ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 9, с. 51-57
УДК 550.34.51+550.348.436
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛИ СОГЛАСОВАНИЯ СКЕЙЛИНГОВ РАЗЛОМНОГО И СЕЙСМИЧЕСКОГО ПОЛЕЙ ЗЕМНОЙ КОРЫ
© 2004 г. И. Р. Стаховский
Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 27.03.2003 г.
Методом компьютерного итерирования проведен численный анализ некоторых аналитически неприводимых вариантов модели согласования скейлингов разломных и сейсмических полей земной коры. Рассмотрены соотношения модельных мультифрактальных полей с согласованными скей-лингами, индуцируемых мультипликативными генераторами с начальным разрешением сетки 2 х 2 при условии, что три множителя отличны от нуля и принимают произвольные допустимые значения. Показано, что зависимость значений индексов сингулярности одного поля от значений индексов сингулярности второго поля для одних и тех же точек вмещающего пространства может оказаться немонотонной и неоднозначной.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время известно, что:
- разломные поля земной коры мультифрак-тальны [Белоусов и Стаховский, 1993; Ouillon et al., 1996 и др.];
- разломообразование сопровождается дила-тансией [Brace, 1977; Райс, 1982 и др.];
- дилатансия тесно связана с сейсмичностью [Nur, 1972; Mjachkin et al., 1975 и др.];
- сейсмические поля земной коры мульти-фрактальны [Geilikman et al., 1990; Hirabayashi et al., 1992 и др.].
В работе [Стаховский, 2001] предложена модель структурной организации сейсмогенной среды (модель согласования скейлингов разломных и сейсмических полей земной коры), имеющая целью систематизацию перечисленных фактов в рамках единой физической концепции - концепции самоорганизации сейсмогенной среды, находящейся в неравновесном состоянии. Заложенная в модель математическая процедура построена на использовании мультипликативного каскада с постоянными значениями множителей, который является на сегодняшний день основной математической техникой моделирования стационарных самоподобных физических полей. В частности, мультипликативный каскад позволяет моделировать разломные и сейсмические поля, анализировать результаты сравнения разломной и сейсмической статистик и устанавливает форму взаимосвязи разломных и сейсмических структур земной коры на уровне их скейлингов.
Модель предназначена главным образом для компьютерной реализации (модельная процедура полностью дискретна), т.к. общие аналитические выражения для описания структуры мультиноми-
альных мер, индуцируемых мультипликативными генераторами с произвольным числом неповторяющихся множителей, пока неизвестны. В работе [Стаховский, 2001] исследованы немногочисленные аналитически приводимые варианты модели, однако, рассматривая их как базовые, необходимо отметить, что модель допускает практически неограниченное число обобщений. В рамках этих обобщений взаимодействие модельных полей может приобретать качественно новые аспекты, важные с точки зрения анализа реальных разломных и сейсмических структур.
В настоящей статье, представляющей собой продолжение работы [Стаховский, 2001], обсуждаются некоторые варианты модели, для которых отсутствует аналитическое описание, т.е. варианты, требующие численного анализа. Ниже рассмотрены соотношения модельных мультифрактальных полей с согласованными скейлин-гами, индуцируемых мультипликативными генераторами с начальным разрешением сетки 2 х 2 при условии, что три (из четырех возможных) множителя отличны от нуля и принимают произвольные допустимые значения. Анализ осуществляется с использованием компьютерного итерирования. Показано, что зависимость значений индексов сингулярности одного поля от значений индексов сингулярности второго поля для одних и тех же точек вмещающего пространства может оказаться немонотонной и неоднозначной.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ КАСКАД И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДЕЛИ
Напомним определение мультипликативного 2Б-каскада, предложенного в качестве инструмента для исследования нелинейных физических
51
4*
процессов в работах [Kolmogorov, 1962; Obukhov, 1962]. Покроем единичную площадку [0, 1] х [0, 1] сеткой с разрешением X х X, состоящей из квадратных боксов. Сопоставим каждому боксу один из множителей m, удовлетворяющих условиям:
X2
0 < m1 < m2 < ... < mX2 < 1 и Ym, = 1. (1)
j = 1
Множители определяют содержание индуцируемой меры в ¿-том боксе масштабной сетки, т.е. распределение меры по единичной площадке на первой итерации мультипликативного процесса. На второй итерации каждый "материнский" бокс покрывается сеткой разрешением X х X; каждому "дочернему" боксу вновь сопостовляется один из множителей m,; доля меры в боксе определяется как произведение множителей "материнского" и "дочернего" боксов. Аналогичным образом каждая следующая итерация модулирует наследуемое с предыдущего масштабного уровня распределение меры, повышая перемежаемость распределения. В современной терминологии результат описываемого мультипликативного процесса при к —► (к - номер итерации) называют мультифрак-тальной мерой (или полем). Доля меры p в ¿-том боксе масштабной сетки равна:
Pi = П mk%, (2)
где фу - относительные частоты, с которыми множители mj встречаются в последовательности сомножителей в (1). При соблюдении условия (2) существует предел:
ai = lim (ln pi/ln r), (3)
r ^ 0
где r = X-k - размер бокса сетки. Величина ai получила название индекса сингулярности мульти-фрактальной меры. При r —- 0 значения a плотно заполняют отрезок [amin, amax], на котором определена функция f(a), численно равная величинам фрактальных размерностей подмножеств боксов с общим значением a и называемая спектром син-гулярностей:
f( a) = lim (ln (Y Na)/ln r). (4)
r ^ 0 ¿-1
Здесь Y Na - число боксов с общим значением a.
Фундаментальным свойством f(a)-спектра является положительная кривизна его графика в координатах a, f(a).
Мера остается мультифрактальной в смысле выражения (4), если в качестве множителей выбирать случайные числа, однако предел (3) в этом случае отсутствует. По классификации, предложенной в работах [Schertzer and Lovejoy, 1989; Beltrami et al, 1991], при использовании в каскадной процедуре постоянных значений множителей по-
лучаемый точно ренормируемый мультифрактал обозначается термином "геометрический"; при использовании в качестве множителей случайных чисел получаемый мультифрактал обозначается термином "стохастический" или "универсальный". Если геометрические мультифракталы характеризуются локализованным положением сингу-лярностей, то в универсальных мультифракталах при смене масштабных уровней сингулярности совершают случайные блуждания по полю. Оба типа мультифракталов были одновременно предложены для моделирования сейсмичности [Садовский, Писаренко, 1991; Beltrami et al., 1991].
Анализ сейсмических данных показывает, что пространственные распределения эпицентров землетрясений исторической сейсмичности практически совпадают с распределениями эпицентров современной сейсмичности в тех областях, для которых имеются представительные исторические каталоги (Италия, Греция, Кавказ, Скандинавия и др.). В то же время вероятность совпадения двух реализаций стохастической каскадной процедуры ничтожно мала даже при низких значениях к. Аналогично и строение разломных структур -случайное блуждание, например, точки с максимальной интенсивностью дилатансии совершенно не типично для реальных горных пород. И разло-мообразование, и сейсмичность происходят в неоднородном твердом теле (поликристаллической горной породе), сильно ограничивающем стохастическую составляющую обоих процессов за счет собственной текстуры. Таким образом, в процессе механического разрушения на временных интервалах, охватывающих историческую и современную сейсмичность (~104 лет), земная кора не демонстрирует свойства стохастических каскадов.
Эти соображения позволяют выбрать для моделирования разломных и сейсмических структур земной коры в указанном временном масштабе геометрические мультифракталы, характеризуемые (как и моделируемые структуры) локализованным положением сингулярностей. Заметим, однако, что использование стохастических мультифракталов для моделирования сугубо статистических (не локальных) характеристик разломных и сейсмических структур в принципе не исключено.
Модель согласования скейлингов разломных и сейсмических полей использует два геометрических мультипликативных каскада, индуцирующих два модельных мультифрактальных поля pF и pS, где верхние индексы F и S обозначают принадлежность параметра соответственно к модельному разломному или модельному сейсмическому полям. Модельные меры (разломные и сейсмические поля) могут быть интерпретированы как двумерные распределения вероятности обнаружения в ¿-том боксе масштабной сетки траектории разлома или эпицентра землетрясения с маг-
нитудой выше пороговой. В дальнейшем мы будем использовать верхние индексы просто для отличия двух полей, так как физическая интерпретация полей в данной работе второстепенна.
Модель согласования скейлингов накладывает на каскадные процедуры два условия:
1) мультипликативные каскады, индуцирующие модельные поля, имеют одну и ту же структуру, т.е. Хр =
2) между множителями мультипликативных каскадов с одними порядковыми индексами р установлено взаимно-однозначное соответствие:
F
m1
F mma
S
m1;
S
m„,
F
m2
m2 и т.д.,
частности
?-'' f
; пр и построени и модельных полей могут использоваться только попарно сопряженные перестановки множителей, при которых в боксах обеих масштабных сеток с одним номером г очередные сомножители на к-той итерации (к = 1, 2, 3...) находятся во взаимно-однозначном соответствии (рис. 1).
Перечисленные условия математически отражают тот очевидный физический факт, что оригиналы модельных полей формируются в результате самоподобной эволюции одной и той же природной системы. Определение модели может быть легко обобщено на случай трех и более полей, что позволяет считать ее моделью согласования скейлингов многих неравновесных процессов в земной коре. Отметим также, что модель не имеет жесткой привязки к прямоугольной сетке и может быть адаптирована к любой (напр. треугольной) сетке, используемой дл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.