МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2013
УДК 539.374
© 2013 г. С. Е. АЛЕКСАНДРОВ, Р. В. ГОЛЬДШТЕЙН
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ СО СВОБОДНЫМИ ТОРЦАМИ. I. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
Получено общее решение для напряженно-деформированного состояния в упруго-пластической трубе, торцы которой свободны от напряжений. Труба подвержена действию внутреннего и внешнего давлений, которые могут достаточно произвольно изменяться во времени. Однако предполагается, что радиус упругопластической границы не уменьшается в течение всего процесса деформирования. Материал трубы подчиняется условию текучести, зависящему от среднего напряжения. Соответствующая поверхность текучести имеет вид конуса в пространстве главных напряжений. Используется теория пластического течения. Пластический потенциал принимается в виде условия Мизеса. Таким образом, ассоциированный закон пластического течения не выполняется, а материал является пластически несжимаемым. Численные методы требуются только для последовательного решения нескольких трансцендентных уравнений и вычисления обыкновенных интегралов.
Ключевые слова: цилиндрическая труба, упругопластическое деформирование, условие текучести, среднее напряжение.
1. Введение. Определение напряженно-деформированного состояния в трубе, нагруженной внутренним и внешним давлением, является классической задачей механики деформируемого твердого тела. В упругопластической постановке решение этой краевой задачи приводится и обсуждается в большинстве монографий по теории пластичности, например, [1—4]. Сложность ее решения существенно зависит от условий на торцах трубы. Обычно рассматриваются три типа условий на торцах: (а) торцы, свободные от напряжений, (Ь) закрытая труба (при этом осевое усилие задано), (с) плоско-деформированное состояние. В [5] показано, что при применении условия Треска и ассоциированного закона течения решение краевой задачи может быть записано в квадратурах для произвольного закона упрочнения, если принимаются условия типа (с). Наиболее полное исследование напряженно-деформированного состояния в трубе с учетом условий типа (а) и деформационного упрочнения выполнено в [6]. Решение, однако, предполагает применение численных методов. В публикуемой работе также рассмаривается труба при выполнении условий типа (а). Основное отличие от работ [1—6], в которых принимаются условия текучести Мизеса или Треска, состоит в использовании условия текучести [7], которое зависит от среднего напряжения. Хотя это условие было предложено для грунтов, экспериментальные исследования показывают, что оно удовлетворительно описывает переход в пластичность некоторых металлических материалов [8—11]. Обзор определяющих уравнений для пластических моделей с условием текучести, зависящим от среднего напряжения, приведен в [12]. В этой работе отмечается, что экспериментальные данные подтверждают коаксиальность
3* 67
Фиг. 1
тензоров напряжений и скоростей деформаций. С другой стороны, эксперименты, выполненные в [8, 9], показывают, что для металлов условие пластической несжимаемости выполняется с очень высокой точностью. Эти две гипотезы охватывает модель среды, предложенная А.Ю. Ишлинским [13]. В связи с этим данная модель принимается в настоящем исследовании. Деформационное упрочнение не учитывается, что для многих металлов вполне допустимо при монотонном нагружении и малых деформациях [14]. Этот вывод, в частности, подтверждается при исследовании напряженно-деформированного состояния в пространстве с цилиндрической полостью [15]. Модель [13] использовалась в [16] для определения влияния зависимости условия текучести от среднего напряжения на распределение остаточных напряжений и деформаций в трубе. В этой работе, однако, принималось предположение о несжимаемости материала в условиях плоско-деформированного состояния, что значительно упрощает решение.
2. Постановка краевой задачи. Рассматривается труба внутреннего радиуса а0 и внешнего радиуса Ь0, подверженная действию внутреннего давления р0 > 0 и внешнего давления > 0 (фиг. 1). Торцы трубы свободны от напряжений. Длина трубы предполагается достаточно большой, чтобы пренебречь изменением напряженно-деформированного состояния вдоль оси трубы. Решение строится в цилиндрической системе координат (г, 9, г), ось z которой совпадает с осью симметрии трубы. Из симметрии краевой задачи следует, что нормальные напряжения в этой системе координат, которые обозначим аг, ае и а г, являются главными напряжениями. Так как торцы трубы свободны от напряжений, то предполагается, что а г = 0. Деформации считаются малыми. Условие текучести принимается в виде [7]:
ао + оед =00 (2.1)
Здесь а — среднее напряжение, стеч — эквивалентное напряжение, а и ст0 — постоянные материала. В рассматриваемом случае среднее и эквивалентное напряжения определяются как
о = о г + о е 3 !
^|(ог - о)2 + (ое - о)2 + о2]1/2 (2.2)
Краевые условия для напряжений имеют вид
С-/С 0 =-Ч, Р = 1 (2-3)
ог/ с 0 = -р, Р = а (2.4)
Здесь р = г/Ь0, а = а0/Ь0, р = р0/а0 и д = до/с0. Связь между скоростями пластических деформаций и напряжениями, следующая из модели [13], представляется в форме
$р = к(Сг -о), = Х(с0 -о), $р =-ко (2.5)
где X > 0. Таким образом, ассоциированный закон пластического течения не выполняется. В частности, из (2.2) и (2.5) следует пластическая несжимаемость материала:
Ер + Ед + Е р = 0, в то время как при применении ассоциированного закона течения к (2.1) получается ненулевая объемная пластическая скорость деформации из-за присутствия в этом уравнении среднего напряжения. Исключая X из уравнений системы (2.5), найдем
5р = ¡0 ^^, 5р = -¡07—С—7 (2.6)
(о0 - с) (о0 - с)
Неравенство X > 0 выполняется, если среднее напряжение и Е,р имеют разные знаки. Полные скорости деформации определяются соотношениями
$ г = $ р + %, $ 9 = $ р + $9, $ е = $ р + £ (2.7)
Здесь ^, ^д и Е, е — упругие составляющие полных скоростей деформации. Так как деформации считаются малыми, то Е,е = <Эее/дг, = 5е0/дг и Е,ее = 5едг, где ¿е, £0 и еее — упругие составляющие полных деформаций, t — время. В рассматриваемом случае закон Гука сводится к соотношениям
Е£е = сг Е£0 = а0 -var, Е=-V (<тг + с0) (2.8)
Здесь E — модуль Юнга и V — коэффициент Пуассона. Единственное нетривиальное уравнение равновесия имеет вид
дат + Ог -ав = 0 (2.9)
8р р
3. Упругое решение и возникновение пластической зоны. При отсутствии пластических деформаций упругие деформации в (2.8) должны быть заменены полными деформациями ег, £ 0 и е е. В этом случае общее решение уравнений (2.8) и (2.9) имеет форму
с г М) = А + Вр-2, о 0/00 = А - Вр ~2, е г /к = В (1 + v)р-2 + А (1 -V) £0/к = -В (1 + V) р-2 + А (1 -V), е е / к = -2Av
Здесь A и B — постоянные интегрирования и к = а0 /Е. Если вся труба находится в упругом состоянии, то A и B определяются из краевых условий (2.3) и (2.4) как
A = Aе =
2
pa - q -
1 - a
B = Ве =
(q - p)a
1 2
1 - a
(3.2)
Подставляя (3.2) в (3.1) и, затем, полученное распределение напряжений в (2.1), непосредственными вычислениями можно убедиться, что производная по р от левой части уравнения (2.1) всегда отрицательна при р ^ д. Следовательно, пластическая зона начинает развиваться от поверхности р = а. Пусть ре и де — значения р и д в момент возникновения пластической зоны, соответственно. Соотношение между этими величинами получается из (2.1), (3.1) и (3.2) в форме
3(1 - а2) = 2а(а2ре - д.) + 3[(3 + а4)р2е - 2(3 + а2)Реде + 4д?]1/2 Введем параметры Те и уе соотношениями
Ре =
2T± л/3
2Ч2"
1 - (3 + А )
. 4(3 + a 4)_
1/2 2 . Te(3 + a2) smyе -т^г cos Yе
V3(3 + aУ'2
qe =
(3 + a We л/3
cosy е
(3.3)
(3.4)
Отметим, что выражение под знаком квадратного корня положительно при 0 < а < 1. Подставляя (3.4) в (3.3), найдем
T =
-L О
3(3 + a4)1'2
2a(a2sinyе - V3cosyе) + 3(3 + a4)^2
(3.5)
При р = а в момент возникновения пластической зоны выражение (3.1) для сд преобразуется с помощью (3.2) и (3.4) к виду
£е = Te О) (3 + a4)1'2
_2ч.:._.. (3 - a )
(1 + a )sinye - -
s
COsYe
(3.6)
Так как д > 0, то из (3.4) следует, что - л/2 < уе < л/2. Предположим, что ут — корень уравнения ре (уе) = 0 в этом интервале. Так как р > 0, то интервал возможного изменения величины уе имеет вид
Y m ^ Y е ^ П 2
(3.7)
Из (3.4) следует, что ут зависит от а, но не зависит от а. Зависимость ут от а показана на фиг. 2 (сплошная линия). Видно, что величина ут действительно лежит в интервале -л/2 < ут < п/2. Предположим, что величина сд, введенная в (3.6), обращается в нуль при некотором значении у е = у ст, лежащем внутри интервала (3.7). Зависимость ус от а, полученная из численного решения соответствующего уравнения, также показана на фиг. 2 (штриховая линия). Видно, что величина ус действительно лежит внутри интервала (3.7). Можно проверить непосредственной подстановкой, что сд > 0 при
У е > У а и Сд < 0 при у е < у ст.
4. Упругопластическое решение для напряжений. В рассматриваемом случае условие текучести (2.1) удовлетворяется подстановкой [17]:
2 2 ar/gc = 3рс + в1 sin у + 3p1 cos у, с0/ас = 3рс - в1 sin у + 3p1 cos у
(4.1)
Здесь ^ — новая неизвестная функция t и р. Кроме того, р0 = 2а(4а2 - 9) 1 и
Pi = л/3(9 - 4а2) Пусть уa — величина у при р = a, а уe — величина уa при p = pe и q = qe. Тогда, из (2.4), (3.4) и (4.1) следует, что
-|1/2 Т Ъ+ 2
sinye - Je(3 + a ■),2 cosye = 3Po + P^inye + 3P2COSye (4.2)
V3(3 + a 4)1/2
2Te ~J3
2,2
1 - (3 + a2) . 4(3 + a4).
-P = 3Po + P1 Sin ^a + 3Pi COS ^a
(4.3)
Уравнение (4.3) имеет силу при р > ре. Из уравнения (4.2) с учетом (3.5) определяется зависимость уе от уе. Для нахождения единственного решения необходимо сопоставить значения напряжения а д, вычисленные из (3.6) и из (4.1) при у = у е. Подстановка (4.1) в (2.9) дает
, -„ . чдш 2sinw „ (cos у - 3p1 sin yj +--— = 0
дР Р
(4.4)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее краевому условию у = уа при р = а имеет вид
,1/2
(sin V a
р = a I-—
^ sin V
exp
P1 (V-Va )
(4.5)
Зависимость у от времени полностью определяется зависимостью уа от времени. Пусть у с — величина у на упругопла
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.