ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 4, с. 368-375
^ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ^^^^^^^^^^^^^^
ПЛАЗМЫ
УДК 533.9
МОДЫ ВЛАСОВА В ТЕОРИИ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
© 2014 г. В. Ю. Попов*, **, В. П. Силин***, ****
* Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Россия ** Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации (Финуниверситет), Москва, Россия *** Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия **** Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, Москва, Россия
e-mail: silin@sci.lebedev.ru Поступила в редакцию 24.04.2013 г. Окончательный вариант получен 29.08.2013 г.
Существующая теория квазистационарной турбулентности плазмы использует положение о равенстве нулю инкремента плазменных волн. Нами предложено определять спектр таких волн на основе идеи незатухающих волн Власова. Применительно к двум моделям ионно-звуковой турбулентности приведены результаты о скорости ионного звука в рамках этой идеи. Показано, как использование спектральных свойств незатухающих ионно-звуковых волн устраняет неопределенность в оценке времени сильного турбулентного нагрева и в оценке его эффективности.
DOI: 10.7868/S0367292114040064
1. ВВЕДЕНИЕ
Вот уже более тридцати лет продолжаются попытки построить количественное описание ионно-звуковой турбулентности плазмы (ИЗТ). В нашем сообщении предложено для дальнейшего развития теории ИЗТ использовать представление о плазменных волнах как о незатухающих колебаниях, рассматривавшихся Власовым [1—4]. До сих пор в том, что касается плазменных волн, теория ИЗТ базировалась только на представлениях, связанных с затухающими плазменными волнами работ Власова [3] и Ландау [5]. При этом последняя работа породила представление о незатухающих модах Власова как о некорректности и даже как об ошибке. Мало кто помнит научную ситуацию с появлением этих работ. Частично она освещалась в печати (см., например, [6, 7]). Полезную информацию содержит подборка различных авторов в книге [8].
Ниже показано, как теория турбулентности плазмы приводит к спектру незатухающих волн, а их использование ведет к ограничению произвола в такой теории. Мы, во-первых, восстанавливаем на современном уровне понимания аргументацию Ландау в его критике подхода Власова к незатухающим плазменным волнам; во-вторых, привлекаем внимание к старому результату Власова о незатухающих электронных ленгмюров-ских волнах; в-третьих, приводим точку зрения Б.Б. Кадомцева о соответствии незатухающих волн Власова установившимся нелинейным волнам малой амплитуды с захваченными частицами; в-четвертых, предлагаем использовать незатухающие плазменные волны в теории квазистационарной турбулентности плазмы; в-пятых, приводим результат описания скорости незатухающего ионного звука для плазмы с одним сортом ионов, отвечающий, в частности, отсутствию не-
затухающих ионно-звуковых волн при степени неизотермичности меньшей порогового значения. Этот результат может быть использован в теории ИЗТ, отвечающей модели Кадомцева— Петвиашвили [9, 10], см. [11]. Дальнейшие результаты нашей статьи относятся к теории ИЗТ в модели, изложенной в работе [12], и ее упрощениям [13—16]; отметим, что в [13] имеется материал по истории ИЗТ. В-шестых, с помощью дисперсионного уравнения Власова для плазмы с двумя сортами ионов, имеющих одинаковые температуры, продемонстрирована пороговая степень неизотер-мичности плазмы, только при превышении которой может существовать ветвь состояния плазмы, плавно переходящая с ростом неизотермичности в состояние с обычным для неизотермической плазмы значением скорости ионного звука. В-седьмых, для такого состояния плазмы получена оценка времени быстрого сильного турбулентного нагрева плазмы и оценка эффективности нагрева.
2. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ИЗТ.
НОВЫЙ ПОДХОД, ОСНОВАННЫЙ НА МОДАХ ВЛАСОВА Теория ИЗТ и модель [12], которая отличается от модели Кадомцева—Петвиашвили [9, 10] из за различия отношения заряда к массе у двух сортов ионов, после ее упрощения [13—16] позволила не только ставить вопрос об описании сильного нагрева частиц плазмы, но и усмотреть возможность таких условий, в которых ионы могут нагреваться быстрее, чем электроны. В результате появилась возможность уменьшения степени неизотермич-ности (сравнительно большого отношения температур электронов и ионов Те /Т), которая необходима для существования ионного звука. Стало возможно определить время жизни ИЗТ по мини-
мальному отношению Те /Т, допускающему существование ионного звука. Нахождение такой минимальной степени неизотермичности является актуальной задачей современной теории ИЗТ. Однако на сегодняшний день в подходе к решению этой задачи нет какого-либо определенного единого мнения. Поэтому вновь обратимся к теории плазменных волн.
Касающиеся ИЗТ представления работ [12— 16], которые мы развиваем, относятся к теории квазистационарной турбулентности плазмы. Под такой теорией понимается вслед за Балеску [17] вариант кинетической теории турбулентности плазменных волн, в которой одним из основных уравнений является уравнение равенства нулю декремента (инкремента) ионно-звуковых волн
У = 0. (1)
Здесь у определяется суммой вкладов конкурирующих эффектов. Один из них — инкремент роста во времени плазменных волновых возмущений, отвечающий порождающей турбулентность плазмы ионно-звуковой неустойчивости, а второй — декремент, останавливающий такой рост при достаточно высоком уровне турбулентных волновых пульсаций, обусловленный нелинейным процессом — индуцированным рассеянием ион-но-звуковых волн на ионах. Указание на существование квазистационарного состояния ИЗТ возникло в работе Кадомцева [10], рассмотревшего в упрощенной нелинейной теории временную эволюцию турбулентности. В квазилинейной теории Рудакова и Кораблева [18] такого состояния нет, что связано с пренебрежением нелинейным процессом — индуцированным рассеянием ионно-звуковых волн на ионах — базовым процессом модели ИЗТ Кадомцева—Петвиашвили [9, 10]. В моделях [11, 12] и [13—16] квазистационарное состояние реализуется. Отметим, что предыстории наших работ значительное место уделено в сравнительно недавно опубликованной статье [13].
Тривиально, но для нас важно следующее. Уравнение (1) означает, что ионно-звуковые волны в нашей теории ИЗТ являются незатухающими стационарными. Подобные волны в теории плазмы давно известны [1—4], хотя и не привлекают достаточного внимания, а в теории ИЗТ такие волны Власова до сих пор не использовались. Поэтому напомним необходимые для нашего изложения некоторые основы теории ИЗТ. Спектральные свойства плазменных волн в теории ИЗТ определяются из полученного в [1] дисперсионного уравнения
1 +
у г
к 21
йу-
1
ш„к
ю- к • у
-к-дШ = о.
ду
(2)
Здесь ю и к — частота и волновой вектор плазменных волн, еа и та — заряд и масса частицы сорта а полностью ионизованной плазмы, /а — функция
распределения по скоростям частиц этого сорта. В работе [1] на примере электронной плазмы с максвелловским распределением по скоростям получен закон дисперсии частоты электронных ленгмюровских колебаний плазмы в приближении длинных волн. Власов понимал сингулярный интеграл типа Коши в (2) в смысле главного значения. Тогда уравнение (2) сводится к следующему (Р означает главное значение):
1 =
4пе
, 2 тек
йУ-
й/о
У - ю/кйУ
(3)
/о (У) = \^йухйуу/е (у), У = Vг, ось I направлена
вдоль волнового вектора, к — модуль волнового вектора. Из уравнения (3) с очевидностью следует, что если у него есть решения, то частота ю оказывается действительной. Длинноволновые незатухающие плазменные волны, рассмотренные асимптотически в работе [1] для длин волн много больших электронного радиуса Дебая гВе, будем и в случае не очень малых кгВе называть модами Власова: после работы [1] он вернулся к теории незатухающих плазменных волн в 1945 и 1950 гг. в книгах [3, 4], в [4] приведено уже не асимптотическое, а численное решение уравнения (3) для случая распределения Максвелла /0. Это решение повторено нами и иллюстрируется рис. 1, на котором изображена дисперсионная кривая зависимости частоты от модуля волнового вектора. По оси абсцисс отложено кгВе, а по оси ординат
ю/юи, где гВе - ^квТе/4пеN — электронный радиус Дебая (кв — постоянная Больцмана, Те —
/ 2 ч1/2
температура электронов), ю^ = (4пе N/те) — электронная ленгмюровская частота. Согласно [4] максимальное значение частоты составляет ютах = 1.284®^, а максимальное значение модуля
волнового вектора ктах = 0.534гОе1. С точностью до двух знаков после запятой эти результаты работы [4] нами подтверждены. Ограничения области существования незатухающих плазменных волн были установлены Власовым в [3] также для приведенной ниже модельной функции распределения (5). Наличие таких ограничений — одно из качественных отличий незатухающих мод Власова (они и не нарастают, а поэтому могут быть названы стационарными) от широко известных затухающих плазменных волн. Заметим, что в [4] рассмотрены предсказанные в [3] незатухающие акустические волны в электронной плазме, отвечающие нижней ветви рис. 1. Показано, что минимальное значение фазовой скорости таких длинных волн равно Урк т;п = 1.317УТе, где
УТе = \1К вТе /те — тепловая скорость электронов.
зо
а
0.6
krDe
Рис. 1. Дисперсионная кривая электронной моды Власова. Длинноволновый участок верхней ветви кривой соответствует известной электронной ленг-мюровской волне, а нижней ветви — электронной акустической волне Власова.
Ограниченность области существования важна в нашем рассмотрении ионно-звуковых мод.
Отметим, что в Добавлении к работе [3] рассмотрена задача Коши для бесстолкновительного уравнения Власова, использовано преобразование Лапласа, приведена формула
Y = ко (4)
для декремента бесстолкновительного затухания электронных ленгмюровских волн при распределении электронов
/ V) = ( 2ч > (5)
п (V + о )
аппроксимирующем максвелловское (с — не скорость света, а характерная скорость в распределении), и получено решение в виде
ik • r -kot ,
х e e cos шLet, (6)
описывающем релаксацию плазменной волны. В [4] сказано, что Ландау в [5] уточнил р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.