РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2011, том 56, № 9, с. 1069-1079
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.372;537.86;537.87
МОДЫ ПЛАНАРНОГО ВОЛНОВОДА, ИЗГОТОВЛЕННОГО ИЗ НЕЛИНЕЙНОГО МЕТАМАТЕРИАЛА © 2011 г. А. Б. Маненков
Поступила в редакцию 09.03.2011 г.
Исследованы моды планарного диэлектрического волновода, изготовленного из нелинейного ме-таматериала с отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Рассчитаны волновые числа и распределения полей мод для систем с параболическими профилями проницаемо-стей. Показано, что в такой структуре можно наблюдать аномально сильное увеличение полей. Для случая, когда среды нелинейны, проанализированы зависимости коэффициентов распространения мод от электрического поля. Рассмотрен эффект насыщения нелинейности.
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы интенсивно развивается новое направление радиофизики — распространение электромагнитных волн в структурах с метаматери-1
алами . Как известно, метаматериалы являются искусственными магнитодиэлектриками (композитами) [1—3], у которых отрицательны одновременно диэлектрическая и магнитная проницаемости. Они имеют ряд необычных свойств (в первую очередь отрицательную рефракцию). При изготовлении композитов их характеристики можно менять в очень широких пределах, что позволяет создавать устройства с уникальными электродинамическими свойствами в оптическом и СВЧ-диапазонах. Такие материалы можно применять для создания различных элементов оптических систем передачи и обработки изображений, в генераторах на основе эффекта Вавилова—Черенкова и др. Интересные возможности открываются при использовании метаматериалов при конструировании волновод-ных устройств интегральных схем.
К настоящему времени изучены свойства простейших ЬИМ-волноводных структур — планарных регулярных волноводов с кусочно постоянными профилями диэлектрической и магнитной прони-цаемостей [4—7]. Представляет интерес обобщение теории на структуры с переменными профилями. Заметим, что в реальных системах переменные профили проницаемостей е и ц могут возникнуть, например, из-за технологических особенностей в процессе изготовления волноводов. Указанное обобщение на волноводы с переменными профилями может быть интересно для разработки новых устройств; в таких системах появляются дополнительные "степени свободы", которые позволяют значительно изменять свойства волноводных мод.
1 Метаматериалы иногда называют "левыми" материалами (от англ. left handed materials или сокращенно LHMs), а также средами с отрицательными показателями преломления.
Например, за счет переменного профиля можно менять дисперсионные характеристики подобных структур (как это делают в оптических волокнах с обычными диэлектриками).
Отметим одну особенность рассматриваемого класса задач. В случае, когда распределения прони-цаемостей в поперечной плоскости изменяются непрерывно (от отрицательных значений на оси до положительных значений в покрытии и подложке), в некоторых точках сред проницаемости е и ц обращаются в нуль. При этом, как будет показано ниже, в окрестности таких точек возможно аномальное возрастание некоторых компонент полей. Указанное явление аналогично хорошо известному в физике плазмы эффекту резкого увеличения полей в задаче об отражении электромагнитной волны при ее наклонном падении на плазменный слой, в котором диэлектрическая проницаемость проходит через нуль [8, 9].
В данной работе исследуются свойства мод различных типов, распространяющихся в плоском волноводе, центральный слой которого изготовлен из магнитодиэлектрика с отрицательными значениями проницаемостей е и ц, непрерывно изменяющимися в поперечной плоскости. Предполагаем, что в общем случае проницаемости могут зависеть от амплитуд полей (т.е. рассматривается нелинейная задача).
1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Будем исследовать планарный симметричный волновод, у которого характеристики среды при у > 0 и у < 0 совпадают (рис. 1а). В центральном волноведущем слое в области |у| < dg проницаемости б 2 и ц 2 зависят от поперечной координаты у и от амплитуды полей; здесь ±й& — координаты плоскостей, выше и ниже которых параметры сред постоянны. В дальнейшем предполагаем, что волноведу-
—й„
У (а)
В центральном слое диэлектрическая е и магнитная ц проницаемости определяются соотношениями
Б1>
Яе ц(у) (б) Яе ц1
0 А йв У
Б 2 =8(20) (у) + 1 (у,|% х\2),
Ц 2 =ц20) (у) + 1т (Щ у (у) 2 + Щ ; (у) 2 ]),
(1)
где 8 (0) и ц (0) — линейные части (в общем случае комплексные функции). Предполагаем, что вблизи оси волновода действительные части про-
ницаемостей .(0)
Яе в (0) < 0
и
Рис. 1. Геометрия задачи: а — плоский волновод из ме-таматериала; б — профиль магнитной проницаемости.
щий слой изготовлен из нелинейного метаматериа-ла. Этот слой окружен сверху и снизу (при |у| > ^) линейными полубесконечными средами с прони-цаемостями 8! и Основное внимание будет уделено случаю, когда проницаемости являются непрерывными функциями координаты у, т.е. когда они непрерывно меняются по сечению волновода, принимая в некоторой точке нулевые значения (рис. 1б).
Для определенности рассматриваем моды ТЕ-типа, у которых электрическое поле имеет только одну компоненту % х (рис. 1а), а магнитное — две компоненты Щ и Щ %. Будем исследовать гармонические процессы, предполагая, что временная зависимость имеет вид ехр (-/ш /), где ю — частота, t — время. В дальнейшем считаем, что в нелинейной среде высшие временные гармоники подавлены. Это приближение оправдано, например, при изучении структур, у которых затухание волн на таких гармониках велико.
отрицательны: Яе ц(0) < 0, а в окружающей среде Яе 8! > 0 и Яе > 0. Предполагаем также, что на частоте ю среды имеют диэлектрические и магнитные потери, т.е. во всех точках пространства 1т г > 0 и 1т ц > 0. Как будет показано ниже, наличие диссипации в средах является весьма важным при решении данной задачи. Вторые (нелинейные) члены в (1) предполагаются малыми; более точные ограничения, налагаемые на параметры системы, будут описаны ниже.
Как известно [6, 7, 10], в волноводах, в которых нелинейности отсутствуют (#е = дт = 0) или нет потерь (1т8 = 1тц = 0), поля направляемых мод (НМ) имеют вид волн, бегущих вдоль оси %; в этом случае все компоненты полей пропорциональны множителю ехр [/ (в% -ш/)], где в — комплексная константа распространения. Такое представление решения возможно, поскольку при указанных выше условиях в уравнениях Максвелла переменные разделяются. В общем случае, когда присутствуют и потери, и нелинейность среды, переменные не разделяются и решение становится более сложным [10, 11]. При этих условиях за счет потерь амплитуды полей мод будут убывать при увеличении координаты %, а следовательно, проницаемость е или ц будет уже зависеть не только от поперечной координаты у: у них появится зависимость от % за счет изменяющихся вторых слагаемых в формулах (1). Если потери малы (| 1т в ^ |Яе в), а также малы нелинейные коэффициенты, то изменение проницаемостей с ростом % будет небольшим и медленным, а значит, все характеристики волны будут медленно меняющимися функциями осевой координаты % [10].
Процесс распространения мод в такой системе будет напоминать процесс распространения волн в волноводе с линейными средами, в котором медленно меняются его параметры [12—14]. Поэтому в первом приближении решение рассматриваемой нелинейной задачи можно искать в виде бегущих волн с медленно меняющимися вдоль оси % амплитудой, фазовой скоростью и распределением полей. В таком случае все компоненты полей пропорциональны выражению
А (%) ехр [/ (ф (%) -ш/)],
й
к
I
где Л(г) и ф(г) = ф (Л(г)) — комплексные функции (Л(г) — амплитуда поля на оси волновода). Например, х-компонента электрического поля приближенно равна
ем координаты z. Например, фазовый набег мод пропорционален интегралу:
Ех (у, г, г) = Л (г) Ех (у, Л (г)) ехр [/ (ф (г) -ш)], дфдг = р (Л (г)),
(3)
Яе
Ф (г) ~ |яе р (Л
(4)
где в — комплексный (с учетом потерь в среде) коэффициент распространения моды, который медленно меняется при изменении г. Ниже исследуем моды, у которых 1т в > 0. Вывод приведенного представления для поля проводится по схеме, описанной в [10]. Заметим, что в случае, когда мода является вытекающей, у нее всегда наблюдается радиационное затухание, поэтому в нелинейной задаче для этих мод переменные не разделяются даже при отсутствии диссипации в средах.
Как отмечалось выше, рассматриваемая нелинейная задача похожа на линейную задачу распространения волн в нерегулярных волноводах с переменными параметрами [12—14], и ее можно анализировать при помощи методик, сходных с методами, которые использовали в теории обычных волноводов с линейными средами (например, методом возмущений, методом связанных мод или методом поперечных сечений). В то же время следует заметить, что существует ряд принципиальных различий в указанных задачах. В линейных задачах изменение параметров волновода вдоль его оси г может происходить только за счет "внешнего воздействия" (например, в процессе его изготовления). В нелинейной системе изменение значений диэлектрической и магнитной проницаемостей происходит за счет самого поля (самовоздействие поля). Кроме того, в волноводе с линейными средами решение строится при помощи разложений по полным системам собственных мод. В нелинейной задаче, а тем более в открытой геометрии, стандартные способы построения собственных мод не применимы и вопрос о спектральных разложениях требует дальнейшего изучения и рассматриваться не будет. Несмотря на указанные проблемы, в первом приближении, когда трансформация мод невелика, приближенное решение может быть построено по тем методикам, которые упомянуты выше.
Задача о распространении мод в волноводе с нелинейной диссипативной средой разбивается на два этапа. На первом этапе в каждом сечении волновода рассчитываются локальные характеристики мод, причем в каждом сечении все функции зависят от амплитуды поля на оси волновода Л(г) как от параметра [10]. На втором этапе решается задача о распространении волн вдоль волновода. Для волновода с малыми потер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.