ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН, Том 1, №4, 2005, стр. 9-13
МЕХАНИКА
УДК 539.3
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ФАКТОРОВ
© 2005 г. академик В.И. Колесников1, В.В. Бардушкин2, А.П. Сычев3, В.Б. Яковлев1
Решается задача нахождения напряжений на границах макрообъема двухкомпонентного не-текстурированного матричного композита от значений локальных напряжений. Предполагается, что локальные напряжения вызваны термическим расширением элементов неоднородности (включений) и матрицы. Рассмотрен случай "мягкая матрица - жесткие включения". Методом обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей получены расчетные соотношения для определения макронапряжений и проведены модельные вычисления для нетекстури-рованных матричных композитов.
В промышленности и на транспорте широкое применение находят двухкомпонентные нетек-стурированные композитные материалы, т.е. матричные композиты с включениями, форма которых близка к сферической. Их компоненты обычно состоят из материалов, имеющих различные физико-механические характеристики. Подобные композиты используются, например, в качестве электроизоляционных и вспомогательных материалов в микроэлектронике (корпуса интегральных микросхем) и функциональной электронике (в пьезотехнике). Широкое применение двухкомпонентные нетекстуриро-ванные композиты находят в узлах трибосопря-жений, где в качестве твёрдых наполнителей, используемых для модификации свойств матрицы, применяются порошкообразные наполнители (например, тальк, графит, двухсернистый молибден, окись титана, полевой шпат) [1]. Одним из актуальных вопросов проектирования неоднородных материалов является исследование локальных напряжений при внешних воздействиях различного вида. Однако не меньший интерес представляет и обратная задача - нахождение результирующего влияния (напряжений на границах макрообъема материала) от значений локальных напряжений, обусловленных изменениями объемов элементов неоднородности (вклю-
1 Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону.
2 Московский институт электронной техники, г. Зеленоград
3 Южный научный центр РАН, г. Ростов-на-Дону
чений). Эти изменения могут быть вызваны различными факторами, например, термодинамическими. Решению именно этой проблемы посвящена данная работа.
Будем считать, что в рассматриваемом нетек-стурированном матричном композите материал матрицы и материал включений изотропны. В большинстве случаев положение включений в объеме матрицы случайно, однако в целом материал является статистически однородным. Таким образом, выполняется гипотеза эргодичности, а значит, можно выделить некоторый усредненный объем, который можно назвать элементарным, где находится одно сферическое включение. Кроме того, статистическая однородность двухкомпонентного нетекстурированного композита приводит к наличию среднего расстояния между включениями, которое можно связать с их концентрацией. Рассмотрим в качестве элементарного элемента объема куб с отдельным включением, расположенным в его центре (рис. 1). Тогда среднее расстояние между включениями находится из рассмотрения двух соседних элементарных объемов. Пусть отдельное включение занимает объем куба 1 = 2(/г + /?) с гранью, тогда объем элементарной ячейки будет
V = /3 = 9(/г + /?)3, а объем включения
4 ,
= — л;/? . Считая, что концентрация включе-У
ний ув = (здесь и в дальнейшем индекс "в" обозначает величины, относящиеся к включе-
Лш
Р-'-Щш
г/
Рис. 1. Микроструктура двухкомпонентного нетекстуриро-ванного композита
нию, а "м" - к матрице), получим
л/ /г)'3 V. =— 1 + — .
в 61 я)
/г
Отсюда параметр ~ > характеризующий мик-К
роструктуру композита, может быть выражен через концентрацию включений в виде
/г I л — = з--1.
Я
Очевидно, что максимально возможное значение концентрации включений будет в случае,
Н л
когда — = 0, что соответствует = — = 0,52. Я 6
Минимальное значение концентрации включе-
й
ний характеризует случай, когда — -»■ оо, откуда
К
ув -» 0. Данный диапазон концентрации включений соответствует границам применимости методов расчета свойств двухкомпонентных нетек-стурированных композитов.
Согласно теории механики неоднородных сред, тензоры напряжений о и модулей упругости с являются случайными функциями координат и могут быть представлены в виде суммы средних значений и флуктуаций [2-4]. Локальные напряжения, в предположении линейной зависимости флуктуаций от средних значений напряжений на границе макрообъема материала, можно охарактеризовать безразмерным оператором концентраций напряжений [5-7]. Этот оператор является тензором четвертого ранга и представляет собой отношение локального напряжения к его среднему значению на границе макрообъема (здесь и в дальнейшем по тексту г - радиус-вектор случайной точки среды)
Угловые скобки в выражении (1) обозначают, в силу выполнения гипотезы эргодичности, усреднение по объему материала [2, 3]. При данных предположениях оператор концентраций напряжений зависит только от материальных параметров среды и микроструктуры материала, а не от прикладываемых нагрузок. При этом для матричного композита, содержащего изотропные включения и матрицу, операция усреднения сводится (для некоторой случайной величины а(г)) к суммированию
(а(г)) = ував + умам,
где Ув+Ум = 1.
Для реальных неоднородных сред оператор описывает связь между приложенным
К^(г) = аы(г)-<а,(г)>"1
(1)
внешним и внутренним аы(г) напряже-
ниями. Очевидно, что Кщ(т), является невырожденным. Значит, можно с помощью тензора, обратного Кщ(т), произвести расчет внешнего
напряженного состояния матричного композиционного материала при изменении локальных напряжений.
Для приближений, учитывающих взаимодействие включений, оператор концентраций напряжений можно получить, решая систему стохастических дифференциальных уравнений второго порядка (уравнений равновесия) [5, 6]
где Ц(г) = УкСук1(г)У1 - дифференциальный оператор, а /¡(г) и иДг) - компоненты вектора
объемных сил и вектора смещения.
При использовании метода функций Грина с помощью обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей и специально вводимого однородного тела сравнения [2] получается выражение для оператора концентраций напряжений (здесь и в дальнейшем, где это возможно, индексы для удобства будут опускаться)
К°( г) = с(г)(/- 8с"(г)У1(с(г)(1 - 8с"(г)Г1}'\{2)
где I - единичный тензор четвертого ранга, двойным штрихом обозначена разность между величинами неоднородной среды и однородного тела сравнения, а тензор # - интеграл от сингулярной составляющей тензора Грина уравнений равновесия. Физический смысл такого приближения заключается в предположении однородности полей напряжений и деформаций только в пределах
неоднородности. Соотношение (2) учитывает взаимодействие включений и матрицы.
Рассмотрим материал, в котором упругие модули матрицы меньше аналогичных модулей включений (случай "мягкая матрица - жесткие включения"). Тогда в качестве параметров тела сравнения необходимо выбрать упругие модули матрицы [3]. Таким образом, в выражении (2)
с"(г)-с(г)-с„,
причем с"(г) = св-см во включении, с"(г) = 0 в матрице.
Очевидно, что для изотропных компонент композита тензор модулей упругости и тензор g также будут изотропными. При этом их можно представить в виде линейной комбинации [2]
с(г) = ЗВДУ + 2ц(г)0, 8 = 38кУ + 28^. (3)
Здесь К(г) = Ки, ц(г) = если расчеты проводятся в матрице (тогда для тензора с(г) в (3) имеем см = 3КМУ + 2^)); ВД = Кв, ц(г) = цв, если расчеты проводятся во включении (тогда в (3) для с(г) имеем св = 3КВУ + 2|хвО); Км, Кв - объемные модули упругости матрицы и включений; цв - сдвиговые модули упругости мат-
1
рицы и включении; 8 =--,
3(3^м+4цм)
о =--+6цм- Тензоры V VIЭ представ-
^ 10МЗ*м+4цм)
ляют соответственно объемную и девиаторную составляющие разложения тензора четвертого ранга I
КуИ = 2 АуИ = А/И ~~
где Ьц - символ Кронекера (тензор второго ранга). При этом Ут = У1]тпУтМ,
А/И ~ Щтп^тпЫ'
Отметим, что для тензора четвертого ранга, представленного в виде а = (ЗУ + уО, где р * О, у * 0, очевидно, выполняется равенство
Поэтому после совершения
Р У
преобразований окончательное выражение для оператора концентраций напряжений в наиболее удобном виде примет вид
АГ°(г)=
(\-98к{Кв-Км))К{г)__
М/тл АппИ ~ О
Тогда, с учетом (3), для оператора концентраций напряжений в выражении (2) получим:
Ка(г) = (ЗВДУ + 2^(г)£>)(/ - (38кУ + 2^£>) х х (ЗЯ"'(г)У + 2|х"(г)^))_1((ЗЛ:(г)У + 2ц(г)£>) х
х (/ - (38кУ + 2^Д)(ЗА"'(г)У + 2и"(г)£»))-')"',
где К"(г) = Кв-Ки, ц"(г) = ив-^м при расчетах во включении, ЛГ"(г) = 0,? ц"(г) = 0 при расчетах в матрице.
(1 - 98кК"(г))(увКв + умКм( 1 - 98к(Кв - Км)))
XV +
Тогда, в силу невырожденности Ка, получим (К°(г)Г' =
(1 - 98кК"ЩувКв+У„Км(\-98к(Кв-Км))) ^
(1-9 8к{Кк-К„))К{г) (1 - цм))и(г)
XV +-----и.
(4)
При расчетах во включении, обозначив (ЛГа(г))-1 = (Кв)~1, выражение (4) примет вид
(О"' - (V, + ум - 98к(Кв - *„))) • V +
I Ц. ) (5)
Если расчеты проводятся в матрице, т.е. (К°(г)Г' = «Г1, то в (4) получим
(КГ1 = + V, - 98к(Кв - Ки)У^ ■ V +
V ^м / (б)
Рассмотрим в качестве условия, приводящего к изменению напряженного состояния неоднородного материала, фактор температурного расширения элементов неоднородности и матрицы. В этом случае локальные значения напряжений будут иметь вид
аи(г)-сщ(г)а&.(г)АГ. (у)
Здесь «у (г) - компоненты тензора температур-
сг, ГПа ОД
0,06
ОД 0,2 0,3 0,4 а
0,2 0,15 ОД 0,05 О
О
ОД 0,2 0,3 0,4 0,5
Рис. 2. Зависимость напряжений на границе материала от концентрации включений:
а) модельный композит № 1 (1 - ДГ = 10; 2 - ДГ = 20; 3 - ДГ = 40); б) модельный композит № 2 (1 - ДГ = 10; 2 - ДГ = 20; 3 - АТ = 40); в) модельный композит № 3 (1 - ДГ = 10; 2 - ДГ = 20; 3 - ДГ = 40); г) при ДГ = 40 (1 - модельный композит № 1; 2 — модельный композит № 2; 3 - модельный композит № 3)
ного расширения, АТ- изменение температуры. Для нетекстурированного композиционного материала с изотропными компонентами
а,7(г) = й(г)6у,
где а(г) - темпера
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.