научная статья по теме НАКАТ ДЛИННЫХ УЕДИНЁННЫХ ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ПОЛЯРНОСТИ НА ПЛОСКИЙ ОТКОС Геофизика

Текст научной статьи на тему «НАКАТ ДЛИННЫХ УЕДИНЁННЫХ ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ПОЛЯРНОСТИ НА ПЛОСКИЙ ОТКОС»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 5, с. 604-611

УДК 551.46

НАКАТ ДЛИННЫХ УЕДИНЁННЫХ ВОЛН РАЗЛИЧНОЙ ПОЛЯРНОСТИ

НА ПЛОСКИЙ ОТКОС

© 2014 г. И. И. Диденкулова1, 2, Е. Н. Пелиновский1, 3, 4, О. И. Диденкулов1

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева 603950 Нижний Новгород, ГСП-41, ул. Минина, 24 E-mails: dii@hydro.appl.sci-nnov.ru, didenkulov@gmail.com 2Институт кибернетики при Таллинском техническом университете 12618 Таллинн, Эстония, Акадеемиа тее, 21 3Национальный исследовательский университет — Высшая школа экономики 603155 Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, 25/12 4Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ГСП-120, ул. Ульянова, 46 E-mail: pelinovsky@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 18.03.2014 г., после доработки 02.04.2014 г.

Изучается процесс наката длинных уединённых волн различной полярности на берег в случае составного рельефа дна: плоский откос переходит в зону постоянной глубины. Подтверждено, что нелинейная деформация волны положительной полярности (гребня), приводящая к возрастанию ее крутизны, приводит к значительному возрастанию высоты наката. Показано, что нелинейные эффекты наиболее сильно проявляются при накате волн отрицательной полярности (впадин), при этом высота наката таких волн растет с возрастанием их крутизны и может превышать амплитуду падающей волны.

Ключевые слова: волны на воде, накат, длинные волны, берег, плоский откос, форма волны, полярность волны.

Б01: 10.7868/80002351514050034

1. ВВЕДЕНИЕ

Аналитическая теория наката длинных волн на плоский откос, созданная первоначально Кар-риером и Гринспаном в 1958 году [1], активно разрабатывалась в последние годы; сошлемся здесь лишь на некоторые работы после 2005 г. [2—8]. Ссылки на более старые работы по накату можно найти в обзоре [9]. Особо отметим, что этот же подход оказался эффективным для исследования наката волн на берега узких бухт и каналов [10,

11]. При этом во всех перечисленных работах основное внимание, как правило, уделяется накату волн положительной полярности (гребней), полагая, что именно они и приводят к большим за-плескам на берег. Однако, как было показано в

[12], наличие волны отрицательной полярности (впадины) перед основным гребнем может привести к увеличению высоты наката волн на берегу — так называемый "эффект ^-волны". Эти выводы при прочих равных условиях остаются справедливыми как для волн малой амплитуды, когда спра-

ведлива линейная теория, так и для волн большой амплитуды, если последние не обрушаются. Накат как положительных, так и отрицательных уединенных обрушенных волн на берег изучался в [13] в приложении к вызванному ими транспорту наносов.

Между тем нелинейные эффекты проявляются по-разному для волн различной полярности, что продемонстрировано в [14—16] на примере трансформации волны в канале постоянной глубины в рамках нелинейной теории мелкой воды. Поскольку глубина воды под впадиной уменьшается, то нелинейные эффекты, приводящие к увеличению крутизны волны, проявляются там быстрее, чем в случае импульса положительной полярности (гребня). Это должно приводить к разнице в форме волны, подходящей к откосу, а не только в ее полярности, и волна отрицательной полярности должна иметь более крутой склон. Накат волн с крутым фронтом (первоначально синусоидальных) на плоский откос изучался в [17], где было

показано, что высота наката существенно возрастает с ростом крутизны волны, в то время как дальность отхода волны от берега практически от нее не зависит. Очевидно, что в какой-то мере подобный эффект должен проявляться и при накате волн только одной полярности. Именно его исследованию и посвящена настоящая статья.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НАКАТА ВОЛН НА ПЛОСКИЙ ОТКОС

Аналитическая теория наката длинных волн на плоский откос подробно описана во многих работах (см., например, [9, 18]) и здесь не будет обсуждаться. Если волна подходит к берегу издалека с глубины к, то расчет характеристик ее наката может быть выполнен в рамках так называемого двухэтапного подхода. На первом этапе рассчитываются следующие вспомогательные функции: Я(1) и и^), имеющие смысл вертикального смещения и горизонтальной скорости подвижного уреза в линейной теории. Так, для падающей уединенной волны с характерной высотой А и периодом Т, находящейся на расстоянии Ь от уреза

[ (х) = А/(?/Т) = А | В(О)ехр (/О£)СО,

(1)

функции и и(1) могут быть найдены с помощью интеграла Фурье:

* )=^А«

В(О)

ехр

I (О)

СО, (2)

и (X) =

1 С*

а С

где

% = ^Т, О = юТ, X0

да

В (О) = 2- | / (С>ехр (-/О^.

(3)

Здесь а — тангенс угла берегового склона (а = = к/Ь), и g — ускорение свободного падения. Ось х направлена к берегу, так что положительные значения скорости соответствуют движению воды к берегу.

Затем вычисляются функции г(1) и ы(1), определяющие "истинное" вертикальное смещение и горизонтальную скорость подвижного уреза в рамках нелинейной теории мелкой воды (именно эти

характеристики являются измеряемыми в экспериментах и наблюдениях):

и (X) = и | X + — |, ^ а?)

(4)

г(х) = ф + —|-^и2 + — I. (5)

^ 2? ^

Отметим одно важное свойство, неоднократно отмечающееся в литературе: величины экстремумов функций и г(0, а также и(1) и ы(1) совпадают между собой, так что вычисление экстремальных характеристик наката может производиться в рамках линейной теории длинных волн.

Приведенные выше формулы описывают накат необрушенных волн на плоский откос. Условие обрушения определяются так называемым критерием обрушения

Вг =

тах

(с 2*/с2)

(6)

Если Вг > 1, то волна обрушивается еще до подхода к берегу, поэтому все описанные выше формулы справедливы только при Вг < 1. Параметр обрушения легко подсчитывается с помощью формулы (2) в рамках линейной теории. В случае наката обрушенных волн аналитическая теория мелкой воды не работает.

3. НАКАТ УЕДИНЕННОЙ ВОЛНЫ НА ПЛОСКИЙ ОТКОС

Для проведения конкретных расчетов необходимо конкретизировать параметры волны и характеристики откоса. Для наглядности здесь и далее будем использовать характерные размеры Большого волнового канала Ганноверского университета Германии с откосом 1 : 6 и глубиной 3.5 м, учитывая, что в этом бассейне недавно была выполнена серия экспериментов по накату длинных волн на плоский откос [19].

Пусть падающая на откос волна имеет солито-ноподобную форму положительной полярности (гребень):

Пп (X) = А сГ2 (/ Т),

(7)

где А = 0.2 м — высота начальной волны, и Т = 6 с — ее характерный полупериод (рис. 1а). Рассчитанная по формулам (2) и (5) зависимость вертикального смещения подвижного уреза от времени показана на рис. 1б. Видно, что изначально положительный импульс высотой 0.2 м трансформируется на берегу в знакопеременную волну, где за повышением уровня с максимальной высотой 0.47 м следует его опускание на максимальную глубину 0.19 м. Видна задержка во времени в 7 с в колебаниях уреза по сравнению с падающей волной, связанная со вре-

ЗО

да

да

0.20 0.15 = 0.10 0.05 0

0.6 0.4 0.2

0

-0.2

(а)

0

?, мин (б)

0.4 -0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 ?, мин

0

-0.05 -0.10 -0.15 -0.20

0.2

0

,-0.2 -0.4 -0.6

(а)

0.2 0 ?, мин

(б)

0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ?, мин

Рис. 1. Накат солитоноподобного импульса положительной полярности на плоский откос: форма начальной волны (а), колебания подвижного уреза (б).

Рис. 2. Накат солитоноподобного импульса отрицательной полярности на плоский откос: форма начальной волны (а), колебания подвижного уреза (б).

менем добегания волны до берега. Отметим также, что вертикальные колебания уреза г(1) имеют гладкую форму, что говорит о низком значении параметра обрушения Вг. В частности, для нашего случая параметр Вг = 0.1.

Аналогичная ситуация наблюдается при накате на плоский откос солитоноподобного импульса отрицательной полярности (рис. 2а). В этом случае изначально отрицательный импульс с А = = 0.2 м приводит к отходу воды от берега на глубину 0.47 м, за которым следует подъем воды на высоту 0.19 м. Параметр обрушения при этом чуть больше, чем в случае наката положительного импульса, но по-прежнему мал: Вг = 0.16. Отличие параметра обрушения при накате положительного и отрицательного импульсов объясняется тем, что нелинейные эффекты, которые, в частности, выражаются в крутизне волнового фронта, всегда проявляются сильнее во впадине волны, нежели на ее горбе [14-16].

Таким образом, накат волн разной полярности на плоский откос приводит к простому изменению значений экстремальных характеристик наката, хотя форма колебаний уреза меняется, что особенно заметно при увеличении амплитуды падающей волны (мы не приводим соответствующие графики).

4. НАКАТ ДЛИННОЙ ВОЛНЫ НА БЕРЕГ ИЗ ЗОНЫ ПОСТОЯННОЙ ГЛУБИНЫ

Указанная выше "симметрия" в экстремальных характеристиках наката теряется, если перед тем, как подойти к откосу, волна распространяется в бассейне постоянной глубины на расстояние X (рис. 3). В этом случае сначала происходит нелинейная трансформация длинной волны, описываемая так называемой Римановой волной [14]

/■ \ I - х - X - Ь

П(Х0 = Пш - ( ,

I_у От)

V (п) = 31Е (Н + п) - 2уЦк,

у

(8)

и это решение справедливо в области постоянной глубины (—X < х < —Ь).

В результате к откосу (х = —Ь) подходит волна с крутым фронтом, и дальнейший расчет ее наката на плоский откос определяется по формулам (2)—(5). На рис. 4 представлена форма волны в начале и конце участка бассейна постоянной глубины к = 3.5 м и длиной X = 270 м. Сплошной линией изображен уже рассмотренный выше импульс (1) с высотой А = 0.2 м и полупериодом Т = 6 с, а штриховой линией - нелинейно деформированная форма, образовавшаяся после распространения этого импульса в 270-метровом бассейне (при его подходе к откосу). Ясно видно, что волна ста-

Рис. 3. Геометрия составной задачи.

ла асимметричной с крутым передним фронтом. Задержка во времени связана со временем распространения волны вдоль канала.

Накат такого нелинейно деформированного импульса показан на рис. 5. Из рисунка видно, что подъем уровня воды на берегу сменяется отходом воды от берега, как и в ранее рассмотренном

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком