МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. В. В. ВАСИЛЬЕВ, Л. В. ФЕДОРОВ
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГОГО ШАРА
В СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Рассматривается сферически симметричная задача статики общей теории относительности (ОТО), решение которой было получено в 1916 году К. Шварцшильдом для метрической формы частного вида. Это решение определяет метрические коэффициенты внешнего и внутреннего Римано-ва пространства, порождаемого гравитирующим сплошным шаром с постоянной плотностью, и включает так называемый гравитационный радиус rg. Для шара с наружным радиусом R = rg метрические коэффициенты оказываются сингулярными, в связи с чем радиус rg традиционно считается радиусом горизонта событий объекта, называемого Черной Дырой. Решение внутренней задачи, полученное для несжимаемой идеальной жидкости, показывает, что давление в центре шара неограниченно возрастает при R = 9/8rg, что традиционно используется для физического обоснования существования Черных Дыр. Представленное в статье обсуждение традиционного решения К. Шварцшильда показывает, что оно нуждается в обобщении как в отношении геометрии Риманова пространства, так и в отношении модели упругой среды. В связи с этим рассматривается общая метрическая форма сферически симметричного Риманова пространства и доказывается, что решение соответствующей задачи статики существует для целого класса метрических форм. Из этого класса выделяется частная метрическая форма, основанная на предположении о том, что гравитация, порождая Риманово пространство внутри жидкого или упругого шара, не изменяет массу шара. Решение, полученное для частной метрической формы, не является сингулярным как в отношении метрических коэффициентов, так и в отношении давления в жидком шаре и напряжений в упругом шаре. Представлено сравнение полученного решения с традиционным решением К. Шварцшильда.
Ключевые слова: сферически симметричное твердое тело, статика, гравитация, сингулярное решение.
1. Введение. Рассмотрим классическое решение К. Шварцшильда задачи статики общей теории относительности (ОТО) для шара, основанное на следующей метрической форме [1]:
ds2 = g2dr2 + r2(d02 + sin2 ф^ф2) - h2c2dt2 (1.1)
Здесь r, 0 и ф — сферические координаты, t — время, c — скорость света, g (r) и h\r) -коэффициенты метрического тензора. Метрическая форма (1.1) описывает геометрию Риманова пространства, порождаемого гравитацией, как внутри шара, так и вне его.
Материальные свойства пространства определяются тензором энергии-импульса T¡,
компоненты которого для внешнего пустого пространства тождественно равны нулю, а для внутреннего пространства, занятого материалом с плотностью ^, имеют вид (используются смешанные компоненты, тензора, совпадающие для рассматриваемой задачи с физическими компонентами) [1, 2]:
т1 = аг, Т^ = Тз3 = с е, Т44 = цс2 (1.2)
где стг и с0 — радиальные и кольцевые напряжения, возникающие в шаре под действием гравитации. Внутри шара тензор Т/ должен удовлетворять следующему уравнению сохранения тензора энергии-импульса [1]:
(Т1)' -2 (Т2 - Т11) + к (Т1 - Т44) = 0 (1.3)
г к
где (•)' = £()/£г. Согласно основной идее ОТО, уравнение (1.3) удовлетворяется тождественно, если выразить тензор Т/ через тензор Эйнштейна Е/
ХТ1 = Е1 =- -1 + "V) + Л (1.4)
2 2 ( гк г 2 ) г 2
>+1Гп: - ¿1-§Щ (1.5)
к г I к 2) як
ХТ22 = хТз3 = Е22 = -Д
ХТ44 = Е44 =- ± [Л - Щ + 4 (1.6)
2 I г2 гя ) г2 В эти равенства входит гравитационная постоянная ОТО
X = 8я О / с4 (1.7)
которая выражается через классическую гравитационную постоянную О. Поскольку подстановка выражений (1.4)—(1.6) в уравнение (1.3) тождественно удовлетворяет это уравнение, только три из четырех уравнений (1.3)—(1.6) являются взаимно независимыми. Традиционно [1], используются три наиболее простые уравнения системы (1.3)—(1.6) т.е. уравнения (1.3), (1.4) и (1.6). Оставшееся уравнение (1.5) удовлетворяется при этом автоматически. Подставляя равенства (1.2) в уравнения (1.3), (1.4) и (1.6), получим
о г - 2(о 0 -о г) + к- (а г -цс2) = 0 (1.8)
г к
_ 1 2к +1)
-2 гя ^ к + г ]
£ / г
' г2 £г г V 2 2
2
(1.9)
(1.10)
Граничные условия для напряжений формулируются в центре шара (г = 0) и на его поверхности (г = Я), т.е.
о г (0) = се(0), Ог (Я) = 0 (1.11)
К этим условиям необходимо добавить условие регулярности решения в центре шара г = 0, условия непрерывности коэффициентов метрического тензора на поверхности
г
шара г = Я и асимптотические условия для этих коэффициентов при г да. Уравнения (1.9), (1.10) и соответствующие граничные условия определяют метрические коэффициенты Риманова пространства внутри и вне шара.
Рассмотрим внешнее пустое пространство (Я < г < ж), для которого ц = 0 и <зг = сте = 0. В этом случае уравнения (1.9) и (1.10) упрощаются следующим образом:
г = - D, d'
he r dr
r--r- | = 0 (1.12)
Здесь индекс e соответствует внешнему полю. Интегрируя уравнения (1.12), получим =, 1 , , ^ = с2 (1 + (1.13)
1 + Q/г
Для определения постоянных Cl и C2 необходимо использовать асимптотические условия, согласно которым при r да решение (1.13) должно сводиться к известному решению, соответствующему гравитационной теории Ньютона [3] и зависящему от массы шара m через гравитационный потенциал фе:
ё2е = 1 - ^. ¿2 = 1 + ^, фе =- Gm (1.14)
c c r
В результате, равенства (1.13) принимают вид
g2 , he = 1 -^ (1-15)
1 - rg/r r
rg = Imo/c2 (1.16)
является гравитационным радиусом (радиусом Шварцшильда). Как следует из первого равенства (1.15), радиальный метрический коэффициент стремится к бесконечности если минимальный радиус внешнего пространства r = R приближается к радиусу rg, который называется радиусом горизонта событий Черной Дыры. При rg = 0 равенства (1.15) определяют метрику Евклидова пространства, для которого ge = h е = 1.
Рассмотрим внутреннее пространство, для которого ^ = const. В результате интегрирования уравнения (1.10) имеем
g« =-TL~2--(1.17)
1 - (Хцс2/3)r2 + C3/r
где индекс i соответствует внутреннему полю. Используя традиционное условие регулярности решения в центре шара, можно заключить, что C3 = 0. Теперь необходимо удовлетворить условие непрерывности радиального метрического коэффициента на поверхности шара, согласно которому ge(R) = gt (R). Используя равенства (1.15) и (1.17), получим следующее соотношение:
X ЦС 2 R3 = rg (1.18)
В результате, равенство (1.17) принимает следующую окончательную форму:
g«2 =-(1.19)
1 - rgr2 /R3
Отсюда следует, что на поверхности шара г = Я радиальный метрический коэффициент оказывается сингулярным если радиус шара достигает г. При = 0 пространство внутри шара является Евклидовым.
Соотношение (1.18) можно использовать для определения массы шара. Действительно, подставляя в него х и из равенств (1.7) и (1.16), найдем
т = (4 /3)яцЯ3 (1.20)
Равенство (1.20) соответствует Евклидову пространству.
2. Анализ решения К. Шварцшильда. Рассмотрим некоторые особенности описанного выше классического решения.
Во-первых, остановимся на уравнении (1.16), определяющем гравитационный радиус гг Это выражение было впервые получено Мичелом в 1783 году и Лапласом в 1796 году [4] из формулы для второй космической скорости для шара с массой т и радиусом Я, т.е. ие
Принимая ие = с, получим Я = гя, т.е. — это радиус шара, при котором вторая космическая скорость оказывается равной скорости света. Таким образом, один из основных параметров в решении ОТО — гравитационный радиус фактически следует из гравитационной теории Ньютона и корпускулярной теории света, что представляется не вполне естественным.
Во-вторых, как следует из равенства (1.20), масса шара в решении К. Шварцшильда соответствует Евклидову пространству. Однако в ОТО пространство внутри шара является Римановым и его радиальный метрический коэффициент определяется равенством (1.19). В этом случае имеет место следующее выражение для массы шара:
2п п/2 Я / \
т = 2ц | С9 | зт ф!ф|ЯГ 2йг = ^ цЯ3 -1=8т 1 1 - Г
(2.1)
0 0 0 г \\ г у
где Т& = г/Я. Разлагая правую часть равенства (2.1) в степенной ряд, получим
т = 4/3лцЯ3Я(Г;) (2.2)
Я(Г„) = 1 + — гЯ + 9 Е2 + • • • (2.3)
8 10 8 56 8
Выражение (2.2) совпадает с равенством (1.20) только при = 0, т.е. для Евклидова пространства. В общем случае, как уже отмечалось, необходимо использовать выражение (2.1) для массы. Однако при этом не удовлетворяется равенство (1.18), т.е. не выполняется условие непрерывности радиального метрического коэффициента на поверхности шара яе(Я) = я, (Я), из которого было получено это равенство. Выполнить это условие оказывается возможным если обобщить выражения (1.7) и (1.16) для гравитационной постоянной и радиуса следующим образом [5]:
X* = Щщ), г*= Щи^)
с с
Здесь ) определяется равенством (2.3). Однако в рамках ОТО, т.е. если соотношения (1.7) и (1.16) справедливы, метрический коэффициент, соответствующий решению К. Шварцшильда, непрерывен на поверхности шара, масса которого соответствует Евклидову пространству, что противоречит основной идее ОТО.
И наконец, рассмотрим механическую природу сингулярности, которая возникает на поверхности шара радиуса Я, если он оказывается равным гг Преобразуем уравне-
ние (1.8), подставив в него Н' /Н из уравнения (1.9) и х — из равенства (1.18). В результате получим следующее уравнение для напряжений:
ТЪ\ - 2(о0 - о)--(1 - 35, )(1 - о г) = 0 (2.4)
2(1 - г&г )
а г = , а 0 = ^, г = 7, 7^ = (•)' = й()/дг (2.5) цс цс К К
Предположим, что отношения а и Т& малы по сравнению с единицей. Тогда можно пренебречь малыми членами и привести уравнение (2.4) к виду
7а'г - 2(с0 -аг) - 7871 ¡2 = 0 (2.6)
Это уравнение является уравнением равновесия теории упругости для задачи о шаре, нагруженном внутренними гравитационными силами, соответствующими теории гравитации Ньютона [6].
Заметим, что уравнение (2.4) включает два напряжения и для того, чтобы их определить, необходимо еще одно уравнение. Такого уравнения в ОТО нет и это является принципиальным ограничением теории [7], не описывающей гравитацию в твердых телах. Традиционно, задачи ОТО рассматриваются для двух видов сред [1]. К первому виду
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.