направленный транспорт броуновской частицы
в периодически сужающейся трубке
Ю. А. Махновский"*, В. Ю. Зицермань, А. Е. Антипов€
"Институт нефтехимического синтеза им. А. В. Топчиева Российской академии наук
119991, Москва, Россия
ь Объединенный институт высоких температур Российской академии наук 125412, Москва, Россия
€ Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
119992, Москва, Россия
Поступила в редакцию 11 ноября 2011 1".
Рассмотрена задача о движении броуновской частицы в периодически сужающейся трубке, обусловленном периодически меняющейся со временем продольной силой, в среднем равной нулю. Показано, что под действием этой силы частица дрейфует в направлении, обратном приложенной к ней постоянной силе нагрузки. При большой амплитуде движущей силы, когда обсуждаемый эффект максимален, получены аналитические решения для скорости дрейфа, силы остановки (величины нагрузки, приводящей к исчезновению эффекта) и эффективности преобразования энергии вносимых возмущений в направленное движение. В области своей применимости, простирающейся от нуля до асимптотически больших частот переключения силы (пропорциональных амплитуде движущей силы), эти решения находятся в хорошем согласии с результатами компьютерного моделирования, выполненного методом броуновской динамики.
1. введение
Обычно считается, что дрейф частиц обусловлен направленным действием либо стационарных макроскопических сил, либо градиентов температуры, химического потенциала и т. п. Сравнительно недавно на примере ряда явлений обнаружено, что происхождение дрейфа может быть и совершенно иным: в пространственно-периодических системах с нарушенной зеркальной симметрией направленное движение может возникать в результате регулярно или случайно повторяемых неравновесных возмущений (ratchet effect). Под неравновесными возмущениями понимаются порождаемые внешним источником процессы, разрушающие равновесие (детальный баланс): химические реакции, в которые вовлечены частицы; фотостимулированные коиформациоипые переходы в них; воздействия случайных или регулярных электрических полей (с нулевым средним) и др. Эти возмущения следует отличать от равновесных флуктуаций (теплового шума), которые иеиз-
E-mail: vuam'fflps.ac.ru
бежны благодаря контакту с окружающей средой, но сами по себе ни к какому дрейфу не приводят в соответствии со вторым началом термодинамики.
Транспорт частиц, индуцируемый флуктуация-ми, впервые обсуждался Смолуховским [1] и Фей-нманом [2] в связи с анализом возможности «выпрямления» броуновского движения. В дальнейшем исследование проводилось в разных направлениях. Так, в физике твердого тела новый класс явлений переноса был детально изучен на примере появления постоянного электрического тока под воздействием высокочастотного электромагнитного поля в средах без центра симметрии (фотогальванический эффект) [3]. В последние годы основной акцент сместился в область механизмов внутриклеточного транспорта для прояснения принципов работы молекулярных белковых моторов и насосов, конвертирующих энергию биохимических реакций в направленное движение [4 7]. Наряду с фундаментальной значимостью эффекта для неравновесной статистической механики интерес к нему обусловлен также потребностью создания устройств, которые, будучи
снабжены энергией, способны совершать контролируемое движение на наноуровно [8,9].
Модели, обеспечивающие направленное движение броуновских частиц в периодическом, асимметричном окружении под действием неравновесных возмущений и теплового шума, получили название броуновских моторов [10]. Существует обширная литература, посвященная разработке и анализу таких моделей (см. работы [9,11 15] и ссылки в них). Наряду со средней скоростью дрейфа каждый мотор характеризуется эффективностью преобразования энергии, вносимой возмущениями, в полезную работу [16 19], например, против силы нагрузки. Различают два основных класса броуновских моторов, свойства которых существенно различны [13,20, 21]: в первом частица реагирует на флуктуации асимметричного окружения (flashing ratchets) [20,22], а во втором она подвержена зависящей от времени (регулярно нлн случайно) сило с пулевым средним (rocking ratchets) [23 26].
Зеркальная (лево-правая) асимметрия в направлении периодичности (наряду с источником неравновесия) является необходимым условием реализации эффекта. Она может быть присуща системе априори благодаря нарушенной симметрии локального окружения, а может быть и привнесена возмущениями. Если зеркальная асимметрия обусловлена асимметрией взаимодействия частицы с окружением, транспорт частицы эффективно описывается в терминах диффузии в одномерном (ID) периодическом, асимметричном потенциале, возмущаемом источником неравновесия. Такая постановка обсуждается в большинстве публикаций [11 14]. Нарушение симметрии может быть обусловлено и чисто геометрическими факторами: периодически расположенными асимметричными рассеивателями [27,28] или пространственными ограничениями, например, в трубках и каналах с периодически меняющимся вдоль длины сечением [25,26,29 31].
Вариация сечения вдоль оси трубки означает, что область доступного для диффундирующей частицы пространства (энтропия частицы) зависит от ее положения. В этих условиях транспорт частицы эффективно описывается в терминах диффузии в периодическом энтропийном потенциале [33,34]. Поскольку описания диффузии и дрейфа под действием постоянной силы в энергетическом [35 37] и энтропийном [38,39] потенциалах формально схожи, обычно полагают [38,39], что движение частицы в этих случаях протекает сходным образом и, более того, аналогичны и характеристики направленного движения, индуцируемого возмущени-
Рис. 1. Трубки с периодически меняющимся по длине сечением, обладающие асимметрией формы: а — периодически сужающаяся трубка; б — трубка с плавно изменяющимся сечением. Обе трубки имеют одинаковый период Ь, наибольший /? и наименьший а радиусы, но разную зависимость радиуса сечения вдоль их оси, Щх). Пунктиром обозначена цилиндрическая трубка радиуса а
ями [24,25,32]. Это действительно так, когда геометрия трубки меняется плавно. Однако, если сечение трубки периодически меняется скачкообразно, аналогия между движением частицы в энергетическом 1£)-потснциале и трубке переменного сечения разрушается, поскольку определяющую роль играет диффузионная релаксация в поперечном направлении [40 44]. В этом случае, как показано в данной работе, механизм выпрямления за счет асимметрии энтропийного потенциала оказывается особенно эффективным.
В качестве броуновского мотора рассмотрена частица, движущаяся в периодически сужающейся трубке (рис. 1а) под действием периодически меняющейся со временем силы и постоянной силы нагрузки С^, направленных вдоль оси трубки. Геометрия трубки характеризуется ее периодом Ь, а также наибольшим Я и наименьшим а радиусами. Переменная сила принимает два значения, Г и —Г, мгновенно сменяющих друг друга через время т, так что ее среднее значение за период 2т равно нулю. Интерес представляют большие времена, когда смещение частицы значительно превышает период Ь и характеристики транспорта выходят на стационарные значения. Задача состоит в том, чтобы при заданных параметрах, определяющих геометрию трубки и внешнее воздействие, найти основные характеристики мотора: эффективную скорость дрейфа с(/•". т. (}). так называемую силу остановки
(stopping force) Qg, под которой понимается величина нагрузки, приводящая к исчезновению эффекта, v(F,t,Qg) = 0, и эффективность преобразования энергии, вносимой возмущениями, в направленное движение. Упрощенная версия модели, в которой отсутствует сила нагрузки, была недавно рассмотрена в кратком сообщении [45].
Привлекательность предложенной модели (рис. 1а) в ее простоте, необычных свойствах, эффективности, а также в возможности получить аналитические решения. Как показано ниже, несмотря на действие силы Q, постоянно направленной налево, частица (при Q < Qs) движется направо под влиянием в среднем ненаправленной силы F(t), поскольку в нелинейном по F режиме эффективная подвижность частицы в разных направлениях существенно различна. В отличие от других моделей, где асимметрия подвижности ведет себя немонотонно с ростом амплитуды возмущения F, обращаясь в нуль не только при малых, но и при больших значениях F, здесь она монотонно нарастает, принимая наибольшее значение при F —¥ ос. Наш анализ сфокусирован на больших значениях F, при которых эффект максимален, а эффективная скорость дрейфа и сила остановки неограниченно растут с ростом F. Найденное решение для v(F.t.Q) при F —¥ ос показывает, как, по мере роста частоты переключений и силы нагрузки, скорость дрейфа убывает от наибольшего значения при адиабатически медленном переключении (т —¥ ос) и нулевой нагрузке (Q = 0) до нуля при больших частотах (т —¥ 0) и нагрузке, близкой к силе остановки (Q —¥ Qg). Оно прекрасно согласуется с результатами компьютерного моделирования методом броуновской динамики. Это решение также позволило найти энергетические характеристики мотора в зависимости от силы нагрузки и выяснить условия, обеспечивающие его высокую эффективность. Подчеркнем, что до сих пор аналитические результаты для броуновских моторов (как в энергетической, так и в энтропийной постановке) удавалось получить лишь в адиабатическом пределе, а учет конечности времени переключения осуществлялся лишь численными методами.
В следующем разделе обсуждается броуновское движение под действием постоянной силы в трубках с периодически меняющимся сечением. Особое внимание обращается на то, что зависимость эффективной подвижности частицы от движущей силы в трубках различной геометрии оказывается качественно разной. Основные результаты статьи пред-
ставлены в разд. 3 и 4. На основе фактов, приведенных в разд. 2, в разд. 3 предложена и проанализирована модель броуновского мотора (рис. 1а). Главный результат этого раздела аналитическое выражение для скорости мотора как функции параметров, определяющих геометрию модели и внешнее воздействие, включая силу нагрузки. Раздел 4 посвящен обсужде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.