ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Том 144, №2 '
август, 2005
V, . :S
- ■ ' • л Ч " «'V- > .*, •
j.«^ ^ и v <i S* -•«?
©2005 г. 1 М.К. Нуччи* : » ^ ' ¡л
НАЙДЕМ ЛИ: СКАЗОЧНО БОГАТЫЙ УЛОВ
В современной литературе некоторые виды уравнений были исследованы с использованием подходов, претендующих на новизну, так как авторы утверждали, что эти уравнения не поддавались точному рассмотрению с использованием известных методов. В дайной работе, однако, показано, что все эти уравнения обладают достаточным количеством точечных симметрий Ли, чтобы сделать их интегрируемыми в квадратурах, если не линеаризовать. Если получен "сказочно богатый улов", а именно, точные методы решения, первые интегралы и даже линеаризация, то непременно будут найдены и симметрии Ли. Анализ групп Ли рассматривался и должен по-прежнему рассматриваться как важнейший неотъемлемый инструмент для любого, кто хочет решить уравнения, имеющие отношения к физике и другим научным областям.
Ключевые слова: анализ групп Ли, последний множитель Якоби, первые интегралы.
. ; ... i V. ■ i . V-J1
1. ВВЕДЕНИЕ
В январе 2001 г. первая премия Уайтмена за выдающийся вклад в историю математики была присуждена Американским математическим обществом Томасу Хоукинсу. В опубликованной по этому случаю заметке [1] читаем, что Томас Хоукинс "... всесторонне осветил историю групп Ли. В частности, он проследил их источники до исследования Ли 1870-х годов по дифференциальным уравнениям... idée fixe, направляющей работу Ли, было развитие теории Галуа дифференциальных уравнений ... книга Хоукинса [2] выдвигает на первый план восхитительное взаимодействие геометрии, анализа, математической физики, алгебры и топологии ... ". Кроме того, Хоукинс установил "природу и степень влияния Якоби на Ли" [3], что заслуживает особого внимания, поскольку в 2004г. исполнилось 200 лет со дня рождения Якоби.
Монументальные работы Ли по группам преобразований [4] и, в частности, по контактным преобразованиям [5], привели его к поставленной цели [6]. Данному предмету и его обобщениям посвящено большое количество книг [7].
* Dipartimento di Matematica е Informática, Université di Perugia, 06123 Perugia, Italy. E-mail: nucci@unipg.it
'F >4' '', ■ F
¡•iH/T-BUfS-ÎRT \.í¿4<û
Í ' . J
- V
Анализ групп Ли действительно является наиболее мощным инструментом для нахождения общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Можно показать, что любой известный метод интегрирования1^ является частным случаем некоторого общего метода, основанного на построении непрерывной группы симметрий, допускаемой данным дифференциальным уравнением, т.е. алгебры симметрий Ли, которая может быть легко выведена посредством прямой, хотя и длинной, процедуры. Так как программы для проведения алгебраических вычислений получают все большее распространение, выполнять интегрирование систем дифференциальных уравнений методом анализа групп Ли становится легче. Основной недостаток метода Ли состоит в том, что он бесполезен в случае систем тг уравнений первого порядка2), поскольку они допускают бесконечное число симметрий, и не существует систематического способа для нахождения даже одномерной алгебры симметрий Ли, отличной от тривиальных групп типа трансляций по времени, допускаемых автономными системами. Можно попытаться построить допустимую тг-мерную разрешимую алгебру симметрий Ли, сконструировав анзац для вида ее генераторов, однако (редко имеющий место) успех такой попытки есть не более чем результат счастливой догадки.
Однако, как было отмечено нами в работе [9], любая система п уравнений первого порядка может быть преобразована в эквивалентную систему, по меньшей мере одно уравнение которой является уравнением второго порядка. В таком случае допустим ал алгебра симметрий Ли уже не является бесконечномерной, и появляется возможность найти нетривиальные симметрии исходной системы. Эта идея была успешно применена в ряде случаев [9]—[12]. В работе [13] мы показали также, что первые интегралы системы могут быть получены с помощью анализа групп Ли, даже если происхождение изучаемой системы не связано с вариационной задачей, т.е. с применением теоремы Нётер [14]. Если рассматривается некоторая система уравнений первого порядка и посредством исключения одной из зависимых переменных получается эквивалентная система, имеющая в своем составе одно уравнение второго порядка, то анализ групп Ли, примененный к этой эквивалентной системе, дает один или несколько первых интегралов исходной системы, которые не содержат исключенную зависимую переменную. Для этого требуется, конечно, чтобы такие первые интегралы существовали. Для того чтобы найти все такие первые интегралы, следует повторять данную процедуру до тех пор, пока остаются зависимые переменные. Первые интегралы соответствуют характерис-
^ Имеются в виду методы, изучаемые в рамках большинства базовых университетских курсов по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Любой неискушенный студент, изучающий естественные или технические науки, знает, что обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка может быть преобразовано в эквивалентную систему из п уравнений первого порядка. Менее известно студентам, но хорошо известно специалистам в области анализа групп Ли драматическое последствие для размерности допустимой алгебры симметрий Ли, к которому приводит это преобразование. Действительно, в то время как максимальная алгебра симметрий Ли, допускаемая одним уравнением п-го порядка, конечна, [8], размерность алгебры симметрий Ли, допускаемой системой п-уравнений первого порядка, является бесконечной.
396
&.)№ Ul m.k. нуччи л-m ь^и" liib'ïi
тикам определяющих уравнений параболического типа, которые строятся методом анализа групп Ли. Такой метод нахождения первых интегралов был использован нами в работах [11]. В настоящей работе мы даем примеры использования анализа групп Ли в связи с последним множителем Якоби (т.е. первыми интегралами) после применения метода редукции. Наша цель состоит в том, чтобы откинуть скрывающую симметрии Ли "сказочную завесу" из точных методов решения, первых интегралов и линеаризации. Если получен такой "сказочно богатый улов", то непременно будут найдены и симметрии Ли. Как прекрасно сказал Ибрагимов [15], "cherchez le groupé'.
Отметим в заключение, что интерактивные (диалоговые) программы вычисления симметрий Ли такие, как указанные в работе [16], подходят для нахождения этих симметрии в наибольшей степени. -ЯСЯП Т ж; <
; х 2. СИММЕТРИИ ЛИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассмотрим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго поряд-ка:
и" = -(а + ßu2)u' + уи- и3. 'Г" • ' .. 'Ч *(1)
Это уравнение называется либо осциллятором Дюффинга-Ван дер Поля [17], либо осциллятором Холмса-Рэнда [18]. Хорошо известно [19], что если а = 4//3, 7 = —3/ß2, то уравнение (1) допускает двумерную алгебру симметрий Ли, порождаемую следующими операторами:
Tl = ]3e2t/ßWdt ~ r2=ôi" (2) Менее известно, что эта.алгебра симметрий Ли является неабелевой и транзитивной, т.е. относится к типу III по классификации Ли. Существуют четыре типа двумерных алгебр симметрий Ли [6], которые могут являться допустимыми для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (табл. 1). Для того чтобы проинтегрировать уравнение (1), нужно преобразовать его к каноническому виду, каковым может быть вид, определенный Ли, так же как и один из нескольких других эквивалентных видов (табл. 2).11 ' '1 ' nm .....- ••• ~ -
-г. ■"^Crî'Q г ■
:) ;•• - Таблица 1. Двумерная алгебра симметрий Ли, ., .. f.
¡п.- i • •, - » реализация и соответствующее уравнение второго порядка.
Тип Структура L 2 Реализация Уравнение
I II III IV [ХьХ2] = 0, XiVX2^0 [ХьХ2] = 0, X!VX2 = 0 [Xi,X2]ïO, X\V Х2 ^ 0 [Х1гХ2]фО, XxWX2 = 0 Y" _ à y _ д - a2 - Щ = = ХЩ Xi = Щ, x2 = Ущ y" = f(y') y" = f(x) y" = Ш) y" = f(x)y'
эые строятся методом ана-в был использован нами в даания анализа групп Ли в ами) после применения ме-рывающую симметрии Ли тегралсв и линеаризации. ) будут найдены и симмет-дгоире".
;) программы вычисления для нахождения этих сим-
ОВАНИЕ
уравнение второго поряд-
•ч*- - (1)
1ан дер Поля [17], либо ос-бсли а = 4/0, 7 = -З//?2, Ти, порождаемую слепую-
(2)
¡абелевой и транзитивной, (т четыре типа двумерных шыми для обыкновенного ля того чтобы проинтегри-кому виду, каковым может их других эквивалентных
V.
эий Ли, юго порядка.
Уравнение
д ду + У1Гу чщ У" = Ну') У" = № у" = У (у') у" = f(x)y'
найдем ли: сказочно богатый улов
Таблица 2. Три эквивалентные реализации алгебры симметрий Ли типа III и соответствующие уравнения второго порядка.
397
Тип III Реализация Уравнение
Illa III6 IIb У" = bf(v') У" = $/(»') У" = У5Щ)
оп ! f' , • .ti чштх отр
Если рассмотреть реализацию IIb, т.е.
д
<4 ñ¡ü'~"'-;U..¡ ■■ о
М Г
- Oí9 ' 9
di' мдГидй'
(3)
с новыми независимой и зависимой переменными *ий, соответственно, то нетрудно вывести, что й = -ие^, I = е~2г/Р, и уравнение (1) превращается в уравнение
ж у у: wjWR.r.
'*Т п.
d2** i^-idü W = 2ß u Tí'
(4)
которое может быть легко проинтегрировано, как показано в работе [17]. В указанной работе была получена "процедура для построения преобразования, которое устраняет зависящую от времени часть из первого интеграла и дает общее решение". Авторы утверждали, что уравнение (1) не может быть проинтегрировано явно. Они использовали свою процедуру, для того чтобы преобразовать уравнение (1) в уравнение (4). Мы уже показали, что этого легко достичь, если следовать методу Ли [6]. В работе [20] показано, что все примеры, приведенные в работе [17], обладают достаточным количеством точечных симметрий Ли и поэтому могут быть проинтегрированы методом Ли.
3. СИММЕТРИИ ЛИ И ПОСЛЕДНИЙ МНОЖИТЕЛЬ ЯКОБИ
Метод последнего множителя Якоби [21] дает средство нахождения интегрирующего множителя для дифференциального уравнения в частных производных
i=l
(5)
или связанной с ним эквивалентной системы Лагранжа
dxi dx2 dxn
и Т"
а i
Ö2
(6)
398
м.к. нуччи
Последний множитель М дается выражением • -
"' в(/,Ш1,Ш2, • • • ,Шп-1) ^ , , ;„ д(х1,х2, ■ ■ -,х
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.