МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2014
УДК 539.3; 539.42
© 2014 г. А. В. РАДЧЕНКО, П. А. РАДЧЕНКО
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОСКОЛКОВ
С ЭЛЕМЕНТОМ ТВЕРДОТОПЛИВНОГО РАКЕТНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Численно моделируется взаимодействие стального цилиндрического ударника с элементом ракетного двигателя на твердом топливе (РДТТ). Материал оболочки РДТТ — ортотропный органопластик, жестко скрепленный с твердым топливом. Исследуется влияние геометрических и кинематических параметров ударника и ориентации упругих и прочностных свойств оболочки на параметры волны сжатия, выходящей на твердое топливо. Рассмотрен диапазон скоростей взаимодействия от 400 до 1000 м/с. Задача решается численно, методом конечных элементов в трехмерной постановке. Поведение материала ударника описывается упругопластической моделью, поведение анизотропного материала оболочки описывается в рамках упругохрупкой модели, топливо моделируется упругой средой.
Ключевые слова: анизотропия, прочность, разрушение, упругость, пластичность, волна сжатия, волна разгрузки, детонация.
1. Введение. Одной из важных проблем эксплуатационной безопасности ракетных двигателей на твердом топливе (РДТТ) является прогнозирование их поведения при различных видах нагрузок — взаимодействие с метеоритами или, что более вероятно, с "космическим мусором". Расширение масштаба человеческой деятельности в космосе за последние сорок лет сопровождается все нарастающим непрерывным накоплением разнообразных фрагментов в околоземном пространстве, среди которых: прекратившие свое активное существование спутники, последние ступени ракетоносителей, элементы систем отделения спутников от носителей, разгонные блоки, обломки спутников и ракетоносителей, образовавшиеся в результате случайных или запланированных взрывов и так далее. Все эти фрагменты, накапливаясь на околоземных орбитах, образуют так называемый космический мусор, чрезмерное обилие которого уже в настоящее время представляет реальную опасность для функционирования разнообразных космических аппаратов и для жизни космонавтов [1]. Осколки техногенного мусора имеют довольно широкий спектр по массам, формам и скоростям столкновения их с запускаемыми космическими объектами. При этом возможные скорости встречи таких осколков с действующими космическими аппаратами при догонных и лобовых столкновениях колеблются в широких пределах (от 0 до 15 км/с).
При определенных уровнях внешних воздействий в твердом топливе могут создаваться условия, достаточные для инициирования детонации. Надежность и безопасность РДТТ может быть увеличена благодаря повышению конструкционной эффективности материала оболочки. Одним из распространенных способов повышения эксплуатационных характеристик конструкций является ориентация свойств материала. Так как при импульсном воздействии на материал область, в которой сосредоточена энергия, ограничивается скоростями распространения волн, меняя степень анизотропии материала можно направленно изменять распределение волн напряжений в окрестности зоны импульсного нагружения. Это особенно важно в задачах, где опре-
4 Механика твердого тела, № 6
97
деляющую роль в инициировании переходных процессов (например, детонации) играют ударно-волновые явления. В работе рассматривается взаимодействие стальных одиночных цилиндрических ударников с элементом РДТТ. Исследуется диапазон скоростей удара от 400 до 1000 м/с. Следует отметить, что этот диапазон скоростей удара является одним из самых опасных для РДТТ и космических аппаратов, так как тонкие защитные экраны в этом случае неэффективны, особенно против достаточно тяжелых частиц.
При оценке эксплуатационной безопасности РДТТ, испытывающих интенсивные нагрузки, необходимо знать динамику напряженно-деформированного состояния (НДС). Это позволит определить границы безопасных внешних воздействий и выработать требования к материалу оболочки. При ударном воздействии инициирование детонации в топливе возможно за счет двух факторов: 1) в результате воздействия на топливо волны сжатия, инициируемой при взаимодействии ударника с оболочкой, 2) в результате внедрения ударника в топливо после разрушения верхнего слоя. Здесь рассмотрим НДС, реализующееся в топливе на первом этапе при выходе на него ударной волны, и влияние на НДС свойств материала оболочки.
2. Основные уравнения математической модели. Система уравнений, описывающих нестационарные адиабатные движения сжимаемой среды в декартовой системе координат ХУХ, включает следующие уравнения [2]:
неразрывности
р + (Нури = 0 движения
Ри = ^ хх, х + ^ ху, у + хг, г
Р^ = ^ гх, х + ^ гу, у +ст гг, г
энергии
и 1
Р ' '
Здесь р — плотность среды; и — вектор скорости; и, и, ч> — компоненты вектора скорости по осям х, у, г соответственно; а у — компоненты симметричного тензора напряжений; Е — удельная внутренняя энергия; е¡у — компоненты симметричного тензора скоростей деформаций, точка над символом означает производную по времени, запятая после символа — производную по соответствующей координате.
Поведение стального изотропного цилиндра при высокоскоростном ударе описывается упругопластической средой, в которой связь между компонентами тензора скоростей деформации и компонентами девиатора напряжений определяются соотношениями Прандтля—Рейса [2, 3]:
20 (еу- 1 еккЬц) = ^ + ^Б1] (( > 0)
ПБ^ йБ^ <п1к с* ¡к 1 /Г7 \"7 \
— = — - Б - ®1к, = 2 ( и - У )
где О — модуль сдвига. Параметр А = 0 при упругой деформации, а при пластической
(к > 0) определяется с помощью условия Мизеса Б']Бу = 2/3<з\, где ай — динамический предел текучести. Шаровая часть тензора напряжений (давление) рассчитывалась по
уравнению Ми-Грюнайзена как функция удельной внутренней энергии Е и плотности р:
Р = I К„ (V -1
П=1
1 - К0(У0/V -1)■
+ К орЕ
где К0, К1, К2, К3 — константы материала.
Поведение анизотропного материала оболочки описывается в рамках упругохруп-кой модели [2, 4]. До разрушения компоненты тензора напряжений в материале преграды определялись из соотношений обобщенного закона Гука, записанного в терминах скоростей деформаций: а у = Су^вы, где Сщ — упругие постоянные. При этом компоненты тензора упругих постоянных обладают, в силу симметрии тензоров напряжений и деформаций и наличия упругого потенциала, следующими свойствами симметрии:
Сук1 - САЫ - Су1к - Су1к>
Ст - Ск1у
При переходе к другой, также ортогональной, системе координат, постоянные преобразуются по формулам:
3
С'аЪсй = Сук1Ч1аЧ]ЬЧкеЧм
где ду — косинус угла между соответствующими осями г и у. В трехмерном пространстве преобразование компонент тензора четвертого ранга требует суммирования произведений, содержащих множителями по 4 косинуса углов поворота осей.
Разрушение анизотропного материала описывается в рамках модели [2, 4] с использованием критерия разрушения Ву [5] с различными пределами прочности на сжатие и растяжение. Этот критерий, записанный через скалярные функции от компонент тензора напряжений, имеет следующий вид:
I (оу) = Е уОу + ЕтауО к1 + ■ ■ ■ ^ 1, = 1,2,3
Здесь Еу и Еук; являются компонентами тензора 2-го и 4-го ранга соответственно, и подчиняются законам преобразования:
Еаъ = Еу9 1а9]Ъ, ЕаЪсй = Еук1Ч1аЧ]ЪЧксЧи
Компоненты тензоров прочности для данного критерия определяются по следующим соотношениям:
Ег =
Еу = -
1 __1_
Хи Х у
/
1 1
Е-- = ■
А г гг г
1
ХиХ '
Х XУJ
Е- = -
АХуХу
при 1 ^ у, где X г¡, Х'ц — пределы прочности при растяжении и при сжатии в направлении г; X у, Ху — пределы прочности при сдвиге в двух противоположных направлениях при г ^ у. Коэффициенты Е1Ш, Е2233 , Е3311 определяются при проведении экспериментов на двухосное растяжение в плоскостях 1—2, 2—3, 1—3 соответственно. Остав-
4* 99
Фиг. 1
шиеся коэффициенты определяются аналогично при комбинированном нагружении в соответствующих плоскостях.
Предполагается, что разрушение анизотропных материалов в условиях интенсивных динамических нагрузок происходит следующим образом [2, 4]:
если критерий прочности нарушается в условиях сжатия (екк < 0), то материал теряет анизотропные свойства, а его поведение описывается гидродинамической моделью, при этом материал сохраняет прочность только на сжатие, а тензор напряжений становится в этом случае шаровым (а у = -Р);
если критерий прочности нарушается в условиях растяжения (екк > 0), то материал считается полностью разрушенным, и компоненты тензора напряжений полагаются равными нулю (а у = 0).
Поведение твердого топлива описывается упругой средой. Шаровая часть тензора напряжений (давление) в топливе рассчитывается по формуле [6, 7]:
Р =
ехр I 4Ь
V - V У0
-1
РрСр
4Ь
где р0 — начальная плотность, с0 и Ь — коэффициенты ударной адиабаты П = с0 + Ьит, ит — массовая скорость, У0 и V — начальный и текущий удельные объемы.
Численное моделирование проводится методом конечных элементов в трехмерной постановке [8] с использованием авторской численной методики [9].
Для тестирования предложенной модели и численной методики был проведен ряд экспериментальных исследований [10], которые показали, что модель удовлетворительно описывает разрушение исследуемого органопластика.
3. Постановка задачи. Исследуется нормальное взаимодействие стального цилиндрического ударника с элементом РДТТ, представляющим собой двухслойную преграду (фиг. 1). Ударник занимает область Бъ оболочка — область Б2, топливо — область В3. Ось ^ совпадает с осью ударника и направлена в сторону противоположную направле-
нию удара. Материал оболочки — ортотропный органопластик, оси симметрии которого совпадают с осями системы координат. На контактной границе ударник-оболочка реализовано условие скольжения без трения Т+п = Тт, ТПТ = Т— = Т+ = Т— = 0,
= и-, а на границе топливо—оболочка выполняется условие слипания: u+ = и—, и+ = = и—, w+ = w—. Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности в рассматриваемой точке; т и в — единичные векторы, касательные к поверхности в этой точке; Тп — вектор силы на площадке с нормалью п; и — вектор скорости. Нижние индексы у векторов Тп и и означают проекции на соответствующие вектора базиса; знак плюс (+) характеризует значени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.