ОКЕАНОЛОГИЯ, 2004, том 44, № 4, с. 495-506
= ФИЗИКА МОРЯ
УДК 551.465
НЕГИДРОСТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МОРСКОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ
© 2004 г. В. Б. Залесный1, Р. Тамсалу2, Т. Куллас2
1Институт вычислительной математики РАН, Москва, Россия 2Эстонский морской институт, Таллинн, Эстония Поступила в редакцию 08.10.2003 г.
Излагается негидростатическая о-модель динамики моря. Описывается численный алгоритм решения задачи, основанный на методе расщепления по физическим процессам и геометрическим координатам. Метод расщепления позволяет построить эффективную численную модель, являющуюся естественным развитием исходной, основанной на примитивных уравнениях. Модель апробируется на серии расчетов морской динамики в прямоугольном морском (академическом) бассейне. Академический бассейн аппроксимирует среднюю часть Балтийского моря. Описываются результаты численных расчетов, проведенных для разных горизонтальных разрешений модели, низкого и высокого, в условиях гидростатического и негидростатического приближений. Для иллюстрации адекватности модели приведены также результаты расчета динамики Финского залива.
1. ВВЕДЕНИЕ
Результаты работ по численному моделированию динамики морей и океанов показывают, что важнейшим условием повышения адекватности моделей является улучшение их пространственного разрешения [8, 10]. Повышение пространственного разрешения моделей, как правило, влечет за собой необходимость обогащения их физического содержания. Так, например, уменьшение шагов горизонтальной сетки, приближение их размера к размеру шага по вертикальной координате приводит к тому, что перестает выполняться условие малости вертикального масштаба описываемых процессов по отношению к вертикальному. Это может заставить отказаться от приближения гидростатики и ввести в рассмотрение полное уравнение для вертикальной скорости.
Кроме того, в последнее время анализ и прогноз морских процессов все чаще проводится с помощью серии численных расчетов во вложенных одна в другую, уменьшающихся подобластях. Этот путь повышения детализации описываемых процессов также ведет к сближению горизонтального и вертикального масштабов. Вложение расчетных областей вызывает "вложение" расчетных моделей, развитие их иерархической структуры, позволяющей в рамках единого алгоритма использовать модели различного уровня физической сложности.
Наша работа связана с построением такого рода иерархической, негидростатической модели морской динамики. Основное требование к модели состоит в возможности решения физических задач разного уровня сложности. Иерархическая структура модели основана на методе ее численного решения - методе расщепления по физичес-
ким процессам [4, 14, 15]. Она является развитием модели, основанной на уравнениях общей циркуляции океана (примитивных уравнениях), записанных в сферической о-системе координат [15]. Развитие модели проведено в двух направлениях. Во-первых, в модель введена возможность учета негидростатического эффекта, во-вторых, - "к - е" параметризация процессов турбулентного обмена. Поскольку базовая модель основана на методе расщепления, ее программной реализации присущ модульный принцип. Отдельный этап расщепления представляется отдельным программным модулем. Основное усовершенствование модели -учет негидростатического эффекта - удалось провести с помощью добавления к базовой модели дополнительного этапа расщепления. Программный комплекс дополнен новым модулем расчета негидростатической динамики без изменения базовой основы модели. Этого удалось достичь за счет эквивалентного преобразования исходных уравнений движения. Преобразование связано с введением новой функции, описывающей изменение давления. Данный прием аналогичен разложению давления на сумму гидростатического и негидростатического компонентов, использованному в [12].
В работе излагаются формулировка негидростатической о-модели и методика ее численного решения. Модель используется для расчетов тер-мохалинной морской динамики в идеализированной прямоугольной области, называемой нами "академическим бассейном", имитирующей условия средней части Балтийского моря. Основная цель численных экспериментов состояла в апробации негидростатической модели и оценке эффекта негидростатичности в указанных идеализированных условиях. Для иллюстрации адекват-
ности модели приведены также результаты расчета динамики Финского залива.
2. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ
Негидростатическая модель термохалинной морской динамики основана на системе нелинейных трехмерных уравнений. Модель включает:
полные нелинейные уравнения движения для вектора скорости с компонентами и, V, м>, записанное в приближении Буссинеска;
трехмерное уравнение переноса - диффузии для потенциальной температуры Т; трехмерное уравнение переноса - диффузии для солености
трехмерные уравнения переноса - диффузии -кинетики для турбулентной кинетической энергии к и скорости ее диссипации е;
уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости;
уравнение состояния морской воды.
Уравнения, записанные в сферической а-сис-теме координат (а = г/#(Х, ф)), имеют вид [12, 15]:
du í f n \ ~
—— lv + m — u v + nwu + Iw = dt V mj
= -m.f dp-vdädp1 + л u p0VdX HdXdaj u,
(1)
Здесь
d* dt
H
f Э
д n
-i-H* + m -г--Hu* + -i--—Hv* + --—w
dt
Vax
Эбт
da
, dH энл .. .az
w* = w - al um--—- + vn 1— - (1-а) -r-f, (11)
ax aöj
Л * = (Лх + ле + Ла) *,
a t
A * 1 2
Лх * = ~m
ra * a
эхц*нэх axr*aaxaa
dH a*
da
|i*a
dH + д
axaxj Эа
ц*
a 2 HXd *
! H da
Ле* = — mn H
д „ a* a f a h a *
аёц* н9аё- аё1ц*a 9 аёаа
a H д *
- аЛц*a 9 axaej + аЛц* ~H
1
a2 H е 9 Э *
da
. . а а*
a H da da
Y1
= Сц = -H----- 2
du 12
da j
dv
da
H db
aT da
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
d v í f n \ — + lu - m — uu + nwv = dt V mj
= nf dp a dHdp I .
= - p0 Val - H aöaäj + Av,
(2)
dd--Iu - n (u2+v 2) = - PH V da - gHp)+Л w,(3)
m
duH + _a_f hvh
ах
aeV m
dT dt
dS dt
+
a w* = az da Э t'
= л T,
= Л S,
dK к .
— = y ,--£ + Лк,
dt £
d£ £2
— = c, Y2к - c2 — + Л£,
dt 1 2 2 K
p = / (T, S, p).
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
Y 2
= Сц = -H----- 2
duY fdv
daj V3a
- c3
H-db
saT da
(17)
X - долгота, e = 90° + у, у - широта, a - направленная вниз вертикальная координата, Z - уровень моря (его положительная величина означает опускание, а отрицательная - подъем), H(X, е) - глубина моря, V* = сцк2£-1 - коэффициент вертикального турбулентного обмена, ц* - коэффициент горизонтального турбулентного обмена, / = -2Q cos е,
l = 2Q sin е, Q - угловая скорость вращения Земли, m = 1/(Rsinе), n = 1/R - метрические коэффициенты, R - радиус Земли, 9 = n/m, p - давление, b = g(P - Р0)/Р0 - плавучесть, p - плотность морской воды, p0 = const - отсчетная плотность, g - ускорение силы тяжести, aT = /(Ri), где Ri - число Ричардсона и сц, c1, c2, c3 - константы. Процесс турбулентного обмена параметризуется согласно к-£ модели [6].
Граничные условия для (1)-(9) формулируются следующим образом. По вертикали, на верхней границе, при a = 0 имеем:
д f u
Vu da V v
H fTi
po Vt2
d c „^o Vcda = -HQw* = 0, (18)
где с и Qc - вектор-функции, соответственно равные
с = (Т, ^к,е)\ Qc = (Qт, Qs, Qк, Qe),• На нижней границе, при о = 1:
(19)
д (и
д с
^доIvJ = 0; ^до = -ЯQc;
^ = 0. (20)
На боковой поверхности X:
дс
*дп
М-*лл = 0;
и = V = 0.
(21)
Здесь тх, т2 - компоненты напряжения трения ветра, QT - поток тепла, Qs - поток соли, Qк - турбулентный поток энергии, Qe - турбулентный поток скорости диссипации энергии, п - нормаль к X.
К уравнениям (1)-(9) присоединяются начальные условия при г = 0:
и =
и
= и0;
с = с
(22)
щ = тг- на д г
г = 0,
(23)
щ = ит^ + vn^ на г = Н(X, 0). (24) дЛ д0
Новая вертикальная скорость щ* введена в соответствии с записью оператора переноса в о-си-стеме координат, в которой он имеет вид:
й д д д — = + ти-тт- + nvт— + йг дг дЛ д0
+ [щ - (тгли + п20 V + )]
до
(25)
(26)
т
диН д (п „
Ж + дё1 т vH
+ ^ - -д[о(тНЛи + пН0V)] = 0. до до
(28)
3. МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ
Для решения уравнений (1)-(9) во времени применим метод расщепления. Математически аспекты метода расщепления и его применение для решения задач океанологии изложены в работах [1, 2, 4, 14]. Суть метода состоит в следующем. Предположим, что имеется нестационарная задача
^ + Аю = 0, ф = (и, V, Т, £ к, £)', (29) дг
где А - неотрицательный оператор, который может быть представлен в виде суперпозиции более простых операторов А;:
А = £ А;, А; > 0.
(30)
Тогда для решения (29) можно использовать неявную схему расщепления:
Ф = ф + т Г,
1 + 1/я _
Замечание 1. Наряду с исходной вертикальной скоростью w, в новой системе координат используется новая вертикальная скорость w*. Она равна нулю на поверхности моря о = 0 и на дне о = 1, поскольку для w выполняются кинематические условия
(E + т А1 )ф (E + т А2 )ф 1 + 2/п
ф,
1 + 1/п
(E + т АN )ф
1 + 1
ф
ф
1 + (N -1)/ N
(31)
г = о(н - О + С.
Пренебрегая пространственными градиентами £ по сравнению с градиентами Н, имеем:
гл = оНл, г0 = оН0, гг = (1- о)Сг. (27)
Замечание 2. Уравнение неразрывности можно записать в другой форме. В терминах старой вертикальной скорости имеем
Схема (31) - абсолютно устойчива и аппроксимирует (29) с первым порядком точности по времени.
Метод расщепления может рассматриваться не только как экономичный метод решения сложной задачи по времени, но и как основа построения иерархической модельной системы. В рамках единого подхода может формироваться конкретная модель динамики океана различной сложности: с точки зрения ее физической полноты, размерности и пространственного разрешения. Ключевым моментом построения расщепляемой иерархической модельной системы и метода ее решения является разбиение исходной базовой задачи на совокупность простых подзадач с неотрицательными операторами. Часто выбор такого расщепления является нетривиальным и не единственным [5, 9]. Процесс расщепления сводится к выбору серии отдельных задач более простой структуры. Для каждой выделенной задачи выполняется установленный закон сохранения. При расщеплении может выделяться несколько уровней различной глубины. Макро-уровень ра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.