АГРОХИМИЯ, 2007, № 8, с. 76-82
УДК 63:65.012.122
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ ПОЧВЕННЫХ СВОЙСТВ НА УРОЖАЙНОСТЬ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР (В МАСШТАБЕ УГОДЬЯ)*
© 2007 г. Ю. Н. Благовещенский, В. П. Самсонова
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет почвоведения
119992 Москва, Воробьевы горы, Россия Поступила в редакцию 09.01.2007
В работе методами математического моделирования оцениваются масштабы потерь урожая, обусловленные пространственной изменчивостью условий произрастания растений. Показано, что среднее значение фактора зачастую может создавать иллюзию благополучных условий, в то время как в действительности на отдельных участках возможны потери как от недостатка, так и от избытка факторов. Простая модель, учитывающая несимметричность функции отклика растений на внешние условия и статистическое распределение значений влияющего фактора на поле, позволяет оценить размеры потерь и неопределенности прогноза, основанные на средних значениях.
ВВЕДЕНИЕ
Сельскохозяйственное угодье до последнего времени рассматривалось как единое целое. Однако на любом угодье в той или иной степени существует пространственная неоднородность обеспеченности питательными веществами, неодинаковость водно-физических свойств почвы, пятнистость распределения сорняков и вредителей и т.п. Если угодье характеризуется средними показателями, то эта информация теряется из виду. Более того, стремление увеличить точность определения среднего за счет увеличения повтор-ностей определений приводит к иллюзии точного знания, оставляя без внимания влияние неоднородности условий произрастания на урожайность.
Диапазон колебаний урожайности на одном поле может быть внушительным. Так, например, показано, что диапазон изменения урожайности овса в пределах угодья составляет 23-43 ц/га [1], озимой пшеницы от 27 до 37 ц/га [2], зеленой массы подсолнечника от 75 до 675 ц/га [1]; в зависимости от агрохимических свойств колебания урожайности зерновых на дерново-подзолистых почвах составляют 12-22 ц/га, картофеля - 120-157 ц/га [3, 4]. При желании перечень примеров можно продолжить. Этот разброс в урожайности может быть обусловлен разными условиями увлажнения, изменчивостью физических свойств почв (гранулометрического состава, водопроницаемости и т.д.), изменчивостью содержания гумуса и различных питательных веществ.
Оценить степень влияния неоднородности почвенных свойств в пределах угодья на урожай-
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант < 05-0448573)
ность можно непосредственно, сопоставляя карты урожайности и карты свойств. Однако это весьма трудоемкая процедура, осложняющаяся тем, что почвенные свойства тесно связаны между собой и зачастую трудно вычленить влияние какого-либо одного фактора. Ориентировочная оценка может быть сделана путем математического моделирования отклика культуры на внешнее воздействие с учетом степени неоднородности распределения свойства на угодье.
Модель урожайности сельскохозяйственной культуры с учетом неоднородности факторов плодородия состоит из двух блоков: 1) модель пространственной изменчивости почвенных свойств; 2) модель функции отклика культуры g(X) на действие фактора X.
При моделировании пространственной изменчивости почвенных свойств мы исходили из простого представления о поле, состоящем из однородных частей. А именно, предположим, имеется поле, составленное из п элементарных участков одного размера и формы. Будем считать, что каждый элементарный участок абсолютно однороден по всем почвенным свойствам и что все эти участки отличаются друг от друга значениями лишь одного свойства X, причем, на у'-м участке его значение равноX,У = 1,2, ..., п. Тогда урожайность на у'-м участке будет равна У у = g(Xj), где g(X) -функция отклика культуры на действие фактора X (при прочих равных условиях).
Поскольку участки одинаковы по размеру и различаются лишь значениями свойства X, то средняя урожайность будет равна УСР = (У1 + ... + Уп)/п.
Функции отклика культур могут быть очень разными. Однако, как правило, при увеличении
Рис. 1. Различные виды зависимости урожайности от
действия внешних факторов.
значений фактора урожай вначале быстро возрастает, а затем, после достижения некоторого максимума, либо остается постоянным, либо начинает уменьшаться. Скорость падения в правой части может быть весьма различной. Некое представление о многообразии функций отклика дает рис.1.
Из биологических соображений ясно, что функция отклика ограничена значением УМАХ, которое достигается при некотором Х0, так что g(X) < g(X0) = Утах. Значение Х0, определяющее точку максимума функции g(X), является точкой оптимума.
Очевидно, когда Х1, Х2, ..., Хп хотя бы на отдельных участках отличаются от Х0, то обязательно УСР < УМАХ, однако выраженность этого различия зависит как от вида функции g(X), так и от конкретного набора значений Х. Выбор различных функций отклика и разнообразия значений Х в разных модельных ситуациях позволяет изучить, как и насколько влияет неоднородность почвенных свойств на конечную урожайность.
Для описания зависимости урожайности УСР от отдельных факторов используются уравнения разного вида. Целый набор функций (полиномиальные, степенные и некоторые другие) приводятся в [5]. В [6] мы можем найти гиперболические кривые вида УСР = аХ/(Х + Ь). Эти уравнения имеют один общий недостаток: они не учитывают уменьшение урожайности при избыточных значениях фактора, когда Х > Х0.
Для учета этого феномена иногда используют квадратичную функцию [7] УСР = У0 - Ь(Х - Х0)2, однако эта симметричная относительно Х0 функция в большинстве случаев не описывает реальную функцию отклика.
Митчерлих [8] предложил описывать зависимость урожайности от доз азотных удобрений (ЭД в виде
У = А ехр {}[ 1-ехр {}],
где А, :0 и : - константы, зависящие от агрохимических и природных условий.
Рис. 2. Функции отклика из семейства (2): максимум приравнен к единице (Х0 = 25), над каждой кривой указано ее значение в точке Х = 75.
Это семейство функций может быть использовано и для моделирования других колоколообраз-ных зависимостей. Оно позволяет описывать разную правую асимметрию (в области избыточных значений фактора относительно Х0), однако не позволяет подобрать зависимости, похожие на плотности нормального распределения.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ
Мы предлагаем более широкое семейство функций
У = g (Х) = А ехр { -:„ Хт}[ 1-ехр { Х2т}], т> 0,
из которого можно подобрать функции отклика с самой разной асимметрией.
Наиболее сильно влияющей на конечный результат характеристикой функции отклика для моделируемой ситуации является степень ее несимметричности, отклонение от колоколообраз-ной кривой. Поэтому мы сконструировали из (1) однопараметрическое семейство функций отклика (вертикальная черта отделяет аргумент функции от параметра семейства)
У = Умлх^ (Х| |), (2)
в котором за оптимальное значение фактора Х мы взяли Х0 = 25 (этого всегда можно добиться за счет выбора единицы измерения свойства) и в котором go(Xo ||) = 1.
На рис. 2 представлены графики g0(X||) для разных Можно видеть, что левые части у всех кривых (от нуля до точки максимума) подобны друг другу, тогда как правые части существенно различаются по характеру убывания. Чем медленнее убывает правая часть кривой, тем значительней ее несимметричность. Поскольку убывание вполне можно сопоставить с тем, насколько упадет значение кривой отклика от точки макси-
Значения плотности 0.12
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Значения фактора
Рис. 3. Плотности логарифмически нормального распределения при одном и том же среднем значении 25 и разных коэффициентах вариации V.
мума X,) до точки Xкр = 3X0 = 75, то за ц мы приняли значения функции отклика в этой точке.
Алгоритм построения семейства g0(X|ц). Пусть Н0(А) - максимум функции ^^|А) = = ехр{-:Щ[1 - exp{-0.002X2}], X0(А) - точка, в которой этот максимум достигается. Выбор И^^А) сделан чисто эвристически из просмотра самых разных функций из семейства (1) при т = 1.
/ X
Возьмем преобразование оси х: X' = 751 — 1 ,
1п3
, и подставим X'
где Р = Р(:) = к (7^ о): функцию И0(X|А) вместо X. В итоге получим семейство функций
g (XI А) = С ехр {-Ао X в}[ 1-ехр {-А1 X2P}],
1
■, А0 = А х
пределений [7], однако для сельскохозяйственных угодий, где питательный режим в первую очередь определяется внесением удобрений, более адекватную аппроксимацию их отдельных значений дает логарифмически нормальное распределение:
Р {X < и } = Ф
1п и - а
Ф(*) =
72л ■
ехр
где в = в(А) определено выше, С = ТТ/-..
Н о(А)
х 751 - в(А) и Ах = 0.002 х 752 - 2в(А), причем g(X|А) достигает максимума 1 в точке X = X0 = 25. Показатель несимметричности ц = g(75 |А) = Сехр(-А0)[1 -- ехр(-Ах)]. Эту связь между ц и А легко обратить, определив А = А(ц) как корень уравнения ц = g(75 |А) относительно А при известном значении ц. Тогда по определению g0(X|ц) = g(X|А(ц)).
Функция распределения. Другой составляющей математического моделирования является изменчивость значений фактора на поле. Вообще говоря, можно моделировать всевозможные ситуации путем перебора задаваемых в определенном интервале значений X, однако возможен и более простой путь - моделирование значений X, на участках как выборки из какого-либо известного статистического распределения. Наиболее часто используется семейство нормальных рас-
где Р{В} - вероятность события В, X - изучаемый фактор (элементы питания, влажность, температурный режим и т.п.), а и Ь2 - среднее значение и дисперсия натурального логарифма фактора X (математическое ожидание и дисперсия 1ПА7), и, 2 и t - обычные числовые переменные в выписываемых соотношениях. Примеры плотностей лог-нормального распределения приведены на рис.3. Отметим, что при малых коэффициентах вариации (<20%) логнормальное распределение практически неотличимо от нормального распределения, по крайней мере, оно не обнаруживает различий на 1%-ном уровне значимости.
Размер выборки. Важным элементом математического моделирования является размер выборки, по которой оцениваются параметры распределений. Хорошо известно, что
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.