научная статья по теме НЕКОГЕРЕНТНАЯ СЛАБАЯ СВЯЗЬ ЛАЗЕРНЫХ СОЛИТОНОВ Физика

Текст научной статьи на тему «НЕКОГЕРЕНТНАЯ СЛАБАЯ СВЯЗЬ ЛАЗЕРНЫХ СОЛИТОНОВ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2007, том 102, № 1, с. 92-94

НЕЛИНЕЙНАЯ И КВАНТОВАЯ ^^^^^^^^^^^^ ОПТИКА

УДК 535.2

НЕКОГЕРЕНТНАЯ СЛАБАЯ СВЯЗЬ ЛАЗЕРНЫХ СОЛИТОНОВ

© 2007 г. Н. Н. Розанов*, С. В. Федоров**, А. Н. Шацев*

*Государственный оптический институт им. С И. Вавилова, 199034 Санкт-Петербург, Россия **Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики,

197101 Санкт-Петербург, Россия E-mail: rosanov@NR3748.spb.edu Поступила в редакцию 28.04.2006 г.

Численным моделированием найдено связанное состояние пары пространственных лазерных соли-тонов с различающимися топологическими зарядами в широкоапертурном лазере класса А с насыщающимся поглощением. Ввиду различия частот индивидуальных солитонов имеют место периодические (с периодом, отвечающим разности частот) слабые пульсации формы солитонов и расстояния между ними, но не регистрируются вращение пары и движение ее центра инерции.

PACS: 42.65.Tg

Одним из важнейших свойств консервативных оптических солитонов - локализованных сгустков света, линейное (дифракционное и/или дисперсионное) расплывание которых уравновешено нелинейным сжатием самофокусировочной природы, - является характер их взаимодействия друг с другом; этот характер в описанных в литературе случаях существенно определяется разностью фаз солитонов, причем при изменении значения разности фаз притяжение солитонов сменяется их отталкиванием [1]. Для диссипативных оптических солитонов, формирующихся в средах или системах с существенным притоком и оттоком энергии [2, 3], результат взаимодействия также определяется обычно разностью их фаз. Это обстоятельство могло бы привести к выводу о невозможности связанных состояний двух (одно-компонентных) солитонов с заметно различающимися частотами, поскольку разность их фаз не постоянна, а приблизительно линейно меняется со временем.

Целью данного сообщения является демонстрация устойчивых слабо связанных состояний двух пространственных лазерных солитонов с различающимися топологическими зарядами и соответственно собственными частотами. Модель отвечает широкоапертурному лазеру с насыщающимся поглощением, рассмотренному впервые в [4] и впоследствии изученному сравнительно детально (см. [2, 3, 5-8] и приведенные там ссылки).

Как и в предшествовавших работах [5-8], мы будем рассматривать широкоапертурный лазер класса А, что справедливо, если времена релаксации среды много меньше времени установления поля в резонаторе. Используется приближение среднего поля с усреднением огибающей элек-

трического поля Е по продольному направлению, что оправдано при относительно малых изменениях огибающей поля за один проход через резонатор. Поляризация излучения считается фиксированной (например, линейной). Тогда управляющее уравнение примет следующий вид:

dE = (i + d )Д± E + f(| E\2) E.

(1)

Здесь Д± = У± = Э2/Эх2 + Э2/Эу2 - поперечный оператор Лапласа, с1 - малый коэффициент эффективной диффузии, а функция /(I) интенсивности излучения I = |Е |2 включает линейные (нерезонансные) потери, а также усиление и поглощение, характеризующиеся безынерционным насыщением. В пренебрежении частотными расстройками эта функция вещественна и имеет вид

f(lE ) = -1 +

go

1 + |E 1 + b\E

2'

(2)

В правой части (2) g0 и а0 - линейные коэффициенты усиления и поглощения, Ь - отношение ин-тенсивностей насыщения для усиления и поглощения, а член -1 представляет нормированные нерезонансные потери. Для расчетов приняты следующие значения параметров: с1 = 0.06, g0 = 2.11, а0 = 2, Ь = 10. Нормировка времени t и поперечных координат х и у указана в [5-8].

Для приведенных значений параметров имеются устойчивые одиночные солитоны с осесим-метричным распределением интенсивности и топологическими зарядами т = 0, ±1, ±2, .... Огибающая поля для них в полярных координатах г, ф

E(r, ф, t) = Fm(r)exp(/Шф - iv,m\t).

(3)

НЕКОГЕРЕНТНАЯ СЛАБАЯ СВЯЗЬ ЛАЗЕРНЫХ СОЛИТОНОВ

93

У

40

0-

-40

-40

(а)

У

40

0

1 -40-Р 40 -40

х

(б)

<§0)

40

х

Мгновенные распределения интенсивности (а) и фазы (б) для связанного состояния двух лазерных солитонов с топологическими зарядами 0 и 1.

Здесь vm - нелинейный частотный сдвиг; для указанных выше параметров у0 ~ 0.13, ~ 0.077.

При возбуждении на апертуре лазера двух солитонов они взаимодействуют благодаря перекрытию их полей (перекрытию "хвостов" солитонов). Мы будем рассматривать здесь только случай слабого взаимодействия солитонов, когда их перекрытие невелико. Ранее сравнительно детально изучены пары солитонов (индексы 1 и 2) с совпадающим значением модуля топологического заряда |т1| = |т21 = т, так что частотные сдвиги индивидуальных солитонов совпадают, = v2 = V (см. [2, 5] и приведенную там литературу). При этом имеются устойчивые связанные пары солитонов, отвечающие монохроматическому излучению с распределением поля вида

где

Е ® Е!+ Е2 = ехр (—V г)[ Ет (гх) ехр (т ф!) + + Ет (г 2) ехр (¡т2 ф2 + i А)].

(4)

Е ® А! (х, у, г) ехр(—V! г) + + А2(х, у, г)ехр(iА)ехр(—v2í),

(5)

Ап(х' у' г) = Ет(Гп) ехр (im птп/ •

(6)

Медленная зависимость Ап(х, у, г) от времени отвечает движению солитонов с малой относительной скоростью и соответствующему передвижению систем координат гп, фп. В этом случае поперечный поток энергии (вектор Пойнтинга) 81 включает постоянный (не зависящий от времени)

член §1 и интерференционный член 18± с биениями на разностной частоте 5v = v1 - v2:

81 = 1т( Е* У1Е) = §1

я,

§1 = 1т (А* У1А1) + 1т (А* У^),

§ 1 = 008 (5^) 1т (А*У1А2 + А*У1А1) --8ш(5^)Яе(А*У1А2 - А*У1А1).

(7)

(8)

Здесь г1, ф1 и г2, ф2 - полярные координаты с центрами, совпадающими с центрами первого и второго солитонов соответственно. Разность фаз солитонов А для устойчивых пар принимает значения 0 и п (синфазные и противофазные пары солитонов). Равновесное расстояние между центрами синфазных солитонов составляет 18.4 при т1 = т2 = 0 и 29.4 при т1 = т2 = 1 (здесь и далее погрешность определения расстояния не превышает 0.2-0.3). Это расстояние равно 13.4 для противофазных солитонов с т1 = т2 = 0.

В случае пар солитонов с различающимися по модулю топологическими зарядами суперпозиция их полей отвечает уже приблизительно би-гармоническому (двухчастотному) полю

Динамика солитонов определялась численным решением (1) по методу расщепления с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье [4]. При этом начальное условие для поля задавалось в виде суперпозиции полей индивидуальных солитонов (6) с определенным расстоянием

между солитонами (значение начальной разности фаз солитонов непринципиально ввиду сравнительно быстрого ее изменения со скоростью частоты биений). Расчеты для пары с нулевым и единичным топологическими зарядами (т1 = 0, т2 = 1) приводят к следующим выводам.

При начальном расстоянии между центрами солитонов < 25.5 они начинают сближаться (вообще говоря, немонотонно) и сливаются в двух- или трехгорбую структуру с единичным топологическим зарядом, которая постепенно трансформируется в фундаментальный солитон с осесимметричным распределением интенсивно-

0

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ том 102 < 1 2007

94

РОЗАНОВ и др.

сти и зарядом т = 1 (при принятых параметрах асимметричные п-горбые солитоны не существуют).

При начальном расстоянии между центрами солитонов в интервале 25.7 < В0 < 28.5 формируется связанная двухсолитонная структура (см. рисунок). Биения потоков энергии (8) приводят, главным образом, к периодическим осцилляциям расстояния между солитонами (для невзаимодействующих солитонов это расстояние было бы произвольным). Период осцилляций Т ~ 130 отвечает частоте биений, Т = 2п^. Среднее за период

расстояние между солитонами В = 26.6-26.7, а

амплитуда осцилляций расстояния В ~ 0.07. На рисунке приведено также мгновенное распределение фазы поля, поскольку это распределение непрерывно меняется из-за наличия частоты биений. Игнорируя слабые осцилляции, в соответствии с (5) можно приближенно говорить о том, что разность фаз солитонов со временем растет линейно Хотя в каждый момент времени

структура асимметрична (нет осей симметрии мгновенных распределений интенсивности и потоков энергии [8]), вращение структуры в целом и движение ее центра инерции практически отсутствуют (в расчетах наблюдается медленное движение со скоростями на уровне погрешностей вычислений). Это можно связать с периодическим изменением фазовых соотношений. Из-за этого обстоятельства при усреднении за период осцилляций определяющей взаимодействие солитонов переменной части вектора Пойнтинга 181 (8) она обращается в нуль.

При начальном расстоянии между центрами солитонов В0 > 28.5 они начинают отталкиваться и расходиться. На больших расстояниях (В > 30) взаимодействие солитонов столь слабо, что не обнаруживается при имеющейся точности расчетов. Тем самым для усредненного за период колебаний расстояния между центрами солитонов имеется одно устойчивое равновесное значение

(В ~ 26.6) и два неустойчивых (~25.7 и 28.5).

Таким образом, в настоящем сообщении продемонстрировано устойчивое связанное состояние двух лазерных солитонов с различающимися собственными частотами, что исключает поддержание определенных значений разности фаз со-

литонов. Это обстоятельство существенно отличает рассматриваемый случай от рассмотренных ранее, где в зависимости от значения разности фаз солитонов они притягиваются или отталкиваются. Хотя разность частот индивидуальных солитонов приводит к осцилляциям (биениям) расстояния между солитонами и их формы, глубина модуляции весьма мала (случай слабой связи солитонов). По-видимому, установление такой некогерентной связи можно интерпретировать как эффект выпрямления осцилляций, поскольку возникающие в высших порядках теории возмущений [9, 10] квадратичные по перекрытию солитонов члены будут уже содержать и постоянную по времени составляющую. Найденный эффект делает также возможной постановку вопроса о связанных состояниях некогерентных оптических солитонов [1].

Работа поддержана грантами Министерства образования и науки РНП.2.1.1.1189 и РФФИ № 04-02-16605 и 06-02-90861-Мол.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оп

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»