ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 3, с. 475-494
УДК 519.634
НЕАВТОМОДЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ С ОТРАЖЕННОЙ ОТ ЦЕНТРА СИММЕТРИИ УДАРНОЙ ВОЛНОЙ И НОВЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ С ДВУМЯ ОТРАЖЕННЫМИ УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ^
© 2013 г. Х. Ф. Валиев, А. Н. Крайко
(111116 Москва, ул. Авиамоторная, 2, ЦИАМ) e-mail: akraiko@ciam.ru Поступила в редакцию 19.09. 2012 г.
В ряде задач о цилиндрически и сферически симметричных нестационарных течениях идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа на оси и в центре симметрии (далее — центре симметрии) начиная с некоторого момента времени плотность газа становится нулевой, а скорость звука бесконечной. Такая ситуация возникает в задаче об отражении от центра симметрии ударной волны. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями и их отношением (показателем адиабаты) у решение этой задачи вблизи точки отражения автомодельно с определяемым в процессе его построения показателем автомодельности. При допущении уменьшения у на отраженной ударной волне, если уменьшение у превышает некоторую пороговую величину, течение изменяется принципиально. Если же считать, что при таких у решение сохраняет свой тип, то для сохранения автомодельности из центра симметрии с момента отражения должен расширяться поршень, а отраженная ударная волна конечной интенсивности движется по газу перед ней со скоростью звука. Для ответа на ряд возникающих в такой постановке вопросов, в частности, на вопрос, каким будет решение при отсутствии поршня, прослежена эволюция близкого к автомодельному неавтомодельного решения, рассчитываемого методом характеристик. Описаны необходимая модификация метода характеристик и результаты, полученные с его помощью. Выполненные расчеты, обнаружив ряд неожиданных особенностей, привели к построению новых автомодельных решений, в которых при отсутствии поршня от центра симметрии отражается не одна, а две ударных волны. Библ. 21. Фиг. 10.
Ключевые слова: отражение ударной волны, метод характеристик, центр симметрии, неограниченная скорость звука, разные показатели адиабаты, звуковая ударная волна конечной интенсивности, новые автомодельные решения с двумя отраженными ударными волнами.
Б01: 10.7868/80044466913030137
ВВЕДЕНИЕ
В классических автомодельных задачах об отражении ударной волны от оси или центра симметрии (далее — центра симметрии) и о схлопывании пустой сферической полости в [1] введено изменение показателя адиабаты на идущей от центра симметрии ("отраженной") ударной волне. Пусть I — время, х — расстояние от центра симметрии, а индекс "минус" ("плюс") метит параметры перед (за) такой волной, т.е. справа (слева) от нее в плоскости х1, в частности, у_ и у+ — соответствующие значения у. Тогда показатели автомодельности к этих задач находятся не из анализа размерностей, как в задачах, допускающих анализ размерностей (см. [2]), а находятся как условия существования соответствующих решений (см. [3], [4]). В обсуждаемых примерах они определяются участками интегральных кривых, которые описывают начальные стадии исследуемых течений с у = у_. Поэтому изменение у на отраженной ударной волне на величину к не влияет. При любом увеличении, как и при небольших уменьшениях у, структура всего течения также не претерпевает качественных изменений. Если же у+ станет меньше некоторой, близкой к у- пороговой величины, то согласно [1] автомодельное решение отличается от решения, отвечающего у+ = у-, принципиально. Во-первых, отраженная ударная волна, имея конечную интенсив-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00668-а).
(а)
(б)
(в)
(г) (д)
Фиг. 1.
ность, становится звуковой, т.е. движется по газу перед ней со скоростью звука. Во-вторых, за ней с момента отражения начинает расширяться поршень.
Если время I отсчитывается от момента отражения, а ^ = 0/хк — автомодельная переменная (С — константа), то в плоскости XI траектории ударной волны и поршня являются линиями постоянства переменной В момент отражения давлениер и перед, и за отраженной волной бесконечно, а плотность р конечна. Из-за этого при I = 0 в центре симметрии (при х = 0) за отраженной ударной волной Я8 энтропийная функция х + = Р+/р++ равна бесконечности. Энтропийная функция сохраняется далее вдоль траектории частиц, которая совпадает с траекторией поршня ТР, расширяющегося в рассматриваемом случае из центра симметрии (см. фиг. 1а, на которой 18 — траектория приходящей ударной волны, а С+ и С- — С+- и С--характеристики). Поскольку для I > 0 давление на поршне ограничено, то на нем, как и при х = 0 в исходной (классической) постановке (с у+ = у_), в силу сохранения энтропийной функции х плотность р обращается в нуль,
а удельный объем ю = 1/р, температура и скорость звука а = -^у+р/р _ в бесконечность.
На самом деле в обсуждаемых задачах при у+ < у_, как и при у+ = у_, никакого поршня нет. В связи с этим возникает вопрос: что за течение реализуется, если, начав при I = 10 > 0 тормозить "автомодельный" поршень, затем остановить его. На фиг. 1а такая траектория поршня (ТР0) показана штрихами. Из-за появления величины 10 с размерностью времени возникшее течение будет неавтомодельным. Но как долго? Ведь при сколь угодно малом 10 и при I > 10 течение может "забыть" об этой величине. Можно вслед за [1] допустить, что при отсутствии поршня (т.е. при t0 = 0) течение становится неавтомодельным с момента отражения. Но тогда ввиду отсутствия в
рассматриваемых задачах констант с размерностями длины или времени возникает вопрос, откуда берется причина неавтомодельности.
Правда, в отличие от задачи о сильном точечном взрыве (см. [2]), рассматриваемые задачи становятся автомодельными лишь асимптотически — в плоскости в малой окрестности начала координат. Дело в том, что в любой такой задаче есть характерные размерные время и расстояние (в задаче о "внешнем взрыве" — момент взрыва < 0 и радиус х0 слоя подвода энергии2)). В подобных случаях выход на автомодельность предполагает, что при возникновении ударной волны в окрестности точки ее отражения от центра симметрии для параметров справедливы разложения типа
а = п —
г
Г \а
г
Vг о У
{ \ X
дс,...) + ^ ад,...) + - С^,...) +...
в
V-*' о У
а > 0, в> 0,
с А, В1, С1, ..., зависящими не только от но и от ряда безразмерных констант. При справедливости таких представлений автомодельность (по терминологии из [4] — "автомодельность второго рода") имеет место только для < 1 и х/х0 ^ 1, а при удалении от начала координат течение с неизбежностью "вспомнит" о предыстории. Однако как и почему "воспоминание" о предыстории может проявиться мгновенно в момент отражения? Наконец, в исходной автомодельной задаче никакой предыстории просто нет и вспоминать нечего.
Прояснению возникшей ситуации может помочь построение неавтомодельного решения, отвечающего, например, штриховой траектории поршня на фиг. 1а или чему-то близкому. Наиболее аккуратно это можно сделать методом характеристик. Однако при его численной реализации необходимо учесть ряд особенностей искомого решения. В частности, специальное рассмотрение потребуется тогда, когда в одной из точек С+- или С--характеристики при нулевых плотности и скорости газа и скорость звука получается бесконечной, а касательные к С+- и С--характе-ристикам параллельны оси х.
1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОМ РЕШЕНИИ И УДАРНЫХ ВОЛНАХ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ПОКАЗАТЕЛЕМ АДИАБАТЫ
При ? > решение неавтомодельной задачи строится при 0 < х < Х(?). Здесь 10 — малое положительное число, а Х(?) — монотонно растущая функция которая находится в процессе решения, будучи не меньше координаты "звуковой траектории" 8Т — звуковой волны, движущейся по газу вправо, для тех же Параметры течения на правой границе расчетной области х = Х(1) определяются решением автомодельной задачи с у = у-. Ниже в качестве такой задачи взята задача об отражении ударной волны от центра симметрии ("задача Гудерлея" (см. [3]). Параметры течения в ней задаются формулами (см. [1])
и = пхи, а = пхА, р = р0К, р = р0п2 Х2—К, С= Ск, п = -. (1.1)
г г г2 у х к
Здесь р0 — плотность холодного покоящегося газа (на фиг. 1 слева от 18), а и, А и Я — функции автомодельной переменной у, п и константы V = 1, 2 и 3 в случаях плоской, цилиндрической и сферической симметрий.
Функции и, А и Я удовлетворяют дифференциальным уравнениям (см. [1])
йА = А/2 й 1п С = / й 1п К = /з (12)
йи 2(1 - Щ/у йи // йи (1 - и/, .
/0 = /0(и, А) = (1 - и)2 - А2, /- = /-(и, А,п,у, V) = (1 - и)(1 - пи)и + [2(1 - п)/у - vnи]А2, (13)
/2 = /2(и, А,п,у,V) = (у - 1)/1 - Му - 1)пи - 2(1 - пи)]/0, /з = /з(и, А, п, у, V) = /1 - vnUfо
2) Из-за наличия этих констант неверно решение, построенное в [5] по аналогии с решением задачи о сильном точечном взрыве из [2] с выделением энергии в центре симметрии.
и начальным условиям
^ - 18) = — А8 , ^ = !±1, (1.4)
у+1 у+1 у-1
позволяющим определить параметры течения за ударной волной 18. Выбор константы С, не влияющей на вид уравнений (1.2), позволяет положить = _1.
От ударной волны 18, т.е. от ^ = —1, решение системы (1.2) сначала нужно довести до оси х, отвечающей I = 0 и ^ = 0. В силу определений (1.1) для конечности и и а на этой оси при х > 0 должны выполняться равенства
А(0) = и(0) = 0. (1.5)
Первое из уравнений (1.2) интегрируется независимо от других. При этом начальная точка I из (1.4) его интегральной кривой лежит в четвертом квадранте плоскости Ш под прямой ("звуковой траекторией второго семейства"):
и - А = 1, (1.6)
на которой/^ и, А) = 0. Так как и и А _ функции то данное уравнение при любом значении п = 1/к фиксирует ^ и кривую Схк = С! плоскости xt. Вдоль нее dx/dt = пх/!, а с учетом определений (1.1)
— = и - а. (1.7)
йг
Следовательно, приходящая в начало координат х = I = 0 кривая Схк = С! в каждой точке имеет направление С_-характеристики.
Для попадания в точку (1.5) _ начало координат О плоскости Ш, интегральная кривая первого уравнения системы (1.2) должна пересечь прямую (1.6), что согласно второму уравнению этой системы возможно только при одновременном выполнении равенства
/1(и, А,п,у, V) = (1 - и)(1 -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.