ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН, Том 1, М 3, 2005, стр. 90-94
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 519.95
НЕАДДИТИВНЫЕ МЕРЫ: ПРИЛОЖЕНИЯ К ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ С ВЫСОКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
© 2005 г. А.Н. Каркищенко1, А.Г. Броневич1, А.Е. Лепский1
В статье приводится краткое описание основных понятий теории неаддитивных мер, подходов к построению таких мер и приложений этих мер, связанных с моделированием неопределенности, обработкой и анализом изображений. Статья носит обзорный характер.
Математика второй половины XX столетия подверглась сильному влиянию вычислительной техники, открывшей новые возможности численного решения задач, которые до этого считались неразрешимыми. Так, разработка первых экспертных систем стала одной из причин, стимулировавших развитие нечеткой математики, а распознающие системы дали толчок появлению статистической теории классификации. Особенностью этой новой математики стало рассмотрение нелинейных моделей, которые нашли применение в теории принятия решений, в робастных методах обработки и классификации статистических данных, при моделировании рассуждений. Многие исследователи пришли к выводу, что ограничения классической вероятностной схемы оказываются малопригодными во многих реальных задачах для моделирования неопределенности и возникает необходимость создания новой теории, которая позволяла бы моделировать кроме случайности и другие виды неопределенности, включающие противоречивость, неточность и неполноту имеющейся информации. В этой новой теории предполагается, что вероятности событий можно задавать неточным образом с помощью монотонных функций множества (нечетких, или неаддитивных, мер), определяя таким образом верхние или нижние границы вероятностей событий. При этом нечеткие меры, в отличие от вероятностных мер, в общем случае не обладают свойством аддитивности, а их продолжение на функциональные пространства приводит к построению нелинейных функционалов.
Данная статья дает краткое описание задач теории неаддитивных мер и её приложений, связанных, в частности, с моделированием неопределенности, принятием решений, обработкой и анализом изображений.
1 Таганрогский государственный радиотехнический университет, г. Таганрог.
ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МЕР
Пусть X - конечное пространство и 31 = 2х - конечная алгебра всех подмножеств X. Функция множества р называется неаддитивной (нечеткой) мерой [1, 2], если 1) |J,(0) = 0, ц(Х) = 1; 2) ц(А) < при А с: В. Нечеткая мера V, вычисляемая по правилу v(A) = 1-|J,(A), А е 31, называется двойственной к нечеткой мере |Х. Этот факт обозначается v = —4л. Нечеткие меры являются обобщением классических вероятностных мер, поскольку в общем случае не обладают свойством аддитивности. Это позволяет при моделировании неопределенности задавать вероятности интервальным образом, задавая с помощью нечетких мер верхние или нижние оценки вероятностей. С учетом этого вводятся следующие семейства нечетких мер.
1) Нечеткая мера |j, называется нижней вероятностью [3], если существует вероятностная мера Р, что < Р(А) для всех А е 2Í.
2) Нечеткая мера |1 называется точной нижней вероятностью [3], если для любого В е Sí существует вероятностная мера Р, что |J.(fí) = Р(В) и ц(А) < Р(А) для всех А е 21.
Легко видеть, что нижние вероятности можно использовать при моделировании нижних оценок вероятностей событий, при этом если - нижняя вероятность, то значения нижних границ вероятностей можно уточнить по формуле v(A) = inf Р(А),
А е 21, где "inf' берется по всем вероятностным мерам, мажорирующим (J. сверху. При этом функция множества v является точной нижней вероятностью. С помощью отношения двойственности можно получить семейства нечетких мер, которые дают верхние оценки вероятностей. Нечеткие меры, двойственные к нижним вероятностям, называются верхними вероятностями, а нечеткие меры, которые двойственны к точным ниж-
ним вероятностям, называются точными верхними вероятностями. Важным подклассом точных нижних вероятностей являются 2-монотонные меры [4], которые обладают следующим характеристическим свойством: ц(Л) + \i(B) < \х(А п В) + + [i(A и В) для всех А, В е 21. Можно показать, что любая 2-монотонная мера (1 обладает следующим важным свойством [5]: для любой цепи множеств В{ с В2 с ... с Вт всегда найдется вероятностная мера Р, такая что [i(Bk) = Р(Вк), к = 1,..., т и ц,(А) < < Р(А) для всех А е 21.
Следует подчеркнуть, что существует достаточно развитая теория так называемых неточных вероятностей [3, 5, 6], в которой рассматриваются различные обобщения теории вероятностей, в том числе и интервальные вероятностные модели. При этом основной проблемой является реализуемость таких математических конструкций, как, например, естественное продолжение, использование которого связано с решением систем линейных неравенств большой размерности. К этому следует еще добавить экспоненциальную сложность задания нечетких мер. С учетом этого в настоящее время широкое применение получили модели представления нечетких мер, основанные на мерах возможности (необходимости) [7], разложимых мерах [7], а также искаженных вероятностях [2, 8].
Мера возможности П характеризуется следующим свойством:
П(А и В) = тах(П(А), П(В)), А, В е 2L
Обычно меру возможности задают с помощью функции распределения возможностей л(х) = П({х}), х е X, тогда П(А) = тахл(х), А е 21.
хеА
Разложимые меры. Легко видеть, что при определении как вероятностных, так и возможност-ных мер используется некоторая бинарная коммутативная и ассоциативная операция _L на [0,1], которая в случае вероятностных мер является обычным сложением, а для мер возможности операцией "max". Данная операция должна обладать свойством монотонности a _L b > max {a, b), a, b е е [0,1]. Тогда, задавая значения нечеткой меры на одноэлементных множествах таким образом, чтобы выполнялось условие |J.(x1)_L|J.(x2)J_____Lji(xv) =
= 1, мы можем определить значение |1 для произвольного множества А = {х^ ,...,xim} как
ц(А) = |ы(л:г1 )J_____L|J.(xim). Отсюда видно, что разложимые меры обладают характеристическим свойством: |о,(А uS) = |i(A) _l_ \i(B) при AnB - 0. Частным случаем разложимых мер являются Х-меры Сугено [1,9].
Искаженные вероятности. Пусть ф:[0,1] —> —> [0,1] — монотонно возрастающая функция на [0,1], для которой ф(0) = 0 и ф(1) = 1, Р - вероятностная
мера на 21. Тогда функция множества |1 = фоР называется искаженной вероятностью; при этом если функция ф выпукла вниз [2], то нечеткая мера (X является 2-монотонной.
Развитие данных эффективных способов представления нечетких мер связано с исследованием их алгебраических свойств [10, 11], а также с исследованием их представлений с помощью так называемых агрегирующих функций. Монотонная функция ф:[0,1]" —>[0,1] называется п-агрегирую-щей, если ф(0,..., 0) = 0, ф[1, ...,1] = 1. Тогда можно получать нечеткие меры, используя правило у(А) = ф(|а1(А),...,цл(А)), из порождающих нечетких мер ц.,, ..., |1„. Легко видеть, что указанный способ порождения нечетких мер обобщает для «-мерного случая модель искаженных вероятностей. Кроме того, с помощью агрегирующих функций можно описать алгебраические операции на нечетких мерах, такие как выпуклая сумма, произведение и минимум нечетких мер. Важным естественным требованием для агрегирования нечетких мер является то, что результирующая мера должна принадлежать тому же семейству, что и порождающие нечеткие меры. В частности, если щ,..., |1„ - точные вероятности, то этому же семейству должна принадлежать и мера V. Исследование такого рода можно найти для вероятностных мер [12], мер доверия [13], мер возможности [14], разложимых мер [15], точных нижних вероятностей и 2-монотонных мер [16].
ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МЕР И ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
В настоящее время многие исследователи пытаются построить общую теорию неопределенности, в которую в качестве отдельных частей входили бы известные модели, такие как теория вероятностей и теория нечетких множеств. При этом возникает необходимость вводить различные вероятностные интерпретации нечетких множеств. Наиболее теоретически обоснованными являются интерпретации через случайные множества, а также в рамках теории возможностей [17].
Первая модель связана с моделями 2-го порядка в теории неточных вероятностей, во второй модели каждая функция принадлежности каждого нормального нечеткого множества идентифицируется с функцией распределения возможностей, по которой строятся меры необходимости и возможности, дающие соответственно нижние и верхние оценки вероятностей.
Оказывается, что традиционные способы обработки информации с помощью нечетких множеств не всегда можно обосновать с вероятностной точки зрения, поэтому приходится вводить
некоторые альтернативные подходы. Рассмотренная интерпретация нечетких множеств также используется в рамках обобщений байесовской схемы классификации статистических данных, когда вероятностные распределения аппроксимируются с помощью так называемых статистических классов [18, 19].
Под статистическим классом понимается некоторое состояние исследуемого объекта, имеющего стохастическую природу; это состояние отождествляется с вероятностным распределением, описывающим поведение объекта в некоторый момент времени. Такой взгляд оправдан при анализе и обработке случайных дискретных и непрерывных процессов. При этом возникают сложные задачи классификации таких классов в условиях, когда предположения классической байесовской схемы принятия решений (как, например, наличие полной группы событий и их несовместность) в реальности не выполняются.
НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И АВТОМОРФИЗМЫ
Как указывалось выше, вопрос, связанный с заданием или восстановлением нечеткой меры, в общем случае является достаточно сложным. Поэтому уделяется большое внимание разработке способов экспериментального определения нечетких мер [20], а также их аппроксимации [21, 22].
Между тем, в структуре самого изучаемого объекта могут быть заложены определенные свойства, которые позволяют на априорном уровне сформулировать ряд условий, которым нечеткая мера с необходимостью должна удовлетворять. Примером таких
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.