p0 ôa
pot
Ku =
cUk
'S 0 CS
Kt —
cTsk
ю
-S 0 CS
Ю
Ю =
(C0)4 k'
(1.2)
где е — скорость перехода КЭТ во внутреннюю тепловую энергию воды из-за вязкости среды или
диссипация, с0 = 0.5562 — значение безразмерной функции устойчивости С^ при нейтральной стратификации [9]. Далее в (1.1) ак = 2.0 — турбулентное число Шмидта для КЭТ; стш = 2.0 — турбулентное число Шмидта для ю [9]; О — частота сдвига скорости течения; N — частота Вяйсяля— Брента или частота плавучести; р ( = р(Т, 0) — потенциальная плотность воды как функция температуры и солености; g — ускорение свободного падения; Ки, Кр — кинематические коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии. В данном варианте модели полагается Кр = КТ = К0. В дальнейшем это допущение будет снято, например, согласно результатам [20]. Коэффициенты в (1.1)
равны (см., например, [9]): с{° = 0.555, с® = 0.833,
1-0.6 при N > 0
с3 = < . Из уравнений (1.1) сле-
[1.0 при N2 < 0 дует, что в случае роста со временем устойчивости
стратификации и частоты плавучести N (параметр с® < 0) растет и частота ю. Иными словами, при росте стратификаци
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.