681.2
Нахождение двумерных полиномов приближения обратных функций преобразования измерительных датчиков
В. А. ЛАРИОНОВ
Национальный исследовательский Южно-Уральский государственный университет,
Челябинск, Россия, e-mail: larionov1953@mail.ru
Рассмотрен метод нахождения двумерных полиномов заданной степени субравномерного приближения обратных функций преобразования измерительных датчиков. На основе экспериментальных данных проведено сравнение с методом наименьших квадратов.
Ключевые слова: равномерное приближение функций, алгоритм Ремеза, измерительные датчики.
The method of finding of two-dimensional polynomials of given degrees subuniform approximation of measuring sensors inverse transformation functions is considered. On the basis of experimental data the comparison with the least squares method has been carried out.
Key words: uniform approximation of functions, Remez algorithm, measuring sensors.
В системах управления современными технологическими производствами используют датчики различных физических величин: температуры, давления, уровня, расхода, углового положения и т. д. Датчики, рассматриваемые в данной работе, можно объединить по принципу построения функциональной схемы, приведенной на рис. 1, где р — измеряемая физическая величина; сенсор Р — первичный измерительный преобразователь; t — температура окружающей среды; — выходной код сенсора Т температуры £ МДцП — выходной код аналого-цифрового преобразователя (ДЦП); МК — микроконтроллер; Мр — оценка измеряемой величины р; интерфейс — двунаправленный цифровой интерфейс (например RS485).
Предположим, что температуры сенсора Р и ДЦП одинаковы. Тогда функция преобразования датчика имеет вид
Рис. 1. Функциональная схема измерительного датчика
МДцП = р, 1). Искомое значение р определяют из решения уравнения: р = Т-1 (МДцП, § или в цифровой форме, когда N = Т-1 (МДцП, М(). Построение математической модели датчиков основано на получении оценки их обратной функции преобразования (ОФП), т. е. нахождении аналитической зависимости, аппроксимирующей эту функцию с определенной погрешностью.
Экспериментальные данные
P, кПа tv, °C
80 50 41
МАЦП N !^ацп N, ^АЦП N
0 8416928 87441 39 841 3996 8711067 841 3302 8701426
12,5 9379525 8744115 9371 738 8711047 — —
25 10340098 8744096 10327445 8711036 10323513 8701394
37,5 11297872 8744098 11280401 8711018 — —
43,5 11756431 8744073 — — 11730117 8701367
50 12250436 8744071 12227601 8711004 — —
65 1 3376644 8744063 1 334771 9 8710988 1 33381 50 8701343
Обратная функция преобразования непрерывна на определенном отрезке и, в соответствии с теоремой существования Вейерштрасса, может быть приближена с определенной погрешностью полиномом
N= Е Е а Щ Д цп Щ ,
/=0 у=0
(1)
ния, равное (п+2) (к+2), превышает число неизвестных коэффициентов а/ = (п+1) (к+1).
В статье рассмотрен метод определения двумерного полинома заданной степени субравномерного приближения ОФП, использующего ту же исходную информацию, ч то и МНК, но позволяющего уменьшить максимальную погрешность приближения.
Двумерный полином (1) можно представить в виде
" АЦП/1/1, Nt¡1j1,
где а/ — коэффициенты полинома.
Получение оценки ОФП основано на методе эталонных сигналов. Группу калибруемых датчиков помещают в климатическую камеру с определенной температурой, а на их входы поочередно подают ряд т эталонных значений р1, р2,..., рт. После подачи каждого сигнала проводят несколько измерений этого сигнала и температуры усредненные результат К°т°рых ^АЦП1' МАЦП2, ...' NАЦПm и Ме,.", Ыт регистрируют в цифровом виде в компьютере. Данную процедуру выполняют для б температур В результате получают массивы экспериментальных значений кодов М ¡1 = 1, 2,..., т;/1 = 1, 2,..., б для каждого датчика.
Количество используемых эталонных значений р, ? зависит от степеней п, к полинома (1), выбранных по определенному критерию [1], и метода приближения данного полинома к ОФП датчика. При заданном пределе погрешности приближения минимальное количество эталонных значений р, ? достигается при использовании равномерного приближения, т. е. метода интерполяции по расчетным значениям р, ? [1—3]. По технологическим причинам на предприятиях—изготовителях датчиков часто используют эталонные значения р, равномерно распределенные по диапазону изменения, а в качестве способа приближения — метод наименьших квадратов (МНК) [4—7], предполагающий большее количество эталонных значений р, чем при интерполяции. В этом случае нахождение полинома (1), являющегося равномерным приближением ОФП датчика по теореме Чебышева, невозможно, так как количество точек максимального удале-
N = Е а/ N Д
/=0
дцп;
а/ = Е Ьу Щ,
У =0
где Ь/ — коэффициенты полинома.
Для каждой температуры /1, / = 1, 2,..., б по эксперимен-
1 = 1, 2,..., т с помощью алго-
тальным значениям МАцП ¡^ц, /
ритма Ремеза [1] найдем полином равномерного прибли-
жения //1:
У = Е СуХ
!Ц' дцп-
/=0
где Су — коэффициенты полинома.
Для каждого / = 0, 1, ..., п по полученным коэффициентам с^ и экспериментальным значениям N/1 вычислим полином равномерного (или взвешенного равномерного) приближения зависимости коэффициентов с от М [1].
Эффективность предложенного метода при п = к = 2 рассмотрим на примере экспериментальных данных датчика избыточного давления р производства ЗАО «Метран» (Челябинск, Россия), приведенных в табл. 1 .
Т а б л и ц а 1
датчика давления
ы, °с
23 0 -20 -40
МАЦП N МАЦП N МАЦП N МАЦП N
8411783 8681 482 8409594 8653529 8407779 86291 96 84071 96 8607741
9364365 8681 469 9356943 865351 9 9349561 86291 64 9342266 860771 7
10314928 8681 457 10302278 8653503 10289360 86291 71 10275313 8607711
11262563 8681 445 11244657 8653490 11225871 86291 42 11205187 8607697
— — 11695661 8653471 — — 11649578 8607690
12204025 8681412 12180098 8653463 12154274 8629116 12126812 8607670
1 331 7384 8681 402 1 3286365 8653442 1324542 8629094 1 321 9001 8607653
При данных значениях степеней (1) для получения полинома приближения по МНК требуется как минимум по четыре точки температуры t и давления р: t = {80, 41, 0, -40} °С, р = {0; 25; 43,5; 65} кПа. Результаты вычислений коэффициентов (1) по предложенному методу приведены в табл. 2.
При каждой из температур t = {80, 41, 0, -40 °С} по давлениям р = {0; 25; 43,5; 65 кПа} и кодам МДцП (см. табл. 1) с помощью алгоритма Ремеза вычислим коэффициенты с0, с1, с2 (табл. 2) полиномов равномерного приближения функций р = Т(Мдцп).
Т а б л и ц а 2
Результаты вычислений коэффициентов полиномов равномерного приближения функций р =
Коэффициент t, °C
полинома 80 41 0 -40
с0 -105,50 -106,0 -106,58 -107,85
с110-5 1,2189 1,2236 1,2275 1,2411
с2-10-14 4,1478 4,3659 4,7863 5,0133
По найденным коэффициентам с и усредненным кодам / для температур t этим же способом определим коэффициенты Ь0, Ь1, Ь2 (табл. 3) полиномов равномерного приближения зависимостей с (//¿).
Т а б л и ц а 3
Результаты вычислений коэффициентов полиномов равномерного приближения зависимостей с(М()
Коэффициент полинома с Коэффициент полинома b
b0 b1 b2
с0 -6915,3 8,04-10-4 -5,26-10-13
с1 1,554-10-3 -1,8-10-10 2,017-10-19
с2 -8,86-10-11 1,04-10-17 -1,56-10-26
Основные метрологические характеристики датчиков нормируют в виде предельных значений. Использование МНК, основанного на интегральном критерии, не обеспечивает нахождение математической модели, имеющей минимальную максимальную погрешность приближения. Коэффициенты полинома (1), полученные по МНК, следующие {16752,9; -3,90342-10-3; 2,25924-10-10; -3,90310 10-3 9,04173-10-10; -5,21976-10-17; 2,21251-10-10; -5,09289-10-11 2,93127-10-24}.
Рис. 2. Максимальные приведенные погрешности приближения: 1 — по предложенному методу ур; 2 — методом наименьших квадратов урМНК относительно температур t
При верификации использовали шесть точек: t = = {80, 50, 23, 0, -20, -40} °С, р = {0; 12,5; 25; 37,5; 50; 65} кПа. Для каждой температуры t вычислили максимальные приведенные погрешности приближения ОФП:
Yp = max [(Npn - р/Др) 100];
Тмнк = тах [(Мрмнк - Р/аР) - 100],
где Ур — максимальная приведенная погрешность приближения по предложенному методу; Мрп — давления, вычисленные по полиному субравномерного приближения; Ар — диапазон изменения давления; УрМНК — максимальная приведенная погрешность приближения по МНК; МрМНК — давления, вычисленные по полиному среднеквадратичного приближения.
Сравнительные результаты определения максимальной приведенной погрешности приближения по предложенному методу Ур и МНК УрМНК относительно температур t приведены на рис. 2.
Вывод. Предложенный метод нахождения двумерного полинома заданной степени субравномерного приближения обратной функции преобразования измерительного датчика позволяет уменьшить максимальную погрешность приближения при той же исходной информации, что используется и в методе наименьших квадратов.
Л и т е р а т у р а
1. Ларионов В. А. Оптимальное планирование с гарантированной точностью калибровочных испытаний измерительных датчиков: Автореф. дис. на соиск. учен. степ. док. техн. наук. Челябинск, 2013.
2. Ларионов В. А. Концепция калибровки интеллектуальных датчиков // Приборы и системы. 2012. № 12. С. 46—51.
3. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.
4. Семенов Л. А., Сирая Т. Н. Методы построения градуи-ровочных характеристик средств измерений. М.: Изд-во стандартов, 1986.
5. Gerald Recktenwald. Pressure Transducer Calibration for M. E. Thermal Laboratory. 2004.
6. Stephen S. Lam. Calibration of the Total and Static Pressure Transducers in the DSTO Transonic Wind Tunnel. Commonwealth of Australia. 2010.
7. Damir IliC, Josip Butorac, Luka FerkoviC. Temperature measurements by means of NTC resistors and a two-parameter approximation curve // Measurement. V. 41. N. 3. P. 294—299.
Дата принятия 23.09.2014 г.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.