ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2007, том 34, № 6, с. 656-661
ГИДРОФИЗИЧЕСКИЕ ^^^^^^^^^^^^ ПРОЦЕССЫ
УДК 556:51;556.048:51
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОДНЫХ ПОТОКОВ В ПРОНИЦАЕМЫХ НАПОРНЫХ СИСТЕМАХ И КАНАЛАХ1
© 2007 г. М. Г. Хубларян, А. П. Фролов
Институт водных проблем Российской академии наук 119333 Москва, ул. Губкина, 3 Поступила в редакцию 14.12.2006 г.
Исследованы особенности распределения скоростей и давлений потока в трубопроводных системах, а также гидрологических параметров открытого потока на основе уравнений Сен-Венана с учетом боковой приточности и уравнений движения несжимаемой жидкости в перфорированных или пористых трубах. Приведены некоторые аналитические решения сформулированных краевых задач, применимых к расчетам режимов работы дождевальных машин типа "Фрегат" или "Валей".
Изучение динамики течения жидкости в напорных системах с переменным вдоль пути расходом, когда трубопровод изготовлен из пористого материала или отток (приток) жидкости осуществляется через многочисленные отверстия в стенке трубы, имеет определенный теоретический интерес и широкое инженерно-практическое применение. В частности в оросительных системах (дождевание, внутрипочвенное и капельное орошение), водяных завесах, системах смешения и охлаждения жидкостей, водопроводных и очистных сооружениях и других.
Представляется также важным изучение гидродинамики потока в открытом канале с боковым фильтрационным притоком или оттоком в смежные водопроницаемые грунты. Этот класс разнообразных задач объединяет общность структуры управляющих уравнений, а также сходные подходы и граничные условия, которые ставятся для решения конкретных задач и получения расчетных формул.
напорное движение
Общие уравнения, описывающие течение жидкости в трубе переменного радиуса с оттоком через проницаемую стенку со скоростью УЯ при общепринятых допущениях (осреднение гидродинамических параметров по сечению трубы, гидравлическое сопротивление пропорционально квадрату средней скорости потока, вектор скорости жидкости при ее оттоке или притоке вдоль
пути перпендикулярен основному потоку и др.), имеют вид [1]
Э „ , д ^ ^ гд? X и
Э7р иР+Тх р иР = р РР - РТх ~4Я рР'
Э рР+дхр иР =-2рр У-
(1)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ
(грант 06-05-64790).
где р - плотность жидкости, Р - поперечное сечение круглой трубы радиуса Я, и - средняя по сечению трубы скорость жидкости, Рх - компонента массовой силы, направленная по оси трубы х (в дальнейшем рассматривается горизонтальная труба, т.е. Рх = 0), I - время, X - коэффициент гидравлического трения, Р - давление. Скорость оттока жидкости УЯ как для пористой, так и для трубы с отверстиями в стенке, может быть представлена обобщенной формулой
уя = а(Р - Рьг, (2)
где РЬ - давление на внешней стороне трубы (в случае оттока жидкости в свободное пространство давление РЬ равно атмосферному Ра). Значения параметров а и т приведены в [2].
Для случая пористого трубопровода
к
а = и, у5
где к - коэффициент фильтрации материала стенки трубы, у - удельный вес воды, 5 - толщина стенки трубы, т = 1.
Для случая трубопровода с отверстиями
( 2 1/2 а = цю^ -у
где ю - безразмерная величина, равная отношению суммарной площади боковых отверстий к площади боковой поверхности единичного отрез-
ка трубы, | - коэффициент расхода жидкости через отверстия в стенке трубы, g - ускорение силы тяжести, т = 1/2. Если труба заложена в грунте (закрытая дренажная система), то для Рь необходимо использовать соответствующее уравнение фильтрации.
С целью анализа особенностей течения жидкости в перфорированных или пористых трубах ниже рассмотрены некоторые стационарные задачи на базе системы (1) для напорных трубопроводных систем как постоянного, так и переменного диаметра. При постоянных значениях р, X и Я из (1) получим два уравнения для скорости и и давления р вида
= 2 и ёи х,и
ёх ёх 4 Я
ёи 2 ТГ
Тх = ~кУк = ^'
(3)
(4)
(6)
ёх £Р'
Далее, подставив второе уравнение (6) в первое, приведем систему (6) к каноническому виду
-""" = 2и £р - X, и , ах
ёх £р'
х = 0, р = ро = 1 (Ро- Р^), х = I, и = 0,
(8)
и, м/с 1.2
20
40 60 X, м
80 х*100
где р = (Р - Ра)/р, д - удельный боковой расход жидкости через стенки трубы на единицу длины трубы.
Введя обозначения
Х' = 4Я > £ = Щ > (5)
перепишем систему (3)-(4) с учетом (5) в виде
ёи ёр 2 2и — = —т" - X, и , ёх ёх
Условие наличия или отсутствия областей с нулевой производной от давления в напорном перфорированном трубопроводе.
ёх 0
т.е. скорость движения жидкости непрерывно убывает по длине трубы.
Определим точки на отрезке х е [0, /], где производная ёр/ёх обращается в нуль. Из первого уравнения системы (6) имеем при ёр/ёх = 0 условие
и( 2ёи + Х1 и1 = 0
(9)
имеющее два решения
и1 = 0
и, следовательно, получаем состояние покоящейся жидкости;
2^" + X, и = 0, ёх
(7) откуда имеем решение
Предполагая использование пористых труб в системах орошения, запишем граничные условия рассматриваемой задачи
X, х
и2 = и0ехр ( -—
(10)
где Р0 - давление на входе в трубу длиной I.
Поскольку использование пористых труб в системах дренажа здесь рассматриваться не будет, то в случае капельного орошения или системы дождевания из условия УЯ > 0 следует, что р > 0 и из второго уравнения системы (7) в области 0 < х < I имеем
удовлетворяющее условию и = и0, х = 0.
Функция и2(х) из (10) может иметь два принципиально различных вида траектории (рисунок), где кривая 1 является искомым решением задачи (7)-(8), а 2 и 3 - две возможные траектории функции и2(х).
Значения производных и2(х) и и(х) при х = 0 соответственно равны
и2 (о) = -
и0 X,
и'(0) = -£р„.
0
Если эти значения таковы, что
U2 (0 )|< \u (0 )|,
(12)
U2 (о )> W (о )|,
(13)
d( W R2) = -Ц- R, d( uRR) = -2 RVR .
dx 4 dx
(15)
После ряда преобразований система (15) может быть приведена к квазилинейному виду
dR 1 ( , X Л du 1 (~т, X
-г- = ~ - 2 VR + -u , — = — 2 VR - - u dx ul R 8 / dx Rl r 4
(16)
и далее может быть сведена к одному уравнению с разделяющимися переменными относительно функций и и Я вида
du 112 Vr - 4 u ■ u
dR R (- 2 Vr + X u
(17)
Из (17) при УЯ < Xu/8 получим следующую зависимость радиуса трубы от скорости жидкости
то функция и(х) и кривая и2(х) не пересекаются в интервале 0 < х < I (рисунок, кривая 3) и, следовательно, производная ёр/ёх в этом интервале в нуль не обращается, кроме точки х = I в конце интервала, где и = 0 в соответствии с граничным условием (8).
Если же имеет место неравенство
R (u) =
X тг
—u - V,
1/2
uc1
(18)
где с1 = ^ио/8 - УЯ)1/2/и0Я0, и0, Я0 - значения и, Я при х = 0.
Используя зависимость (18), из второго уравнения (16) находим распределение скорости жидкости по длине трубы
то в интервале 0 < x < l имеется точка x = x* (рисунок, кривая 2), где dp/dx = 0.
Из соотношений (11) следует, что неравенство (13) выполняется при следующем условии
u0X, > 2£p0. (14)
Продифференцировав первое уравнение (7) и используя соотношения dp/dx и du/dx, можно показать, что d2p/dx2|x = ^ > 0, т.е. в точке x = x* давление в пористой трубе достигает минимального значения. Следует также отметить, что функция u(x) в точке x = x* меняет знак кривизны.
В практических приложениях для достижения равномерного бокового расхода вдоль оси трубы используют трубы переменного диаметра или переменную удельную площадь отверстий (или пористость) в стенке трубы на единицу ее длины. Однако таким способом невозможно достичь соблюдения условия равномерности бокового расхода при произвольном изменении давления жидкости вдоль трубы. Этому условию, в частности, удовлетворяет случай, когда p, VR = const и требуется определить изменение радиуса трубы R(x), обеспечивающее равномерность бокового расхода.
В соответствии с исходной системой уравнений (1) получим
( ) 8 Vr -2
u(x) = —-—cos а2(x), X
а2 (x) = (c2- c, x )Jv~r,
(19)
1 8 Ук
где с2 = —агссо8 т— .
В том случае, когда скорость бокового истечения УЯ удовлетворяет условию УЯ > Xu/8, из (17) получаем зависимость Я(и) в виде
R=
JVR (, -Xu Л1/2
8VrJ '
uc
(20)
а распределение скоростей по длине трубы получаем из второго уравнения системы (16)
VR + VR - Xu
VR - VR - Xu
= exp в( x),
(21)
в( х) = 2^УК (с 4 Сз х),
где с3, с4 - постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями и0, Я0 при х = 0. После несложных преобразований соотношение (21) можно записать в более компактном виде
u (x) = 8VRch_2(p/2). X
(22)
Эта же задача (для непостоянного радиуса трубы) имеет следующее простое решение. Если в (15) принимать 2RVR = q = const, то q = u0 R0 /l, где u0,
R0 - значения u, R при x = 0. Задавая условие x = l, u = 0 (l - длина трубы), для u(x) получим
u0R0 Л x u = — l
Решением относительно R(x) будет
R (x > =(ЧТ R0-X8lln (1 -y
Нетрудно заметить, что R(x) принимает максимальное значение при
xm = (1-ехр [^о-A) / A ])/, A = Х//8.
Если A > R0, то профиль трубы до значения x = xm расширяется, а затем сужается до нуля. В случае А < R0 получается решение для R(x) в виде телескопической трубы.
Из уравнения (3) находим распределение давления вдоль вращающейся перфорированной трубы дождевальной машины
2
, Ч ,2 2 X ^ 2 u0q0 3 . q0
p(x) = Pо + Uо- u - — I Uоx --33-x + —x I, удовлетворяющее граничному условию x = 0, p = p0.
равномерная подача воды
Ниже рассматривается горизонтально расположенная перфорированная труба длиной /, вращающаяся около вертикальной оси, проходящей через один конец трубы (x = 0). Поскольку принимается, что площадь (суммарная) перфораций на единицу длины трубы переменная величина (зависит от координаты х вдоль оси трубы), то при p, R = const боковой отток из трубы q(x) будет функцией х, т.е. переменной вдоль оси трубы величиной.
Необходимо так подобрать изменение q(x), чтобы поливная норма (количество воды, подаваемой на единицу орошаемой площади за один полив) была постоянной и не зависела от координаты x.
Задача в такой постановке применяется для дождевальных машин "Фрегат", "Валей" и др., которые представляют собой самоходный многоопорный дождевальный трубопровод кругового действия. В частности конструктивная длина "Фрегата"
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.