НАХОЖДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРОФИЛЕН
ВСЕХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА КВАДРАТИЧНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ х(2Цг,2ш;ш,ш) ОДНОМЕРНО НЕОДНОРОДНОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ
А. А. Голубков*, В. А. Макаров**
Международный лазерный центр, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 119991, Москва, Россия
Поступила в редакцию 22 мая 2011 1".
Доказана возможность и предложена методика однозначного нахождения координатных зависимостей всех компонент комплексного тензора квадратичной восприимчивости 2а;; и,',и,'), ответственной за
генерацию второй гармоники в одномерно неоднородной пластинке, линейные диэлектрические свойства которой также неоднородны и характеризуются тензором диэлектрической проницаемости диагонального вида. Для ее осуществления необходимо в некотором диапазоне углов падения плоской волны основного излучения измерить комплексный коэффициент преобразования пластинкой падающей на нее волны в отраженную волну второй гармоники. Меняя плоскость падения волны и (или) ее поляризацию, а также измеряя коэффициенты преобразования в и р-поляризованные волны удвоенной частоты, можно однозначно определить пространственные зависимости всех компонент тензора квадратичной восприимчивости. Предложенная методика включает измерения интенсивностей волн второй гармоники, генерируемых в специальных условиях с использованием двух вспомогательных эталонных пластинок, что позволяет обойтись без сложных фазовых измерений.
1. ВВЕДЕНИЕ
Восстановление пространственных зависимостей компонент тензора квадратичной восприимчивости нелинейной одномерно неоднородной среды становится все более востребованной практической задачей [1,2]. Однако используемые для ее решения методы либо связаны с разрушением исследуемого образца [3 5], либо применимы только для пепоглощающих сред с однородными линейными диэлектрическими свойствами [6 10]. Иногда для нахождения пространственных профилей компонент тензора ;\;(2^(г) используют также различные априорные предположения о функциях, задающих их форму, и далее находят значения нескольких входящих в эти функции подгоночных параметров, которые дают наилучшее согласие с данными эксперимента [11,12]. Одной из основных проблем, возникающих при экспериментальном определении зависимо-
E-mail: andrej2o01(fflyandex.ru
E-mail: vamakarov'fflphvs.msu.ru
сти от г тензора \(2') (г, 2и; и, и), ответственного за генерацию второй гармоники в одномерно неоднородной среде, является сложность нахождения фазы волны на удвоенной частоте, без знания которой нельзя однозначно восстановить пространственный профиль \(г, 2и; и, и) даже в простейшем случае пепоглощающей среды с однородными линейными свойствами [9]. В работах [7,9,12] было предложено несколько методов решения этой проблемы, однако все они применимы только для линейно однородных пепоглощающих сред.
В настоящей работе предложена и обоснована методика однозначного нахождения по данным эксперимента координатных зависимостей всех компонент комплексного тензора ;у'2)(г,2и;;и;,и;) одномерно неоднородной вдоль оси г среды, имеющей вид плоскопараллельной пластинки, поверхности которой перпендикулярны направлению неоднородности. Предложенная методика применима, если линейные диэлектрические свойства рассматриваемой нелинейной среды также изменяются только вдоль
осп г и описываются диагональным тензором линейной диэлектрической проницаемости е(г,и>), который может произвольным образом зависеть от частоты распространяющейся волны. Для ее реализации необходимо в некотором диапазоне углов падения плоской волны основного излучения с частотой и; измерить комплексные коэффициенты, характеризующие эффективность ее преобразования в .s'il /¿-поляризованные волны второй гармоники, распространяющиеся по ту же сторону от пластинки, что и падающая на нее волна основного излучения. При этом, меняя плоскость падения и (или) поляризацию волны основного излучения, можно восстанавливать профили различных компонент тензора квадратичной нелинейности. Предложенная методика однозначного восстановления компонент тензора \ '( г, 2uj ; и;, и; ) включает две серии дополнительных измерений интенсивности волн на удвоенной частоте, генерируемых в специальных условиях с использованном исследуемой и дополнительных эталонных пластин, что позволяет обойтись без сложных фазовых измерений.
Пусть оси х, у и г совпадают соответственно с осями Х-2 и Л'з кристаллофизической системы координат [13] среды, образующей пластинку. Как известно, одномерно неоднородные среды, строго говоря, могут иметь пространственную симметрию, соответствующую одному из 10 классов (1, 2, т, тт2, 3, 4, 6, 3т, 4/т/г, бтт) или одной из двух предельных групп (ос, ост) [14]. Будем рассматривать среды, относящиеся к любой из этих предельных групп нлн к любому нз классов симметрии, кроме 1, 2 и т. В этом случае в системе координат х, у, г линейные диэлектрические свойства среды пластинки будут описываться диагональным тензором диэлектрической проницаемости е(г,и>).
Будем считать также, что в среде имеется наведенная другими волнами нелинейная поляризация
Р(.(:,М) = [Р1( = )е1 + Р„(=)е„ + Р,(=)е,] X
х охр [¿(и)1 — кх.г)] + с.с.
Тогда материальное уравнение для вектора электрической индукции
2. ВЗАИМОДЕИСТВИЕ СВЕТА С ОДНОМЕРНО НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДОЙ.
УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Рассмотрим одномерно неоднородную вдоль оси г немагнитную среду, которая вдоль плоскостей г = <i и г = ¿2 (¿2 > ) граничит с однородными изотропными линейными не поглощающими и не диспергирующими средами с вещественной диэлектрической проницаемостью го- Пусть на такую пластинку падает распространяющаяся в положительном направлении оси г волна с частотой и), вектор напряженности электрического поля которой при г < ¿1 равен
(Еохех+Еоуеу+Ео-е.) охр [i(uit—kxx—k-z)] +с.с.
Здесь е3., еу, е- единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей ,г\ у, г; кх и к-проекции на оси х и г волнового вектора падающей па пластинку волны. Тогда решение системы уравнений Максвелла можно искать в виде
Е(.г,М) = [Ex(z)ex + Ey(z)ey + E,(z)e,} х х охр [i(ujt — кх.(;)] + с.с., H(x,zJ) = [Hx(z)ex + Hy(z)ey + H~_(z)e~_] х х охр [i(ujt — Av-t')] + с-?-'
где H вектор напряженности магнитного поля.
(1)
D(.,:,c,f) = [Dx(z)ex + Dy(z)ey + D,(z)e,] х
х охр [i(ujt — кх.(;)] + с.с.
внутри пластинки можно записать в виде
Dj{z) = £jj(z,'*o)Ej(z) + (2)
где j принимает значения х, у, г. Подставляя выражения ( 1 ) в уравнения Максвелла и учитывая материальные уравнения (2), имеем
(IEу iui ^ dz с 1 '
= ^ [eyy(z,^)Ey + 4тгРу] - 1кхН(3)
Я- =
скх
U1
Е,,
1
(1Н,, iui , _
=--ЕТ
<:-(z,L0) il (IE,
dz с
D- - 4ttP-
4ttPx xx(z,u>)
- Ы ff —--Я„
ik,.E-
(4)
E, =
D, =
ckx Hy и)
где с скорость света в вакууме. После небольших преобразований из систем уравнений (3) и (4) соответственно получим
d Еу
,(z.«)-kî)Ey = -4^P„. (5)
d_
dz
1
dHu
sxx(z,lo) dz 4iruikx
uT
P-
-
4iriu) d с dz
p
Hy -
,(г, и)
(6)
При этом проекции векторов напряженности электрического и магнитного полей на оси х и г могут быть рассчитаны по следующим формулам, непосредственно следующим из систем уравнений (3) И (4):
Нг =
г с dEy ui dz
Н- =
скх
u>
Ei,
Ех = Е, =
г с
и>ехх(г,и>) _ckx
U>£-
dH„
:(Z,UJ
dz
- н „
4тг Px Sxx(Z,uj) 4тг P-
(7)
(8)
.ui
На границе раздела сред, где их свойства претерпевают скачок, уравнения Максвелла необходимо дополнить граничными условиями. Как известно, в простейшем случае линейных немагнитных сред без пространственной дисперсии эти граничные условия выражают непрерывность касательных к поверхности раздела сред составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей. В рассматриваемой геометрии и с учетом уравнений (7) и (8) это означает непрерывность величин Еу, (1Еу/(1г,
Ну и
1
йНу | 4тгги>
~ 1 л
£xx(z, UJ) \ dz с при любых значениях координаты г как внутри пла-
стинки, так и на ее поверхности:
Ey(z^0) = Ey(z + 0),
dEy \ (сШь
О)
t+0
Ну (~ — 0) = Ну (;
1
dH„
4-ттги;
.(г,и) 1
dHv
cexx{z,UJ 4ттги>
0).
-P,
t-0
(10)
,(г,и) dz c£xx(z,lo
P,
t+0
Д2)
3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ x***,
(2) (2) v *v v ДУУУ1 Xzxx
(2) ,Д2) и ТЕНЗОРА
Для восстановления пространственных зависимостей всех компонент тензора \(2'*(г,2и;;и;,и;) рассмотрим пять различных геометрий измерений. При
этом будем считать, что во всех исследованных в настоящей статье случаях амплитуда и частота основного излучения, а также величины \^)п(г,2иг,и),и)), где ,¡,1,111 = х,у, г, таковы, что в среде происходит достаточно сильная для надежной регистрации генерация второй гармоники. Но волна на удвоенной частоте не оказывает заметного влияния на распространение волны основного излучения в пластинке и не участвует в генерации волн на других частотах.
Пусть на исследуемую пластинку под углом о. падает «-поляризованная плоская волна с частотой и), распространяющаяся в положительном направлении оси г, вектор напряженности электрического поля которой при г < ¿1 равен
Етеу exp [i(ujt - /о -'' - k-_ (г
i))]
с.с.
гдо кх = к sin а, к- = к cos а, к = ui^/ёо/с. В результате в пластинке будет распространяться волна с частотой и; и напряженностью электрического поля EqiEi (z )еу exp [i(u)t — кхх)] + с.с. Изменение ее безразмерной амплитуды Ei(z) описывается уравнением (5) с правой частью, равной нулю:
£Ei
dz2
-УУ
(z,u>) - к;
= 0,
(П)
решение которого при г = ничным условиям
dEi dz dEi dz
¿1,2 удовлетворяет rpa-
ik.E^Z!) = -2ik, ik-_E1(z2) = 0,
(12)
непосредственно следующим из максвелловских граничных условий (9). Заметим, что
7.2 _
с
к ~
Поэтому решение задачи (11), (12) зависит только от одного параметра к-.
Распространенно в пластинке волны основного излучения приводит к возникновению нелинейной поляризации среды
Pjiz^co) = \, 2и>; и!,и!)рЕ2(z) х х охр [i(2uit — 2кх.(;)] -
с.с.
(13)
где /1 = Ед!, ;} = х,у,г, и, как следствие, к генерации волн второй гармоники, имеющих ,ч- и р-поляризацию. При этом вектор напряженности электрического поля л'-полярнзованной волны на удвоенной частоте в пластинке может быть записан в виде
р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.