МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2014
УДК 532.135:532.5
© 2014 г. В. Н. КОЛОДЕЖНОВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ КОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ ДЛЯ ЖИДКОСТИ С ЭФФЕКТОМ ОТВЕРДЕВАНИЯ
Проведен анализ пяти основных схем течения жидкости с эффектом отвердевания между коаксиальными цилиндрами. Получены зависимости угловой скорости вращения внутреннего цилиндра от приложенного к нему крутящего момента. Показано, что эта зависимость не является монотонно возрастающей. Превышение крутящим моментом некоторого критического значения приводит к снижению угловой скорости.
Ключевые слова: реологическая модель, эффект отвердевания.
Многие неньютоновские жидкости в окрестности (или при превышении) некоторых критических значений скорости сдвига демонстрируют аномалии вязкости, что сопровождается соответствующими интересными эффектами.
В качестве примера приведем известный эффект резкого (скачкообразного на модельном уровне) увеличения расхода ряда полимерных жидкостей для течения в трубах при превышении перепадом давления (скоростью сдвига) критического значения [1, 2]. Новое обоснование этому эффекту дано в работе [3] на основе реологической модели Олдройда.
Для другого примера с течением в каналах характерен обратный эффект — снижение расхода по мере увеличения перепада давления.
Как показывают экспериментальные данные [4, 5], некоторые виды суспензий при определенной концентрации и размерах мелкодисперсных частиц демонстрируют в координатах скорость сдвига у — касательное напряжение т резкое возрастание крутизны S = d /d |у| кривой течения |т(у)| = у|) |у| при стремлении модуля скорости сдвига к некоторому своему конечному значению |у| ^ у2. Заметим, что крутизна кривой течения характеризует вязкие свойства сплошной среды. В частности, для ньютоновской жидкости крутизна кривой течения в точности равна динамической вязкости ^ = const.
Отмеченное выше поведение некоторых суспензий, хотя и является дилатантным, отличается от традиционного поведения дилатантных жидкостей, например, со степенным законом вязкости т(у) = K |у|п 1 у (n > 1), когда S ^ да лишь при неограниченном возрастании |у| ^ да. В дополнение к этой особенности поведения рассматриваемых видов концентрированных суспензий добавим, что в некоторых случаях функция ц(|у|) в области определения |у| е [0; у2] не является монотонной [6—10]. При сравнительно небольших по модулю значениях скорости сдвига |у| е [0; у1] жидкость демонстрирует псевдопластическое поведение, и функция ц(| у|) является монотонно убывающей. Дальнейшее увеличение модуля скорости сдвига на интервале |у| е [у1; у2] приводит после прохождения точки экстремума (минимума) к возрастанию этой функции до некоторого конечного значения ц(у 2). Особо отметим, что конечному значению функции ц(у2) на правом конце области ее определения соответствует достаточно
большое (на модельном уровне можно считать бесконечно большое) значение крутизны Sкривой течения.
Экспериментальные данные [6—10] для графика функции ц(|у|) в окрестности возможного значения |у| = у 2 демонстрируют практически вертикальный участок. Учитывая смысл крутизны кривой течения как характеристики вязких свойств жидкости, можно интерпретировать такое аномальное возрастание вязкости проявлением эффекта упрочнения или отвердевания. При этом упрочнение может быть настолько заметным, что в соответствующих зонах области течения, где скорость сдвига вплотную приближается к значению |у| = у 2, жидкость ведет себя подобно твердому телу.
В настоящее время опубликовано большое количество экспериментальных результатов, эффектно демонстрирующих такое поведение сплошных сред (например, концентрированные растворы крахмала [11], материал d3o [12], гели, на основе полимерных композиций и твердых наночастиц [13]). Жидкости с подобным поведением относят к классу Shear Thickening Pluid (STF).
В [14] была предложена реологическая модель таких жидкостей, демонстрирующих проявление эффекта отвердевания. С использованием этой модели в [15] для случая течения в цилиндрическом канале показано, что при приближении |у| к критическому значению у2 за счет увеличения перепада давления возникает снижение расхода жидкости — эффект запирания канала. На основе реологической модели [14] это объясняется тем, что в окрестности стенок канала, где скорости сдвига при соответствующих перепадах давления могут приближаться к критическому значению у2, формируется неподвижная зона, заполненная материалом отвердевшей жидкости, что, в свою очередь, уменьшает эффективное проходное сечение канала.
Для течения ньютоновских и неньютоновских жидкостей со степенным законом вязкости известна задача о вращательном течении между двумя коаксиальными цилиндрами [16—19]. В данной работе эта же задача рассмотрена для жидкостей с отмеченными выше аномалиями поведения, обусловленными проявлением эффекта отвердевания. Установлено, что для таких жидкостей зависимость угловой скорости вращения внутреннего цилиндра от прикладываемого к нему крутящего момента не является монотонно возрастающей. При превышении крутящим моментом некоторого критического уровня угловая скорость начинает снижаться и в пределе (по крайней мере, на модельном уровне) может достигать нулевого значения. Такой результат для рассматриваемого типа нелинейно-вязких сплошных сред качественно (на уровне связи между обобщенными кинематическими и силовыми характеристиками) согласуется с ранее выявленной тенденцией снижения расхода по мере увеличения перепада давления для течения в цилиндрической трубе.
1. Реологическая модель. Механическое поведение жидкостей, демонстрирующих проявление эффекта отвердевания, может быть описано в рамках следующей реологической модели [14]
P 5j + 2ц(/2) е j, i, j = 1,2,3
(1.1)
Т — _L _L 2 2 2
12 - £11£22 + £22£33 + £33£11 - £12 - £23 - £31,
2
2
2
(1.2)
щ(/2) = K1(2#2)"1-1
(1.3)
2) = ~A=I il + B f1 -
f 4I2, crit 2
(1.4)
A = Ki(2jI2~;~i)"1 , B = - 1, 0 < n 1 < 1
A
n1 U12, crit 2 "л/12, crit 1) n i
«2 =-V i V -, 0 < П 2 < 1
V12, crit 1
где Tj ,Sj — компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций соответственно, P — давление, 5j — символ Кронекера, и, — проекции скорости на направления координатных осей x, ц(/2) — функция второго инварианта I2 тензора скоростей деформаций, I2 crit 1 — значение модуля второго инварианта, принимаемое в качестве границы раздела областей определения функций (1.3) и (1.4), I2crit 2 — значение модуля второго инварианта, при приближении к которому проявляется эффект отвердевания, Kv n 1, Tcrit 2 — эмпирические константы.
Как следует из (1.2), функция ц(12) имеет две ветви, которые с учетом (1.3), (1.4) сшиваются непрерывно-дифференцируемым образом при |I2| = I2, crit 1. Первая ветвь (1.3) зависимости 2) — монотонно убывающая функция. Вторая ветвь (1.4) имеет точку экстремума типа минимума, правее которой наблюдается монотонное возрастание
функции jJ,(I2) при |I2 ^ I2,crit 2.
Для задач одномерного течения удобно использовать реологическую модель с учетом соотношений
т = ц(у)Т, I2 =-е2 =-1Y2, Y1 = 12,crit 1, Y 2 = 12,crit 2 (15)
где е — соответствующая компонента тензора скоростей деформаций.
Отличительная особенность модели состоит в том, что с учетом (1.5) крутизна S графика функции |т(у)| = ц(|у|) |у| неограниченно возрастает при приближении |у| к критическому значению у2.
2. Постановка задачи. Варианты схем течения. Хорошо известна задача о ламинарном установившемся течении между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов и
R2 (R1 < R2), один из которых, например, внутренний равномерно вращается с угловой скоростью ш под действием приложенного к нему крутящего момента M [16, 17]. Решение такой задачи лежит в основе методики определения динамической вязкости ньютоновской жидкости [18, 19]. Рассмотрим эту же задачу, но в случае, когда реологическая модель жидкости определяется соотношениями (1.1)—(1.4).
Введем цилиндрическую систему координат {r, 9, z} традиционным образом. С учетом общепринятых допущений скорость имеет лишь одну составляющую и0 = u(r) и выражения (1.5) принимают вид
Tr0 = 2ц(! 2)5 re = ц(у)у, I2 = -е Гв = -1Y ^ Y = rd (u) Перейдем к безразмерной форме записи с учетом соотношений „ , _ r R _ R2 u, _ u . _ Tr0
r - — > r2 -— > u - — > T r0 _-
R1 R1 us
у , й и' У — = г— I-
у2 йг \г .
У1 = ^, У 2
ю = ■
ю
ю,
М' =
М
М,
и, = ^у2, т, = 2, = у 2, м, = 2л^1 тсги2
где и,, т,, ю,, М, — некоторые характерные значения скорости, касательного напряжения, угловой скорости и крутящего момента соответственно. Здесь и далее верхним штрихом отмечены безразмерные величины. При этом крутящий момент М считается заданным в расчете на единицу длины внутреннего цилиндра вдоль оси симметрии г.
Учитывая, что (1.2) предполагает для у |) реализацию двух видов функциональных зависимостей (1.3) и (1.4), распределения скорости и касательного напряжения структурно удобно представить следующим образом:
и = ■
.•(1)
.•(2)
|у'| ^ У1 у1 1 ^ 1'
тг0 - ■
\ тг<Ь
|У1 ^ У1 у1 ^ |у 1 ^ 1
Тогда уравнение динамики [17, 20] жидкости для определения скорости и основные реологические соотношения в безразмерной форме записи принимают вид
й(г,2т$) = 0, г = 1, 2 йг
(2.1)
,(1)|п1
тг0 _
(1 + в) у1
^У1
(2.2)
т'(2) _ тг0 _ '
1
(1 + В)
1 + в
■ й
у = г — йг'
( .ггЛ
1 -
-|у '(2)1 > П2
1 -г1
>, у1 <|У! < 1
< 0, г = 1, 2
(2.3)
(2.4)
В этих соотношениях и далее верхний индекс отвечает первой и второй зонам течения — г = 1, 2. Под первой зоной понимается та часть области течения (зазора между цилиндрами), в которой реализуется первая ветвь (1.3) зависимости (1.2). Вторая зона соответствует области течения, определяемой (1.4).
Поскольку функциональная связь между скоростью сдвига и касательным напряжением описывается на различных интервалах изменения у двумя различными соотношениями (2.2), (2.3), это предполагает в зависимости от величины М, реализацию пяти различных схем 1—У течения (фиг. 1).
При достаточно малых М можно ожидать выполнения условия |у '(г')| < у1 для г е [1; ^2]. Это означает, что в зазоре между цилиндрами наблюдается схема I
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.