АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 92, № 1, с. 80-96
УДК 523.3-54-423.3
НЕБЕСНОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРИЛИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ
СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ-ЛУНА
© 2015 г. А. А. Зленко*
Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет,
Москва, Россия Поступила в редакцию 06.05.2014 г.; принята в печать 21.05.2014 г.
Рассматривается небесномеханическая модель движения двух вязкоупругих шаров в поле притяжения тяжелой материальной точки в рамках задачи о двойной планете. Шары движутся по квазикруговым орбитам в одной плоскости, и их оси вращения перпендикулярны плоскости орбиты. Деформированное состояние шаров описывается классической теорией малых деформаций. В качестве модели вязких сил взята модель Кельвина—Фойхта. Получена система эволюционных уравнений. Эта система применяется для изучения совместной поступательно-вращательной приливной эволюции Земли и Луны в поле притяжения Солнца. Система численно интегрировалась в прошлое на миллиарды лет и в будущее. Полученные результаты сравниваются с результатами других теорий, палеонтологическими данными и астрономическими наблюдениями.
DOI: 10.7868/80004629915010107
1. ВВЕДЕНИЕ
Теория приливов обязана своим происхождением И. Ньютону и П.-С. Лапласу. Основные достижения в этой области были собраны, систематизированы и проанализированы в известной книге Дарвина [1]. Дальнейшее развитие она получила в трудах Макдональда [2]. Он исследовал эволюцию системы Земля и Луна без учета влияния Солнца. Голдрайх [3] использовал метод Макдональда, учел сплюснутость Земли и влияние солнечных приливов, но не учитывал эллиптичности орбиты Луны, и корректно осреднил уравнения движения, используя три шкалы времени.
Метод Макдональда потом использовался разными авторами. В работе Белецкого [4] исследуется приливная эволюция наклонений и вращения небесных тел. Веб [5] изучал эволюцию системы Земля—Луна на основе приливов в океанах, сравнивая ее с моделью Голдрайха [3]. Красинский [6] объединил методы Макдональда и Голдрайха для построения динамической истории системы Земля—Луна. В работе Тоума и Виздом [7] подробно разбирают различные модели приливных явлений. Показано, что эволюция системы Земля-Луна, основанная на моделях Дарвина-Мигнарда и Дарвина-Каулы-Голдрайха, практически эквивалентна модели Голдрайха.
*Е-шаП^а1а:Е121<Зта11.ги
Эфроимский и Лайней [8] рассмотрели эффективную диссипативную функцию Q, пропорциональную приливной частоте в степени а. Они исследовали приливную эволюцию Фобоса, спутника Марса, для а = 0.2, 0.3, 0.4. С этой точки зрения в модели Макдональда а = 0, а в модели Мигнарда а = — 1 [9, 10]. Главной особенностью подхода, предложенного Ферраз-Мелло и др. [11], является то, что в отличие от многих работ, использующих теорию Дарвина, введены различные коэффициенты для гармоник приливной волны вместо одного и того же числа Лява. Критическое осмысление математических формул в вышеупомянутых теориях, дающих выражения для приливных моментов, замедления вращения планеты, угла запаздывания, а также точность их представления, область применимости и связи с реологическими моделями анализируются в статьях Эфроимского и Вильямса [12] и Эфроимского и Макарова [13]. Отмечено, что качественные выводы из более упрощенной теории Макдональда, в основном, остаются корректными [12].
Дальнейшее развитие приливных теорий идет по пути создания реологических моделей. В своих работах Чуркин [14-16] создал обобщенную теорию чисел Лява и применил ее к реологическим моделям Гука, Максвелла, Фойхта и др. Разработанная им теория вращения неупругой Земли применена к фойхтовской модели земных недр, и получены числовые оценки реологических поправок к прецессии, нутации и осевому вращению Земли. Эф-
роимский [17] вводит комплексные числа Лява как функции приливной частоты для изучении приливов при спиноорбитальном резонансе планеты и ее спутника.
Вильке [18] разработал метод разделения движений и усреднения в системах с бесконечным числом степеней свободы для изучения движения деформируемых тел, используя классическую линейную теорию упругости малых деформаций и модель вязких сил Кельвина—Фойхта. На его основе исследовалась эволюция орбитального и вращательного движений вязкоупругой планеты в центральном ньютоновском поле сил [19, 20]. В работе Маркова и Миняева [21] модель небесного тела включает изотропный вязкоупругий слой и твердую часть (ядро). Дан качественный анализ движения спутников Марса с уточнением параметров модели по результатам наблюдений векового ускорения Фобоса. Вильке и Шатина [22] изучали приливную эволюцию движения системы Земля-Луна в поле притяжения Солнца, причем Луна рассматривалась как материальная точка.
Перейдем к описанию нашей модели в рамках задачи о двойной планете [23-25].
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ДВУХ вязкоупругих ШАРОВ В ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ НЕПОДВИЖНОГО ЦЕНТРА
2.1. Постановка задачи
В невозмущенном движении барицентр С двух однородных твердых шаров О1 и О2, с массами ш1 и ш2, соответственно, движется в фиксированной плоскости в поле тяготения неподвижной тяжелой материальной точки О с массой М по круговой кеплеровой орбите. Шары О1 и О2, в свою очередь, движутся по круговым кеплеровым орбитам вокруг барицентра С в плоскости его движения. Шары вращаются с заданными постоянными угловыми скоростями вокруг осей, проходящих через центры их масс и перпендикулярных плоскости их орбиты. Все четыре движения независимы друг от друга. Такая постановка задачи имеет право на существование, поскольку мы делаем следующие допущения:
rn2 < mi < M; rio < R2 < Ri,
тела. Возмущения возникают за счет деформаций тел, обусловленных центробежными и гравитационными силами. Так как мы изучаем эволюционные движения, то полагаем, что центры масс шаров движутся по квазикруговым орбитам.
Для описания движения с притягивающим центром O свяжем инерциальную систему координат OXYZ. Шары движутся в плоскости OXY. С точками Oi (i = 1, 2) свяжем системы координат Кенига OiXiYi. Положение барицентра С в системе координат OXYZ зададим вектором R1 =
= OC(R1 cos Аь R1 sin A1,0), где |R1| = R1, а A1 — угол, который R1 образует с осью ОХ. Положение тела O2 относительно тела O1 в системе координат O1X1Y1Z1 определяется вектором
R2 = O1O2R2 cos А2, R2 sin А2,0), где |R2| = R2, а А2 — угол, который R2 образует с осью ОХ1. Деформируемое состояние тел описывается классической теорией упругости малых деформаций. В качестве модели вязких сил принимаем модель Кельвина—Фойхта с диссипативным функционалом Di [úi], пропорциональным функционалу упругих сил Wi[úi] с коэффициентом пропорциональности x-í (коэффициентом вязкости):
Di [ú i] = XiWi[ú i],
(2)
где и,(г,,£) — перемещения точек тела О, за счет деформаций, и, = бщ/бЬ (в дальнейшем точка над величиной обозначает ее производную по времени ¿), г, — радиус-вектор точек шара в недеформиро-ванном состоянии относительно центра О,.
С вращающимися шарами свяжем собственные системы координат OiXiiYiiZii, у которых оси Оперпендикулярны плоскости орбиты (оси OiZi и Осовпадают). Положение точек вяз-коупругого шара Оi в системе координат OXYZ определяется векторным полем
Zi(ri,t) = OOi +Ti(<pi)(vi + úi(ri,t)), (3)
где
^cos pi — sin pi 0^
Ti(^i(t)) =
(1)
где по (г = 1, 2) — радиусы шаров, К1 — расстояние от притягивающего центра до барицентра, К2 — расстояние между центрами масс шаров О1 и О2 (названия шаров в дальнейшем отождествляем с центрами их масс). Этим допущениям удовлетворяет, например, система Солнце—Земля—Луна.
В возмущенном движении мы рассматриваем шары как однородные изотропные вязкоупругие
sin pi cos pi 0 0 0 1y
(4)
Здесь Г — ортогональный оператор перехода от системы координат Кенига ОХ,^YiZi к системе OiXiiYiiZii, р, — угол поворота системы OiXiiYiiZii вокруг оси OiZii (р, — угол между осями OiX, и OiXii).
Для того, чтобы однозначно можно было бы определить положение центров масс шаров О, и
систем координат OiXiiYiiZii по перемещениям точек шаров ^(гг,Ь), накладываем следующие условия (связи) на перемещения:
игДУг = 0,
Г01и,;Ду,; = 0
(5)
(dvi = ДХЦ ДуиДги),
Т = -тпЩ +
2т
И 2 +
где
1 2
+ - + 2Сгфг + Т(х),
i=1
^¿[иг] = Jie3 Х (ri + и-)]2рг(Уг V;
Gi = J[ез х (ri + Ui), иi\pidvi, V
Тог = J (щ)2ргДуг,
где
П1 = —¡1 {[Б* — (т2/т)Я2 +
+ Г1(п + и1)]2 }-1/2Р1ДУ1
- энергия взаимодействия притягивающего центра с вязкоупругим телом О1,
П2 = —¡1 {[Я1 + (т1/т)Я2 +
+ Г2(Г2 + и2)]2 }-1/2Р2ДУ2
- энергия взаимодействия притягивающего центра с вязкоупругим телом О2,
Пз = —С I {[Б* + Г2(Г2 + и2) —
V;
— Г1(Г1 + и1)]2}1/2р1Р2 ДУ1ДУ2
- энергия взаимодействия деформируемых шаров О1 и О2, ¡ = СМ, С - гравитационная постоянная, т = т1 + т2. С учетом условия (1), пренебрегая в выражении для потенциальной энергии членами порядка (Е2/Е1)3(т2/т)3 и более высокого порядка малости и оставляя члены, только линейные по ui, получим:
где V = {|гг| < тго} - область, которую занимает шар Ог в недеформированном состоянии.
Функционал кинетической энергии системы имеет вид
1-6 2 , т1т2 -А 2
П = —¡т/К1 — Ст1т2/К2 + Пр
где
22
Пр = Е ^¡м/КЗ [Ггиг
(8) (9)
к=1 ¿=1
V;
(6)
V;
е3 - единичный вектор оси перпендикуляр-
ный плоскости ОХУ, рг - плотность шара Ог.
Потенциальная энергия гравитационных взаимодействий определяется формулой
П = П1 +П2 + Пз, (7)
— 3(^кг, гг)(£кг, и-)]рг (М,
¡и = ¡, ¡2г = Стз-г, Ы = ты [ео8(Лк — у г), вш(Лк — у г), 0],
Т21 = —1, Ткг = 1 (к = 2, г = 1).
Для описания движения барицентра и центров масс О г введем, следуя [22], канонические переменные Пуанкаре Лк, Лк (к = 1, 2):
Л1 = т№)1/2, Л 2 = тг (¡о^)1/2, (10)
где тг = т1т2/т, ¡0 = Ст.
Для описания вращательного движения тел применим канонические переменные Андуайе уг, I (г = 1, 2):
I- = ,Цщ]фг + Сг, (11)
где Зг[иг] и Сг определены в (6).
Уравнения движения запишем в форме уравнений Рауса:
Л к = —
дК
У г
дЛк Ж Д
Л к =
д
и
<12>
дуг
д Лк'
^; ; Б- =0
ди ДЬ
Здесь К - функционал Рауса, который имеет вид
=
¡ 2т3 ¡02т3
2Л1 2Л2
+
(13)
2 ( Т2 Т2
■ 1 ч 2А- 2А2' ¿=1 ■
■ V;
где Аг = 0.4тгт20 - момент инерции недеформ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.