ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 2, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. С. Н. Гребенюк
МОДУЛЬ СДВИГА ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТА С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫМИ МАТРИЦЕЙ И ВОЛОКНОМ
Предлагается соотношение для определения модуля сдвига волокнистого композита с трансверсально-изотропными матрицей и волокном в зависимости от упругих постоянных матрицы и волокна, а также объемной доли каждого из них в композите. Плоскости изотропии матрицы и волокна совпадают и перпендикулярны оси волокна. Для получения искомого соотношения решены две краевые задачи: о продольном сдвиге трансверсально-изотропного сплошного цилиндра, моделирующего волокнистый композит, и о совместном продольном сдвиге полого и сплошного цилиндра, моделирующих соответственно материал матрицы и материал волокна. В качестве условия согласования использован энергетический критерий. Проведено сравнение расчетов по предложенной формуле с имеющимися экспериментальными данными.
В большинстве исследований композиционный материал представляется однородным анизотропным материалом с механическими характеристиками, зависящими от механических характеристик матрицы и армирующих волокон, их объемной доли в композите и т.д. Определение таких механических характеристик — достаточно сложная математическая задача, поэтому для большинства волокнистых композитов предполагалось, что частота армирования волокнами достаточно велика и армированный слой можно считать трансверсально-изотропным. Тогда для определения упругих характеристик композита необходимо найти пять независимых величин: модулей упругости Еп, Е22, модулей сдвига £12, ^23 и коэффициента Пуассона у12.
Для волокнистого композиционного материала в ряде работ были получены [1—4] данные только по четырем упругим характеристикам, что ограничивает возможности их применения только к решению плоских задач. Более общие и широко распространенные соотношения [5, 6] дают возможность решать трехмерные задачи. Во всех перечисленных работах предполагалось, что материал матрицы и материал волокна изотропный. Однако в ряде случаев необходимо учитывать анизотропные свойства волокон и матрицы. Для решения плоской задачи механики ре-зинокордных материалов были предложены соотношения [7], учитывающие трансверсально-изотропные свойства волокна, получены соотношения для композиционного материала с трансверсально-изотропным волокном и изотропной матрицей для трехмерного случая [8]. Для композиционного материала были определены [9, 10] модуль упругости Е11, модуль сдвига £12, коэффициент Пуассона у12 при учете трансверсально-изотропных свойств матрицы и волокна. В качестве условия согласования использовалось равенство соответствующих компонент вектора перемещений. На основе энергетического критерия согласования для композиционного материала определен продольный модуль упругости при учете трансверсально-изотропных свойств матрицы и волокна [11].
В отличие от указанных исследований в данной работе на основе энергетического критерия согласования определяется модуль сдвига композита £12, когда и матрица, и волокно обладают трансверсально-изотропными свойствами, причем плоскости изотропии совпадают.
1. Основные предположения и соотношения. Одной из схем расположения волокон в однонаправленных композиционных материалах является гексагональная укладка волокон. Мысленно вырежем из объема композита элементарную гексагональную ячейку, содержащую одно волокно и окружающий его материал матрицы, и предположим,
что и матрица, и волокно изготовлены из трансверсально-изотропных материалов, причем плоскости изотропии совпадают и направлены перпендикулярно оси волокна.
Представим элемент волокнистого композиционного материала, обладающий трансверсально-изотропными свойствами, в виде комбинации двух трансверсально-изотропных коаксиальных бесконечных цилиндров — полого с внешним радиусом Ь, моделирующего матрицу, и вставленного в него сплошного с радиусом а, моделирующего волокно. Для этого аппроксимируем объем элементарной гексагональной ячейки объемом цилиндра, причем радиус цилиндра примем таким, чтобы объемное содержание волокна в гексагональной ячейке и объемное содержание волокна в цилиндрической ячейке, были одинаковыми.
Объемное содержание волокон в композите, очевидно, равно отношению квадратов внутреннего и внешнего радиусов полого цилиндра:
Упругие постоянные находятся из решения двух краевых задач. Сначала решается краевая задача совместного деформирования трансверсально-изотропной матрицы и трансверсально-изотропного волокна, в результате получаем компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) как функции упругих постоянных материалов матрицы и волокна, а также объемной доли каждого из них в композите. Далее получаем решение аналогичной краевой задачи для композита, который представляется однородным трансверсально-изотропным материалом с пока еще неизвестными упругими постоянными. В результате получаем компоненты НДС как функции неизвестных упругих постоянных однородного трансверсально-изотропного материала, моделирующего композит. Из какого-либо условия согласования находим упругие постоянные трансверсально-изотропного материала как функции упругих постоянных материалов матрицы и волокна, а также объемной доли каждого из них в композите.
Ясно, что чем точнее решена краевая задача, тем точнее будут получены неизвестные упругие постоянные композита. Аналитические решения для такой комбинации возможны лишь для ограниченного числа краевых задач: равномерное продольное или поперечное растяжение, чистый поперечный или продольный сдвиг.
Было дано [8] решение задачи о продольном сдвиге для трансверсально-изотропно-го цилиндрического тела. Приведем основные соотношения, характеризующие чистый продольный сдвиг в цилиндрической области (фиг. 1), когда НДС определяется соотношениями
°гг = °гг =С00 Г0 = 0, сV = сV (г,9), <т0г = о0г (г,9)
£ = б гг = £ 00 = У гв = 0 У гг = У гг 0), У 0г = У 0г 0)
Пусть к внешней цилиндрической поверхности области приложена следующая нагрузка:
где С1 и C2 — постоянные. Используя соотношения Коши, получим соотношения для деформаций
(1.1)
azr (b, 9) = a0 cos 9 Для осевого перемещения имеем [8]
(1.2)
uz (r, 9) = (Cr + C2j r) cos 9
(1.3)
(1.4)
а при учете закона Гука — соотношения для напряжений
Фиг. 1
azr (r, е) = G12(Q - C2/r2)cos9, a0z (r, 9) = -G12(Q + C2/r2)sin9 (1.5)
2. Совместный продольный сдвиг для матрицы и волокна. Рассмотрим задачу о совместном продольном сдвиге полого цилиндра (a < r < b), моделирующего матрицу, и сплошного цилиндра (0 < r < a), моделирующего волокно. Звездочкой обозначаются величины, относящиеся к матрице, верхним нулевым индексом — к волокну.
Основные соотношения, описывающие НДС матрицы (полый цилиндр), представим в виде (переобозначив постоянные)
u* (r, 9) = (Ar + B/r) cos 9 (2.1)
Y* (r, в) = a* (r, 9)/G*2 = (A - B/r2) cos 9
Y *
(r, 9) = a^ (r, 9)/ Gi*2 = -(A + B/r 2)sin9
Основные соотношения, описывающие НДС волокна (сплошной цилиндр), при учете конечности перемещений при r = 0 представим в виде (постоянная C2 в соотношениях (1.3)—(1.5) равна нулю и переобозначаем C1 на C)
(r, 9) = Crcos9 (2.3)
Y°r (9) = <5°Zr (9)/g?2 = Ccos 9, Yg, (9) = a§, (9)/Gf2 = -Csin 9 (2.4)
Чтобы найти неизвестные постоянные в соотношениях (2.1)—(2.4) для задачи о совместном продольном сдвиге матрицы и волокна, воспользуемся краевым условием (1.2) и условиями непрерывности осевого перемещения uz и напряжения azr на границе раздела материалов
u° (a, 0) = u* (a, 9), ст° (a, 9) = o* (a, 9) (2.5)
Из условия (1.2) имеем
A = a 0/ Gi*2 + в/ b2 откуда при учете первого равенства (2.5) получаем
C = a J G*2 + B(a 2 + b 2)/(a 2b 2)
И наконец, из второго равенства (2.5) при учете двух последних соотношений после введения обозначений
do = о о/F, F = G* (f -1) - G2 (f + 1), F ± = (Gfi, ± Gfc)/ С*
имеем
B = a0a 2F- (2.6) Тогда
A = -<r0F+, C = - 2c>o (2.7)
Учитывая выражения (2.6) и (2.7), получаем в окончательном виде основные соотношения, описывающие при совместном продольном сдвиге НДС матрицы
u* (r, 9) = -c0(rF + - a2F7r)cos9 (2.8)
Y* (r, 9) = < (r, 9) Gi*2 = -00(F + + a 2F 7 r 2)cos9 (2
Yez (r, 9) = < (r, 9)G* = °0(F + - a2F7r2)sin9 '
и волокна
u° (r, 9) = -2o0r cos 9 (2.10)
Y? (9) = о? (9)/Gi°2 = -2&0 cos 9, у(9) = (0)/Gft = 2^0 sin 9 (2.11)
3. Продольный сдвиг композиционного материала. Решим аналогичную задачу о чистом продольном сдвиге для трансверсально-изотропного однородного материала, моделирующего композит, представляя его в виде сплошного бесконечного цилиндра радиусом b. Краевые условия примут вид (1.2). НДС будет описываться соотношениями, аналогичными соотношениям (2.3), (2.4), где теперь вместо постоянной C будет фигурировать с0/ G12, а вместо G12 — величина G12.
4. Расчетная формула. Найдем упругие постоянные композиционного материала, используя в качестве условия согласования энергетический критерий, который заключается в следующем: энергия Супругой деформации трансверсально-изотропного однородного цилиндра (или другого тела), моделирующего композиционный матери-
5 Прикладная математика и механика, № 2
ал, равна сумме энергий упругой деформации полого цилиндра, моделирующего матрицу (0*), и сплошного цилиндра, моделирующего волокно (0°).
При продольном сдвиге имеем следующие определяющие соотношения:
Н 2п Ь
2 2
и = 1 Ц |(агг (г, 9) угг (г, 9) + а0г (г, 9) у0г (г, 9)) )Мг =
2 2(^12
0 0 0 12
и* = пНЬ (*2д0 (1 - /) ((*"+)2 + ЖI2 )/2, и ° = 2пНа
В соответствии с энергетическим критерием согласования правая часть первого из этих соотношений должна равняться сумме правых частей второго и третьего соотношений, откуда, учитывая обозначения для <С0 и получаем
(12 = (*2((*2 (1 - /) + (°2 (1 + /))/((*2 (1 + /) + (°2 (1 - /)) (4.1)
Видно, что модуль сдвига композиционного материала 012 зависит только от одной
независимой упругой характеристики материала матрицы и не зависит от остальных четырех параметров, описывающих трансверсально-изотропные свойства матрицы. Аналогичный вывод можно сделать о зависимости модуля сдвига композиционного материала от св
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.