ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2015
ТЕХНОГЕННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ
УДК 622.691.4-027.45
© 2015 г. Кучерявый В.И., Мильков С.Н.
НАДЕЖНОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА ПО КРИТЕРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ
Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта
Получена математическая модель для вероятности неразрушения протяженного трубопровода по критерию статической устойчивости, когда сжимающая и критическая силы являются нелинейными функциями нормально распределенных случайных аргументов: коэффициентов линейного расширения, Пуассона, постели грунта, а также диаметра, толщины стенки, температурного перепада, давления. Реализация метода повысила надежность подземных трубопроводов.
Магистральные трубопроводы прокладываются в самых разнообразных топографических, геологических, гидрогеологических и климатических условиях. При этом применяют подземную, полуподземную, наземную и надземную способы прокладки. Наиболее распространенной является подземная схема (98% общего объема сооружений линейной части). Одним из распространенных видов отказов трубопроводов, как весьма протяженных конструкций, является потеря продольной устойчивости, обусловленная действием внутреннего давления и температурным перепадом. Наиболее часто такой вид отказа происходит на заболоченных, обводненных и многолетнемерз-лых участках трассы, вследствие снижения несущей способности грунтов.
Существующие детерминированные методы расчета продольной устойчивости трубопроводов, основанные на применении коэффициента запаса, являются неудовлетворительными с точки зрения анализа надежности. Вследствие рассеивания характеристик металла, грунтов, нагрузок и размеров сечений, всегда имеется определенная вероятность отказа трубы, которая может меняться в весьма широких пределах при одном и том же коэффициенте запаса устойчивости.
В связи с этим ставим задачу оценки надежности прямолинейного подземного участка трубопровода по условию статической устойчивости. Решение задачи выполним в вероятностном аспекте, представив все исходные расчетные переменные независимыми случайными величинами. Необходимость развития такого подхода обоснована в работах [1—8].
Расчетную схему трубопровода представляем стержневым элементом бесконечной длины, постоянной изгибной жесткости, со свободно-опертыми шарнирными конца-
ми и уложенным в сплошном грунтовом основании. При этом реакция грунта прямо-пропорциональна поперечному перемещению трубопровода.
Для подземного прямолинейного участка трубопровода, при исключении в нем
продольных перемещений, осевое сжимающее усилие N из-за действия внутреннего давления и перепада температур определяем по формуле:
N = п(а А гЕйк + 2-1ур ¿Р), (1)
где а — температурный коэффициент линейного расширения металла трубы; температурный перепад стенки трубы; Е — модуль упругости; с1, к — диаметр и толщина трубопровода; V — коэффициент Пуассона в упругой стадии работы металла; р — рабочее давление перекачки транспортируемого продукта.
Исходя из дифференциального уравнения изогнутой оси трубопровода, уложенном
в сплошной грунтовой среде, критическую силу Р, при которой он теряет свою прямолинейную форму, находим по известному соотношению [6]
= ßJ]E ~dA h k, ß = 2T8~V
(2)
где k — коэффициент постели грунта.
В качестве показателя надежности трубопровода принимаем вероятность ненаступления его предельного состояния R по критерию статической устойчивости. Величина R представляет собой вероятность события, что сжимающая сила N будет меньше критической P
R = Prob(N< P) = Prob[(P - N) = y > 0], (3)
где у — случайная величина, представляющая разностный параметр предельного состояния трубопровода по условию устойчивости.
Полагаем, что в (3) величины N и P независимы и неотрицательны с соответствующими плотностями распределения вероятностейf (N) иf (P). Тогда, применив к (3) метод свертки плотностей, запишем общее выражение для показателя надежности трубопровода по критерию статической устойчивости
да да да
R = f(y) dy = JJ/( y + N) (dN) dy. (4)
0 0 0
Допускаем, что по множеству однотипных участков трубопровода величины N и P имеют плотности распределения вероятностей нормально закона, тогда (4) приводится к известному виду
— — 2 2 -1/2
P = Ф[z], Z = (P- N)+ s2) / , (5)
где P, N; , s2 — соответственно, математические ожидании и дисперсии критической и сжимающей сил; Ф[м] = (л/2л )-1 Г exp(-X/2)dx — функция нормированного
J0
нормального распределения (среднее — ноль, дисперсия — единица); z — ее аргумент.
В (5) функцию Ф[м] вычисляем по отдельной программе, а выражение для z представляет собой уравнение связи. Для дальнейшей реализации алгоритма найдем мате-
матические ожидания Р, N и дисперсии ^ , 52 осевой и критической сил. Из (1) и (2) видно, что сжимающая сила N — это нелинейная функция семи случайных аргументов а, А г, Е, 5, к, V, р , а критическая сила Р — нелинейная функция четырех случайных переменных р, 5, к, к.
Допускаем, что указанные случайные аргументы взаимно независимы и имеют распределение, близкое к нормальному. Известны их математические ожидания а , Аг,
Е, 5, к , V , р , к и соответственно средние квадратические отклонения (стандарты) я1, я2, я3, % я5, я6, я7, % На начальной стадии эксплуатации трубопроводов в условиях отсутствия представительной статистической информации указанные числовые характеристики находим по правилу теории вероятностей "трех стандартов", используя возможные минимальные хт1п и максимальные хтах значения исходных случайных аргументов: ях = (хтах — хтЬ)/6, х = хтЬ + 3ях. Величины хтЬ, хтах находим по справочным данным для расчета магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость.
При сделанных допущениях найти строго аналитически плотности распределения вероятностей /(И), /(Р) по (1), (2) и их основные числовые характеристики, преобразованием функций нескольких случайных аргументов, затруднительно, так как в итоге нужно численно решать многомерные несобственные интегралы сложной структуры. Поэтому математические ожидания N, Р и дисперсии 4, я2 находим приближенно аналитически методом линеаризации [7], считая дисперсии исходных переменных незначительными, не прибегая при этом к определению плотностей для сжимающей и критической сил. Для этого функции (1), (2) в окрестности математических ожиданий аргументов раскладываем в ряд Тейлора до первых двух членов включительно. К полученному разложению применяем теоремы о числовых характеристических, отбросив остаточный член ряда. В результате общие выражения для N, я2, Р, 4 будут вида
N = /(а, Аг, Е, 5, к, V, р), (6)
/ = (д^ да)2^ + (д^ А г) 24 + (дЩ дЕ)24 + ^/дй)2$] +
— 29 — 29 ()
+ (д^ду) $6 + (дN/др) $2.
Р = /(Е, 5, к, к), (8)
4 = (дР/ дЕ )2$3 + (дР/ д5 )2$2 + (дР/дк )2$2 + (дР/дк )2 4 (9)
В соответствии с методом линеаризации выражения (6), (8) означают, что в формулах (1), (2) вместо случайных аргументов подставляем их математические ожидания. Применив к (1), (2) преобразования (7), (9), получаем выражения дисперсий осевой я2
2
и критической ^ сил в развернутом виде:
$2 = п2 [(АгЕ5к$1 )2 + (аЕ5к$2 )2 + (аАг5к$3 )2 + (аАгЕк$4)2 +
_---2 -и-2 2 -1_-2 2 (10)
+ (аАгЕ5$5) + (2 р5 ) + (2 $7) ],
2 2 _4__ 2 __з__ 2 --4- 2 —4- 2
4 = рр1[(5 кк$3) + (4Е5 кк$4) + (Е5 кэ5) + (Е5 к$8) ], Р1 = (Е5кк)1.
Используя полученные модели надежности, задаем вероятностное условие работоспособности трубопровода по критерию продольной устойчивости К > К *, где К* — расчетный показатель надежности, определяемый по (5), с учетом (6), (8), (10), (11); К* — требуемый нормативный уровень надежности.
Величину К* предлагаем находить по соотношению К* = 1/[1 + г], г = ¿/¿а — соответственно стоимости затрат на плановую и аварийную замены искривленного участка трубопровода; вероятность отказа трубопровода г, соответствующая его нормативной наработке 33 года эксплуатации, представляющая показатель риска аварии. Магистральный трубопровод представляет собой потенциально опасный объект, поскольку его отказ по причине нарушения продольной устойчивости может привести к аварийной ситуации. В связи с этим отношение затрат на его планово-профилактическую диагностику к аварийной принимаем г = 0,001, тогда в соответствии с вышеуказанной формулой нижняя граница нормативного уровня надежности будет равна К* = 0,999.
Выполним численную реализацию представленного алгоритма по вероятностной оценке продольной устойчивости участка северного магистрального трубопровода протяженностью 250 километров, подающего нефть на насосно-перекачивающую станцию "Печора", где контролируются следующие параметры: скорость движения нефтяных потоков, давление и температура стенки трубы. Оборудован наземный выход трубопровода для запуска диагностических снарядов и очистных устройств. Рассматриваемый участок трубопровода находится в обводненном грунте. С помощью профиломера производилось измерение радиусов изгиба оси трубопровода, вследствие потери его продольной устойчивости. Такой вид отказа нарушает проектное положение трубопровода. В результате обработки диагностической информации получены следующие значения математических ожиданий и среднеквадратических отклонений (стандартов) исходных случайных аргументов: а = 1,2 ■ 10-5°С-1, ^ = 0,024 ■ 10-5°С-1,
Аг = 36°С, 52 = 0,72°С, Е = 2 ■ 105 МПа, 53 = 0,04 ■ 105 МПа, й = 720 ■ 10-3 м,
54 = 14,4 ■ 10-3 м, к = 8 ■ 10-3 м, 55 = 0,16 ■ 10-3 м, V = 0,28, 56 = 0,056, р = 6,2 МПа,
s7 = 0,124 МПа, к = 0,025 МН/м3, 58 = 0,0005 МН/м3.
По этим данным, задавшись коэффициентом вариации V, находим стандарты исходных случайных аргументов по соотношению = Ух. На основании (5) с учетом (6), (8) и (10), (11) исследована чувствительность надежности трубопровода К от рассеивания модуля упругости s3, диаметра 54 и коэффициента постели грунта s8, результаты представлены в таблице. Чувствительность надежности трубопровода от совместного
53, МПа ¿3 К3 л4, м ¿4 К4 МПа/м3 ¿8 К8
4120 5,307 0,9999999 0,0144 5,307 0,999999 0,0005 5,307 0,9999999
8240 4,888 0,9999995 0,0288 2,923 0,9982683 0,0010 5,033 0,9999998
12360 4,368 0,999993
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.