ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 436, № 5, с. 600-605
УДК 519.6
ИНФОРМАТИКА
МОНОТОННЫЕ БИКОМПАКТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА © 2011 г. Б. В. Рогов, М. Н. Михайловская
Представлено академиком Е.Н.Моисеевым 08.07.2010 г. Поступило 08.07.2010 г.
Линейное уравнение переноса является одним из фундаментальных уравнений математической физики [1], которое активно используется для решения широкого круга задач о распространении электромагнитного излучения в различных средах. В их число входят задачи переноса излучения в атмосфере, задачи аэрокосмического мониторинга природной среды и дистанционного зондирования атмосферы планет [2], задача о зондировании биологической ткани лазерным импульсом [3], расчет полей нейтронов, порожденных активной зоной ядерного реактора [4]. Поэтому созданию высокоточных и экономичных разностных схем для этого уравнения посвящено огромное число работ (см., например, обзоры [5—7]). Важный класс решений, который допускает линейное уравнение переноса, как и другие уравнения гиперболического типа, содержит разрывные функции. Одно из ключевых свойств, которому должны удовлетворять разностные схемы сквозного счета, — монотонность [8]. В недавней обзорной статье [9], посвященной проблеме построения монотонных разностных схем для уравнений гиперболического типа, в частности, линейного уравнения переноса, отмечено, что перспективным направлением разработки монотонных схем является их поиск среди схем, обладающих компактностью пространственного шаблона, а также среди схем, построенных для продолженной системы. При этом продолженная система состоит из основного уравнения переноса для искомой функции и уравнения (или уравнений) для пространственных производных от этой функции, которые рассматриваются как дополнительные искомые функции.
В [10] предложен способ построения бикомпактных разностных схем четвертого порядка ап-
проксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Его основные элементы — это использование метода прямых для построения схем, аппроксимация пространственных производных компактными разностями четвертого порядка, а также использование продолженной системы. В отличие от [9], в данной работе исходное уравнение для искомой функции дополнялось не уравнением для пространственных производных от этой функции, а уравнением для первообразной от функции. Преимущество такого подхода очевидно в случае построения разностных схем для сквозного расчета разрывных решений, поскольку первообразная от функции имеет на единицу большую гладкость, чем сама функция. В [10] построены бикомпактные разностные схемы для линейного уравнения переноса путем использования различных схем интегрирования по времени эволюционных систем дифференциальных уравнений, полученных методом прямых. Однако свойства этих схем были исследованы лишь на гладких решениях.
В настоящей работе, во-первых, показано, что бикомпактная однородная схема [10] первого порядка аппроксимации по времени и четвертого по пространственной переменной для линейного уравнения переноса является монотонной. Во-вторых, на основе этой базовой схемы построена монотонизированная схема высокого порядка аппроксимации по времени. Обе схемы решаются явным образом методом бегущего счета. Проведено сравнение расчетов по данным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации [11, 12], которое показало преимущество предлагаемых в настоящей работе схем.
Институт прикладной математики
им. М.В. Келдыша
Российской Академии наук, Москва
Московский физико-технический институт
(государственный университет),
г. Долгопрудный Московской обл.
1. БИКОМПАКТНАЯ СХЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ ПО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим смешанную задачу Коши [13] для линейного уравнения переноса:
и, + аих = 0, а = сош! > 0,
(1)
и(х, 0) = ы0(х), X > 0; ы(0,,) = , , > 0 Следуя [10], введем в число искомых функций наряду с и первообразную V от функции аи
V X = аи. (2)
Начальное условие для дополнительной функции V зададим в виде
у(х,0) = а|ы0(х)ёх, х > 0.
(3)
Граничное условие для V можно взять по-разному. Например, если взять такое граничное условие
у(0,,) = —а21ц(,)Л, , > 0,
(4)
то нетрудно показать, что функция v(x, 1) является решением однородного уравнения переноса, подобного (1). Можно взять граничное условие и в более простом виде
у(0,,) = 0, , > 0. (5)
В этом случае функция v(x, 1) является решением соответствующего неоднородного линейного уравнения переноса.
Введем неравномерную сетку {х., у > 0 } на интервале [0, да). Система дифференциально-разностных уравнений, получаемая по методике [10] методом прямых на двухточечном шаблоне (х, х,+1), имеет следующий вид: к 1 ; (- и,у)=- а +и])+(- —), (б)
12
;+1
Уи+1 - —и =-а2 (иу+1 - UJ),
(7)
12Т ( - и; ) = - 2 (+1 + иу) +
+к(1 - —)+ш (1 - и«п) (8)
у.+1 - у. = -а 2т (; - и у) + ; - —«,
т - ^п+1 1«.
(9)
Здесь верхний индекс п + 1 при сеточных функциях и нижний индекс п + 1 при временном шаге т опущены. Преобразуем уравнение (8), исключив из него разность У, +1 — V, с помощью уравнения (9). Получим уравнение
* + 2 + = 2 + + +^ ( - и«) + ; - Ж«,
(10)
где и,, V, — разностные приближения функций и, V; к.+1 = х.+1 - х.. В дальнейшем индекс при пространственном шаге к будем опускать.
Разлагая сеточные функции в уравнениях (6), (7) в ряды Тейлора и исключая функцию V, можно получить первое дифференциальное приближение полудискретной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (6), (7):
, ак д5ы п и, + аих +---г = 0.
' х 720дх5 Видно, что система ОДУ (6), (7) выполняется с точностью до 0(к4) на точном решении уравнений (1), (2).
Введем неравномерную сетку {,«, п > 0} на интервале [0, да). На временном слое п + 1 аппроксимируем производные в (6), (7) по неявным формулам первого порядка точности, т.е. для интегрирования системы ОДУ (6), (7) используем обратную схему Эйлера [14]. В результате имеем следующую систему разностных уравнений
где введена сеточная функция Ж = —; у =--
ак к
число Куранта. Уравнение (9) можно записать как уравнение относительно функций и, Ж
- Ж. = -у и+1 - и.) + - Ж;. (П)
Хотя разностная схема является чисто неявной и безусловно устойчивой, решение разностных уравнений (8), (9) или (10), (11) может быть осуществлено методом бегущего счета. При этом расчет на новом п + 1 слое можно выполнить последовательно: сначала из (10) определить и, +1, а затем из (11) определить Ж,+1. Это оказалось возможным благодаря двухточечному пространственному шаблону схемы.
Из уравнений (10), (11) можно исключить разность Щ +1 — Ж и получить трехслойную схему. Разложив значения сеточной функции в ряд Тейлора в этой схеме, можно получить первое дифференциальное приближение
1 2 д 2и и, + аих - -та —т,
' х 2 дх2 которое подтверждает абсолютную устойчивость схемы (10), (11).
Исследуем монотонность схемы (10), (11), следуя методике классической работы [8]. Полагая, что любую ограниченную монотонную сеточную функцию можно представить как линейную комбинацию простейших монотонных ступенчатых функций, рассмотрим свойство монотонности (по Годунову [8]) схемы (10), (11) на этих простейших функциях.
Рассмотрим задачу (1) с монотонно убывающей начальной функцией, имеющей вид ступеньки,
[2, 0 < х < 1, Ы0(Х) = -{_ . (12)
[0, х > 1
и граничным условием
И(0 = 2, , > 0. (13)
0
0
Рис. 1. Результат расчета уравнения переноса с а = 1 при к = 10-2 и у = 0.1 в момент времени Г = 0.5. Жирная сплошная линия — точное решение задачи, линия 1 — бикомпактная схема первого порядка аппроксимации по времени, линия 2 — бикомпактная схема третьего порядка аппроксимации по времени. Маркеры: кружочки — метод минимизации нормы в L2 [11], крестики — метод ENO-3 [12].
Для упрощения последующих выкладок положим, что пространственная сетка — равномерная.
Дифференциальная задача (1), (12), (13) с разрывным начальным условием аппроксимируется разностной схемой (10), (11) со следующими начальными и граничными условиями:
Г2,
иу =
= 1 [ и =
к з
0 < ] < Уо, о, У > Уо,
2], 0 < у < уо,
2Уо + 1 У > Уо,
ио" = 2,
Жо" = о, п > о.
(14)
(15)
и1 =
2, о <]< ]о, Pl, ] = ]о + l, Р2и]_1, ] > Уо + 1,
2
Р1 =
2у
У
у +1 ^^ 2 12у
Р2 =
17 + ^ Г_12
2,1 , 1 ' у +— у +—
Г 12
Здесьу0 к = 1; непрерывная функция 1Р(х) получается линейной интерполяцией из сеточной функции и]; граничное условие для функции Ж взято в виде (5).
На одном временном шаге разностное уравнение (10) переведет монотонно убывающее начальное условие и 0 в сеточную функцию
которая монотонно убывает при любом у > 0.
Аналогичные выкладки показывают, что разностная схема (10), (11) также переводит монотонно возрастающее начальное условие в форме элементарной ступенчатой функции в монотонно возрастающую сеточную функцию. Отметим, что монотонность схемы (10), (11) не противоречит теореме Годунова [8], следствием которой является невозможность построить линейную монотонную схему, имеющую порядок выше первого одновременно по обеим независимым переменным (координате и времени).
X
0
Таблица 1. Оценка точностей численных методов в момент времени ? = 0.9. В качестве оценки погрешности было выбрано отклонение рассчитанных значений от точного решения в норме С
т = 10-3, И = 10-2 т = 10-4, И = 10-2 т = 10-3, И = 2 ■ 10-2 т = 10-3, И = 5 ■ 10-2
Е^-3 Схема [11] Схема (21), (22) 1.23 ■ 10-4 9.01 ■ 10-4 1.95 ■ 10-4 1.41 ■ 10-4 9.37 ■ 10-4 2.14 ■ 10-7 9.91 ■ 10-4 3.76 ■ 10-3 1.95 ■ 10-4 1.51 ■ 10-2 2.57 ■ 10-2 2.03 ■ 10-4
На рис. 1 показано сравнение результатов расчетов по бикомпактной схеме (8), (9) с результатами расчетов [11], проведенных по существенно неосциллирующим явным схемам высокого порядка точности [11, 12]. Расчеты проведены для линейного уравнения переноса с параметром а = 1, с периодическими граничными условиями и начальными условиями, содержащими разрыв
-1, 0 < х < 0.5,
и0(х) = <¡0.5, х = 0.5, (16)
2, 0.5 < х < 1.
В [11] для интегрирования уравнения переноса по пространственной координате использовались аппроксимации
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.