ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА * т \:мсут>!1 .штеш
Том 145, Л* 3 TiiM" HBOSW^rVi-вТ
декабрь,2005 ' !
л!«£['>«• да an вгш
{иач юшвгшэф! ик ,MNnt /г? '¿uqtxp «юкетиг >ii
ктскшчэв». шишиг оя ктт9в*»ут;оз ягою»:
© 2005 г. Э. Т. Ахмедов*
НА ПУТИ К ТЕОРИИ НЕАВЕЛЕВЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
Дано определение не зависящего от триангуляции упорядочения по поверхности, которое естественным образом обобщает хорошо известное определение упорядочения по пути. В этом случае естественно, чтобы два-форма "связности" несла три "цветовых" индекса, а не два, как в случае обычной один-формы калибровочной связности. Определена процедура экспоненциирования матрицы с тремя индексами, использующая структурные константы для правил слияния.
Ключевые слова: квантовая теория поля, неабелевы тензорные поля.
:ГН
4£Т
лГч
-Ы'И
¡<т
>ь'.
ЗФШ
1. ВВЕДЕНИЕ
Среди вопросов, стоящих перед современной математической физикой, имеются два, которые рассматриваются в данной работе:
1) что такое теория неабелевых тензорных полей;
2) как определить "многовременной" гамильтонов формализм для неточечных объектов?
Мы покажем, что эти два вопроса связаны друг с другом.
Для определения теории два-тензорного поля следует понять его природу. Мы полагаем, что будет правильным рассматривать тензорное поле как связность на некотором необычном "расслоении." Или, лучше сказать, мы предлагаем несколько иной взгляд на известный тип расслоений, в рамки которого естественным образом укладывается два-тензорное поле. Базой этого расслоения является пространство петель СХ конечномерного пространства X. "Точкой" пространства СХ является петля 7 на пространстве X. "Путь," связывающий две "точки" 71 и 72 на базе СХ, является поверхностью £(71 > 7г) внутри пространства X, которая имеет цилиндрическую топологию с двумя петлями на краях 71 и 72.
Таким образом, связность В на данном расслоении является два-формой, которую следует интегрировать по поверхности Е. Это похоже на стандартную ситуацию со струнным два-тензорным В-полем, но в отличие от нее, мы хотели бы рассматривать такие слои V (над каждой из точек петель 71 и 72), которые имеют размерность выше
* Институт экспериментальной и теоретической физики, Москва, Россия. E-mail: akhmedov@itep.ru ,-ф.
2 Теоретическая и математическая физика, т. 145, № 3, 2005 г. 2" 321
322
Э.Т. АХМЕДОВ
ляоанытачоят
единицы. Поэтому поле В в этом случае несет "цветовые" индексы. Таким образом, соответствующая "матрица голономии" связности В над "путем" (поверхностю £) имеет непрерывное число индексов, распределенных по петлям 7 на краях £. Для определения голономии поля В следует ввести определение упорядочения по поверхности.
Не пытаясь формализовать вышеуказанную ситуацию, мы представим явную конструкцию перечисленных выше объектов. Для определения упорядочения по поверхности рассмотрим триангуляцию £ римановой поверхности £. Тогда упорядочение по поверхности получается посредством склейки по всей симплициальной поверхности экспонент от В, приписанных каждому симплексу. Но при этом очевидно, что экспоненты должны нести по три индекса в соответствии в тремя ребрами каждого симплекса - треугольника. Вопрос состоит в том, что является экспонентной, которая имеет три индекса1^? Чтобы двигаться дальше, предположим, что это новый объект - функция от матрицы В, также имеющей три индекса. Мы собираемся определить эту функцию в данной статье. Для этого потребуем, чтобы выполнялись основные свойства, необходимые для придания конструкции смысла. Конструкция осмысленна, если определение упорядочения по поверхности не зависит от способа взятия континуального предела (от £ к Е): этот факт мы называем "независимость определения упорядочения по поверхности от триангуля-циии".
Таким образом, основная трудность в определении состоит в отсутствии понимания того, как экспоненциировать матрицы с тремя индексами. В данной работе мы попытаемся преодолеть эту трудность. Чтобы в общих чертах создать у читателя представление о такой экспоненте и независимости от триангуляции, напомним, что экспонента матрицы А? с двумя индексами имеет следующее основное свойство:
= (в<*1+*2М)* (1)
для любых двух чисел ^ и <2. Это уравнение определяет экспоненту однозначно. Действительно, из него можно вывести дифференциальное уравнение для экспоненты.
Экспонента матрицы В^к с тремя индексами может иметь любое число внешних индексов (не только нуль или два, как экспонента матрицы с двумя индексами). В результате она подчиняется большому числу различных тождеств, вытекающих из условий независимости от триангуляции. Более того, функция от рассматриваемой трилинейной формы В на самом деле не является экспонентой в общепринятом смысле, но мы будем ее называть так по той причине, что она подчиняется условиям независимости от триангуляции.
Наиболее элегантное тождество, которому удовлетворяет рассматриваемая экспонента, имеет вид2^
что представлено графически на рис. 1. Однако это уравнение не определяет экспоненту матрицы В с тремя индексами однозначно. Тем не менее именно это свойство может
м. работу [1] по поводу различных свойств кубичных матриц и естественных правил их умножения.
Путем применения барицентрического разбиения многомерных симплексов легко обобщить эти уравнения на высшие размерности.
£
г
к
о
г
к
*1*2
I
форм;, Л ОРрС
(б)
Рис. 1. Основное свойство экспонент матриц; (а) матрица с двумя индексами, (б) матрица с тремя индексами.
помочь в формулировке "двухвременного" гамильтонова формализма. Мы кратко обсуждаем это в заключительном разделе. Более полное обсуждение будет представлено в отдельной публикации.
Здесь стоит упомянуть, что упорядочение по поверхности можно определить с помощью стандартной экспоненты для два-тензорной формы с двумя "цветовыми" индексами. Но такое определение требует еще и присутствия дополнительной один-формы калибровочной связности [2]. Поэтому, если мы желаем иметь дело только с два-тен-зорным поле, мы вынуждены следовать нашей линии аргументации. .. _
Структура статьи такова. В разделе 2 предлагается определение упорядочения по поверхности. В разделе 3 определяется, как экспоненциировать матрицу с тремя индексами. В разделе 4 обсуждаются свойства упорядочения по поверхности и свойства рассматриваемого "расслоения". В этом разделе даются также другие определения экспоненты матрицы с тремя индексами. В разделе 5 приводятся некоторые явные примеры матриц I тл к, определяемых в основном тексте. В заключении кратко обсуждаются некоторые направления будущих исследований, например, развитие "двухвременного" гамильтонова формализма. Приложение содержит некоторые явные вычисления, необходимые для понимания статьи.
2. УПОРЯДОЧЕНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ И ТРИАНГУЛЯЦИИ
Для того чтобы ввести обозначения и дать представление об основных идеях нашего подхода, кратко опишем, как получается упорядочение по пути. Рассмотрим базу X векторного расслоения с Д'-мерными слоями V. Мы хотели бы найти матрицу голономии, соответствующую пути 7ху, которая связывает Д'-векторы в слоях над двумя точками а; и у пространства X. Мы приведем здесь несколько необычный способ определения упорядоченной вдоль пути экспоненты, который, однако, легко обобщается на двумерный случай. Для определения матрицы голономии аппроксимируем путь 7ху ломаной
Рис. 2. Ломанная уХу является дискретизацией пути 'Уху- Каждому ребру 7 приписана матрица (/^4 .
линией 7Ху, состоящей из набора малых прямых линий (рис. 2). Рассматриваемая голономия имеет вид
и(1хуЦ= £ и(х,А1х)^и(х1,А2х)кк1...и(у,АьхУкь, (3)
где интересуют рассматриваем следовательнос: дому звену приг верхних индексс мерованным 6yi звено, graph(a) сумма по а ф b ■ graph (a, b) явля ев. Произведен именно, посредс Именно это с от триангуляш-уравнения
графически прс
где Ь - число звеньев ломаной; х\ = х + А\х, и т.д., а Д/х - 1-е звено ломаной линии; каждая величина II в (3) является оператором II: V —> V. Всюду в дальнейшем малые латинские буквы (г, к и т.п.) представляют собой "цветовые" индексы, пробегающие значения от 1 до N. Чтобы получить голономию для самого пути 7ху, следует взять непрерывные пределы Ь —> оо и |Д;х| —> 0, / = 1,..., Ь. Определение (3) не зависит от одномерной триангуляции, т.е. от конкретного выбора последовательности 7ху для аппроксимации при Ь —> оо, поскольку каждое II в произведении (3) можно представить как экспоненту элемента алгебры (связности в векторном расслоении). Экспонента определяется следующим образом (не следует путать ее с экспонентой, упорядоченной вдоль пути):
{// = (ел)> ^ Jim
М-Уоо
М
п
graph
А
м
lim Uf + ^г м —>00 V 1 М
ЛЗ2 \ / ДЗ
K M I зы М
= lim
М—уоо
(М 1 м / 1 \ П<0 П ') +
graph а=1 graph(a) ' тг
Любое репк двумя индекса] решение этого ты с таким про странство проб пределе
иыУ)\
где x(s) - ото( вая 7Ху, а;(0)
3) Просим не
M , ( м~2 \ пкз ж иМ
ля / m-* \ nkj
+ £ Д * +
а^Ь=1 graph(a,i>) ' 1тг
•iUsT"
+о1Я
= + М + + (4)
где интересующий нас случай возникает, когда = Ajii(x)Ax'1, но в формуле (4) мы рассматриваем А как постоянную матрицу. В этом выражении предел берется по последовательности открытых, связных графов (ломаных линий) с M звеньями3) ; каждому звену припишем матрицу (1 + A/M) и склеим их посредством свертки нижних и верхних индексов; сумма по а — 1M берется по всем возможным вставкам (пронумерованным буквой а) в граф одного А, А(а) означает матрицу А, помещенную в а-е звено, graph(a) является несвязной ломаной линией - исходным графом без а-го звена; сумма по 07^6= 1,..., M берется по всем возможным вставкам пары матриц А в граф; graph(a, Ь) является несвязной ломаной линией - исходным графом без а-го и Ь-го звеньев. Произведения множителей S в (4) берутся по этим графам очевидным образом, а именно, посредством сверток нижних и верхних индексов.
Именно это определение экспоненты делает упорядочение по пути (3) не зависящим от триангуляции в пределе L оо. Действительно, матрица Sj является решением уравнения .xi« «
, . к\К) = кк{, (5)
графически представленного на рис. 3. В результате всюду в (4) 5 = <5.
Ри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.