ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 6, с. 944-958
УДК 519.626
НАБЛЮДАЕМОСТЬ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ И СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ ПО ДВУМ ГРАНИЦАМ1)
© 2007 г. Л. Н. Знаменская
(141700 Долгопрудный, М.о, Институтский пер., 9, МФТИ) e-mail: lznam@lznam .pereslavl.ru Поступила в редакцию 21.07.2006 г.
Получены решения задач граничного наблюдения (восстановления начального состояния) за колебаниями объекта с распределенными и сосредоточенными параметрами. Эти колебания описываются краевыми задачами с граничными условиями различных типов у объекта с распределенными параметрами, объект с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Библ. 6.
Ключевые слова: упругие колебания, наблюдаемость, управляемость, волновое уравнение, система с сосредоточенными и распределенными параметрами.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается задача наблюдения за процессом колебаний связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами, объекты такого типа представляют интерес при решении различных задач управления для систем с распределенными параметрами (см. [1], [2]). Впервые, по-видимому, системы такого вида были рассмотрены в [3]. Прикладная задача управления колебаниями связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами рассмотрена, например, в [4]. Тот факт, что рассматриваемые системы содержат элементы с распределенными и сосредоточенными параметрами, существенно усложняет задачи управления такими системами. В работе [5] получено решение задачи наблюдения по одной границе объекта с распределенными параметрами для краевых условий I рода. В настоящей работе доказано, что, наблюдая за процессом колебаний по двум границам объекта с распределенными параметрами для краевых условий различных типов в течении времени T = l/a, можно восстановить начальное состояние системы при выполнении определенных условий.
2. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
Пусть QT = {(t, x) : 0 < t < T, 0 < x < l}. Рассмотрим колебания системы, описываемые следующей краевой задачей:
Utt(t, x) = a Uxx(t, x), (t, x) e Qt, (1)
u(0, x) = ф(x), ut(0, x) = x), 0 < x < l, (2)
a Ux( t, 0) - p! u( t, 0) = Zi (t), a2Ux( t, l) + p2U( t, l) = Z2 (t), 0 < t < T, (3)
Z\ (t) + X1 Zi (t) = biUx(t, 0), 0 < t < T, (4)
Zi (0) = z!, Zi (0) = zj, (5)
Z2(t) + X2Z2 (t) = b2Ux(t, l), 0 < t < T, (6)
Z2( 0) = z2, Z2 (0) = (7)
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-00279) и при финансовой поддержке Фонда содействия отечественной науке.
Если из условий (3)-(7) исключить переменные z1(t) и z2(f), то их можно представить в виде
В Х2В
t, 0) - апхх(t, 0) + Л]их(^ 0) - и(t, 0) = 0,
а1 аа, (8)
а,их(0, 0) - р,и(0, 0) = а,иЛ(0, 0) - в,и,(0, 0) =
и ххх( t, I) + Л;2 ихх( t, I) + Л2 их ( t, I) + ^ и ( t, I) = 0,
а2 а а2 (9)
а2их(0,1) + р2и(0,1) = ¿2, «2ихХ0,1) + р2^(0,1) = ¿\,
- Ь л „
лг =—2—;, - = 1,2.
а
Сформулируем задачу наблюдения за колебаниями, описываемыми рассматриваемой краевой задачей.
Задача наблюдения. Найти период времени Т и начальное состояние (2) объекта, колебания которого описываются уравнением (1) и однородными краевыми условиями (8), (9), по результатам наблюдения:
и(t, 0) = w1(0, и(t, I) = (0, 0 < t < Т. (10)
где
3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Приведем результат, дающий решение рассматриваемой краевой задачи. Введем операторы Ж1 и Ж2, которые действуют на функцию у(0 следующим образом:
а в а ^2 в
М,У (t) = у (t) + а-ву( t) + а2 Л\у( t) + а-1в1У (t), (11)
а, а,
а В9 2 а Х2 В9
^2У(t) = у (t) + -£2У(t) + а2Л2у( t) + —ру(t). (12)
Пусть у' (t), у2 (0, у3 (t) - линейно независимые решения уравнений
Жгу(t) = 0, - = , 2, (13)
с дифференциальными операторами вида (11) и (12), которые удовлетворяют при - = 1, 2 следующим условиям:
у]( 0) = , у,1( 0) = 0, у; (0) = 0,
у2( 0) = 0, у2 (0) = , у2 (0) = 0, (14)
у33 (0) = 0, у3( 0) = 0, у3( 0) = ,
Определим функции
¥,( 5) = 2 ф( 0 )y1 + 2 0 + 2 а2 ф'' (0)у,^, ^
^) = 2 ф( I )у2 + 2у( I )у2 + 2а2 ф" (I , (16)
т ) Ш:!} 1 о к5) = 1Ш, - ^2,
где
Wi(С, ^) =
у!(^) у2(^) У3(^)
у ( 5 ) У2 ( 5 ) Уг( s )
, Wi (5 ) =
У!(5) У2(5) У3(5) У!(5) У2(5) У3(5) У'!( 5 ) У'2 ( 5 ) У3 ( 5 )
у!(0 У2(О У3(С)
Заметим, что введенные функции Кг(£, 5), i = 1, 2, обладают следующими свойствами:
,2
= 0, КД, 5) =1.
К (С, С) = 0, ^ К(С, 5)
= ?
^ с2
* = ?
Теорема 1. Пусть выполнены условия
ф(х) е С3[0,/], у(х) е С2[0,/], а!Ф'(0) - в 1 ф(0) = а!у'(0) - ^у(0) =
«2 ф' (I) + в 2ф( I) = а2 у' (/) + р2^( I) = 2.
2
в! ф„
ф''' (0)ф''( 0) + Л1ф' (0)--р ф( 0) = 0
а
2
а а1
ф''' (/) + 02 ф'' (/) + Л 2 ф'( /) + ^ ф( /) = 0.
а2 а а2
(17)
(18)
(19)
(20) (21)
Тогда существует единственное решение и(^ х) е С3(((Т) краевой задачи (1), (2), (8), (9), которое при 0 < t < //а представимо в следующем виде:
и(t, х) = 2[Е(х + at) + О(х - at)],
(22)
где
о (С) =
ь
ф(О-а|у(5)ж, 0<с<I,
0
-да
71Ю - Е(-С) + ] К1 (-С/а, 5 5 )сЬ, -/ <С< 0,
(23)
5) = 2 а3 Е"'(ая) + 2а3 Л1Е' (а5),
(24)
Е(0 =
ф(0 + !|у(5)0<с</,
(? - 1)/а
72(0 - О (2/ - С) + | К 2 ([С - I ] /а, 5) 5) Ж, / <С< 2/,
0
(25)
^2(5) = -2а О"'(/ - а5) -2а3Л2О'(/ - а5).
0
0
НАБЛЮДАЕМОСТЬ УПРУГИХ КОЛЕБАНИИ СИСТЕМ Аналогичная теорема доказана в [6] при граничных условиях
в X2 в
и ххх( t, 0) и хх( t, 0 ) + Л,их (t, 0) --р и (t, 0) = t), а! а а,
иххх( t, I) + ¡^ихх( t, I) + Л2их(t, I) + ^и( ^ I) = У2(t) . а2 а а2
Полагая в этом доказательстве ух(0 = у2(0 = 0, получаем доказательство теоремы 1.
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ
Будем искать начальные функции ф(х) и £(х), используя вид (22) решения и(^ х) краевой задачи и результат наблюдения (10) за колебаниями системы. Получаем следующие уравнения:
Е (at) + О (-at) = 2 w1( t), Е(I + at) + О(I - at) = 2w2( t)
(27)
(28)
при 0 < t < 1/а. В уравнение (27) подставим второе выражение из (23) для О(-а0 и в уравнение (28) подставим второе выражение из (25) для Е(1 + а0. В результате находим
7,(а^ +1К,(t, 5)5)= 2w,(t),
(29)
2(I + at) +1К2(t, 5)Р2(5)йъ = 2w2(t).
(30)
Поскольку функции и У2 вида (15) и (16) соответственно удовлетворяют уравнениям (13), учитывая, что
м,
|К,( ^ 5)5)й5
'-0
= Р(t), , = , 2,
и применяя операторы М1 и М2 к уравнениям (29) и (30), получаем следующие равенства:
Р,(t) = 2М,[wг(t)], - = , 2.
(31)
Подставим в уравнения (31) значения функций Е1 и Р2 из формул (24) и (26) соответственно, затем воспользуемся тем, что функции Е(х) и О(х) определяются по формулам (23) и (25) при 0 < х < I. В итоге получаем
ф''' (at) + ^№0 + Л,
а
ф' (а^
,
= "-М,^ t)],
ф'.'(I - аг) + + Л2
ф'(I - at) +
£(I - at)'
а
= -1 М2 [W2( 0].
а
Теперь в этих соотношениях положим х = at и х = I - at, окончательно находим следующие уравнения:
/,' (х) + Л, J,(х) = £,( х), ¿2' (х) + Л2 J2(х) = g2(х) .
(32)
0
0
- г
а
Здесь введены обозначения
J1 (X) = Ф' (X) + gi( x ) = t)]
t = x/a
J
(x) = Ф'(x) g2(X) = -IЖ2[w2(t)]
t = (l - x)/a
Замечание 1. Очевидно, что при t е [0, Т] для Т < //а невозможно восстановить начальные данные ф(х) и у(х), поскольку для уравнений (32) переменная х принадлежит сегменту [0, аТ] и для уравнения (33) переменная х принадлежит сегменту [/ — аТ, /]. Поэтому восстановить функции ф(х) и у(х) для любого х из всего сегмента [0, /] невозможно, если аТ < /.
Поскольку функции ф(х) и у(х) неизвестны, то Ji(х) в уравнениях (32) и (33) можно рассматривать как неизвестные, подлежащие определению функции переменной х. Для того чтобы выписать решения этих уравнений, введем следующие функции. Пусть и! (х) и и2 (х) - линейно независимые решения однородных уравнений
(х) + Л^г(х) = 0, i = 1, 2,
обладающие свойствами
ы\ (0) = 1, (ы\ )(0) = 0, ы2(0) = 0, (ы2)(0) = 1, i = 1, 2,
(35)
(36)
ki ( x, 5 ) =
Ы1(5) Ы2(5)
ы1(x) Ы2(x)
Ы1(5) Ы2 (5) (Ы-)'(5) (Ы2)'(5)
i = 1, 2.
Очевидно, что введенные функции (37) обладают свойствами
kr(x, x) = 0, dxkl(x, 5)
= 1, i = 1,2.
Теперь можно выписать решения уравнений (32), (33) в следующем виде:
J1 ( x ) = С1ы1 + C\ ы\ + G1( x ), J2 ( x ) = C2u2 + C2 u2 + G2( x ),
где
G- ( x ) = J ki ( x, 5 )gi ( 5 ) d5, i = 1, 2.
0
Из выражений (34), (38) и (39) находим функции y(x) и фф):
xx
2 Ф( x ) = C + J{ C 1ы1 (т) + с2ы1(т) + C2 ы1 (т) + C2 ы2 (т)} dT + J{ G1 (т) + G2 (т)} di,
00
2y(x) = [C1 u1 (x) + C1u1(x)] - [C2u2(x) + C2u2(x)] + [G1(x) - G2(x)].
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
a
и
Для этих функций справедливы равенства (20), (21) и следующие равенства согласования начальных функций (2) и функций наблюдения (10) в угловых точках (0, 0) и (0, I) прямоугольника QT:
ф( 0) = ^ (0), ф( I) = w2 (0), 0) = 0), I) = (0). (43)
Таким образом, находим С = 2w1(0), а чтобы найти константы С , г,] = 1, 2, необходимо найти решение переопределенной системы уравнений (20), (21) и (43), которую представим, используя свойства (36) функций и] для г,] = 1, 2 в следующем виде:
Н! = с1 - С2, Н2 = С1А11 + С1А 12 С2А21 С2А22?
Нз = С1 Би + С В12 + С1 В21 + С2 В22, (44)
«1Н4 = - С2 р1 + С1 а1 Л - С2 р1,
«2Н5 = С1(р2Оц- а2ЛАц ) + С1 (р2^12- а2ЛА12) + С2Р2^21+ С2р2^22, где при г, ] = 1, 2 введены следующие обозначения:
1
Ау = Ы (I), Вг] = | и] (т) ^, Бу = (и])' (I), Л = Л2- Л1,
0
Н1 = 0), Н2 = ^(0) - [в1(I) - а2(1)],
i
H3 = 2[w2(0) - w(0)] - J[Gj(T) + G2(T)]dT, (45)
' 3
0
X2 В
H4 = 2^0^Wi(0) - [gi(0) + g2(0)], a ai
X2 В
H 5 = -2-^W2( 0) - [gi( l) + g2(l)] - Л Gi (l) - [Gl (l) + G2 (l)].
a a2
Система (44) имеет единственное решение, если функции w1(t) и w2(t) удовлетворяют дополнительному условию вида
H iY i + H2 y 2 + H3Y 3 + H4 Y 4 + H5 Y 5 = 0, (46)
где
Yl = а1«2Л2^22(^11^12 - A^n) + p1p2[(^11^21 + Л21Я11ХА2 - D22) + (A11D21 + A21D11XB22 - B12) +
+ (B1D21 - B2iDn)(Ai2 + A22)] + а^Л^а^^и - AnB0) - D11A2B12 + A1B2) + + Di2(AnB22 + A22B11)] + 02pi\A2i(AnBi2 - A 12B11) + A11(A22B21 - A21B22)], Y2 = a^2Ai2B22 + Pip2[(Bn + Bi2)(D22 - D12) + (B12 - B22)(D21 + Dn)] + + a^[D22Bi2 - D12B22] + a2plЛ[An(B22 - B0) + Ai2(Bn + B21)], Y3 = ala2Л2Al2A22 - alp2Л(A22Dl2 + A12D22) + Pip2[(D22 - D^Ai - An) - (D21 + D
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.