ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 9, № 4, 2013, стр. 13-17
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СЛАБОНЕОДНОРОДНОГО МАГНИТОУПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
© 2013 г. В.В. Калинчук1, Т.И. Белянкова1, М.О. Леви1, К.Л. Агаян2
Поступила 21.02.2013
Рассмотрен новый класс задач о динамике слабонеоднородного магнитоупругого полупространства, представляющего собой слой, жестко сцепленный с полупространством. Слой и полупространство выполнены из одного и того же магнитоупругого материала. Предполагается, что неоднородность обусловлена различным предварительно напряженным состоянием слоя и полупространства. Исследовано влияние различных видов напряженного состояния на структуру поверхностного волнового поля.
Ключевые слова: динамика, краевая задача, функция Грина магнитоупругой среды, дисперсионные свойства, начальное деформированное состояние.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование взаимодействия магнитных электрических и механических полей имеет большое значение для разработки акустоэлектронных устройств обработки и генерации сигналов, работающих в экстремальных условиях под действием больших динамических нагрузок. В [1] исследовались вопросы распространения волн Гуляева - Блю-штейна в электромагнитоупругих функционально-градиентных материалах в отсутствие начальных напряжений. В [2] были выведены определяющие соотношения динамики предварительно напряженных электроупругих сред. В [3] исследовались особенности динамики слабонеоднородных электроупругих сред, неоднородность которых обусловлена различной поляризацией составляющих среды. Показано, что слабая неоднородность может существенно влиять на структуру поверхностного волнового поля. В [4] были выведены определяющие соотношения динамики предварительно напряженных магнитоупругих сред.
В данной работе показаны особенности распространения поверхностных акустических волн в предварительно напряженном слоистом магнитоуп-ругом полупространстве с учетом вакуума. Исследуется влияние слабой неоднородности, вызванной
различным начальным напряженным состоянием составляющих среды, на распространение волны Гуляева-Блюштейна.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается динамическая связанная задача о распространении волн в предварительно напряженном структурно неоднородном магнитоупругом полупространстве с учетом вакуума х2 > И. Среда представляет собой преднапряженный пьезоактив-ный слой 0 # х2 # И, |х 11, |х31 # з, жестко сцепленный с преднапряженным пьезоактивным полупространством х2 # 0, |х 1 |, |х31 # з. Начальная деформация обусловлена действием механических усилий. Полагаем, что слой и полупространство выполнены из материала класса 6тт гексагональной сингонии. Краевая задача о колебаниях предварительно напряженной неоднородной среды описывается системой линеаризованных уравнений движения и магнитостатики [4]
а2 u(п)
V ■ 0(n> = t
(n ),
dt2
V ■ B(n) = 0.
(1.1) (1.2)
Здесь p(n) - плотность материалов слоя (n = 1)
и полупространства (n = 2), u( = {u
(n) — f,,(n) .,(n) ,.(n)
u 2
u
3
1 Южный научный центр Российской академии наук, 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41, e-mail: kalin@ssc-ras.ru
2 Институт механики Национальной академии наук Республики Армения, 375019, г. Ереван, пр. Маршала Баграмяна, 24Б.
,( n )
} - расширенный вектор смещения произвольной точки среды (м4й) - потенциал магнитного поля в среде); 0(я) и В(п) - линеаризованные тензор напряжений и вектор индукции магнитного поля маг-
нитоупругой среды, компоненты которых определяются формулами
6(k ) = c\bp us,p + f\kpu(1-3)
i( n )—A n)*„( " ) ,,( n )%,( «
J lsp us,p nlp M4,
p
,(n )*
'lksp
f^kl" - упругие и пьезомагнитные констан-
,(n)*
ты, nlp - константы магнитной проницаемости слоя (n _ 1) или полупространства (n _ 2) в начально-деформированном состоянии, По - магнитная проницаемость вакуума. Далее полагаем, что внешнее статическое магнитное поле отсутствует, начальная деформация обеих сред однородна и определяется соотношениями [5]
r(n) = r (n). к(n) Q(n) = к(n). к(n)T (14) Л(n) = S,v(n)rr„ v(n)=1+ 8(n)_ const.
Здесь R(n), r(n) - радиусы-векторы точки среды в начально-деформированном и естественном состоянии соответственно, v,- _ 1 + 8,-, 8, - относительные удлинения волокон вдоль осей x1, x2, x3, G (n) - мера деформации Коши-Грина, 8j - символ Кронекера. Компоненты тензора Коши деформации в начально-деформированной конфигурации определяются выражением
1 2
^ydj(v(n) -1), (1.5)
коэффициенты с^Р*, f^l и n(jn) рассчитываются по формулам [4]
с (n)* _ р(n) 8 + v( n) v( n) c (n) (16) clksp r lk 8Ъ vk vs clbp>
fcr=vsn )fm), (1.7)
n(pn)* = Поv1n)v2n)v3n)v(n) 2dlp + 3(p"). (1.8)
Здесь Pp- компоненты тензора напряжений Кирхгофа в начально-деформированном состоянии, 3(kp - константы магнитной восприимчивости, связанные с константами магнитной проницаемости соотношениями ПР _ П0 8kp + b<jkP>.
В рамках указанных выше предположений параметры рЩ и Y(n) _ - u 4n), необходимые для расчета коэффициентов (1.6)—(1.8), можно получить в результате решения системы уравнений
р (n) _ с (n) S(n) Лn) Yn) (1 9)
pii _ cjjllSjj - Jjll , (Ь9)
L (n) _ j(n) S(n) + n (n) y(n)
°k Jkll^ll nkk ^ k >
(1.10)
равенствах (1.9), (1.10) свойства пьезоактивных материалов класса бдада, получим систему уравнений
р(И)_ с (И) о(И) + „ (п) о + „ (п) л Лп) у(п)
^11 с1111°11 ^с1122°22 ^с1133°33 У 311 7 3 5
р(п)_ „(п) о + с (п) о + с (п) о Ап) у(п)
-<22 61122°11 "ГС1Ш»322+С1133033 —/311/3 ,
р(п)_ с (п) о(п)+ с (п) о + с (п) о п) Уп) (11 1)
-<33 61133°11 + 61133°22 +63333 °33 —У 333 2 3 , (1л1)
Ь(п) _ „(п) о(п) + Ап) о(п) + / (п) о(п) + и (п) У<п)
°3 6311°11 +У311^22 +1 333 ^>33 + и 33 2 3 .
Уравнения (1.11) связывают между собой три компоненты тензора напряжений, три компоненты тензора деформаций и по одной компоненте вектора индукции и вектора напряженности магнитного поля. Для определения конкретного вида начального напряженного состояния достаточно задать любые четыре величины, остальные параметры будут найдены из уравнений (1.11). Ниже перейдем к безразмерным параметрам
_ /уы' к/ , _ М-у' к у
] ук! , Мгу ,
с2323 М0 с2323
kf _107 м/А.
Vs
sf
где Т(п), Ькп) - компоненты вектора напряженности магнитного поля и вектора магнитной индукции в напряженно-деформированном состоянии.
Положим, что начальное напряженное состояние задано условиями (1.4), для магнитного поля выполняются условия У<1п) _ У2п) _ 0. Учитывая в
Здесь V/ - скорость сдвиговой волны в магнитоуп-ругой среде, к/ - специальная константа. Упругие константы отнесены к модулю сдвига полупространства, линейные параметры отнесены к толщине слоя, плотности слоя и полупространства - к плотности полупространства. Далее штрихи опускаем.
2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ О СДВИГОВЫХ КОЛЕБАНИЯХ МАГНИТОУПРУГОГО СЛОЯ
Рассмотрим колебания среды, удовлетворяющие условиям
и 1п) _ и2п) _ 0, ~~~ _ 0, икп) _ икп)(х 1, х2), (2.1) дх 3
и30)_0, к _ 3,4, п _ 0,1,2.
Внося формулы (2.1) в уравнения (1.1)—(1.3), получим уравнения сдвиговых колебаний преднапря-
женной магнитоупругой среды
с(п)* и(п) + с(п)* и(п) + /(п)*и(п) + (99)
6 133^ «3,11 +62332 «3,22 V 13^ "4,11 + (9.9)
д2 и(п)
+ Лп)*и(п) _ п(п)и "3 232 й 4,22 Р , 5
' а?2
/(п)*и(п) + /(п)*и(п) М(п)* и(п) М(п)* и(п) _ 0 У 13^3,11 V 23^3,22 — М11 «4,11 — М22 « 4,22 0.
Система уравнений (2.2) дополняется при х2 > Ь (вакуум) уравнением Лапласа
и40/1+ и402)2 _ 0. (2.3)
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ
15
Граничные условия имеют следующий вид [4]: на поверхности раздела х2 = 0
023> = 023,и32) = «34 ь 22) = (2.4)
= ь (1) и (2) =и (1). 1>2 , "4 м4 >
на границе с вакуумом х2 = И в случае магнито-от-крытой задачи
023) = 0, ь 21) = ь 20), и 41) = и 40); (2.5)
в случае магнито-закрытой задачи
023) = О, и 41) = 0. (2.6)
х2 > И
Х2 < 0
и40)( а, Х 2) = с 10)ехр(-ах 2);
= .(0Ь
(2.12)
и32)(а, х2) = /у32.)[с 12)ехр(ак2)х2)]; 2.13)
к =1 2
и42)( а, х 2) = / у <|>[ с к2)ехр( а[2) х 2)]. (2.14)
к =1
Параметры а(п) (/ = 1,2) являются решениями ха-С учетом формул (1.3) граничные условия (2.5) и рактеристических уравнений для слоя (п = 1) и по-(2.6) на границе с вакуумом х2 = И представляются лупространства (п = 2) в следующем виде: магнито-открытая задача с(1)*. и(1) + Л1)*.и(1) = 0
°2332 и3,2 +/ 232 и4,2 0,
/•(!)*. и(1)- .Д1)* $ и(1) = - И $ и(°)
/232 и3,2 И22 и4,2 И0 и4,2,
-с 133* а(п )2+ с 2п3* а(п )2+ р( п) ~2 / 1п)*а(п )2+/232*а(п)
-/ 13)*а(п )2+/2 324п )2
131
(п)* (п)2 (п)* (п)2
И11 а; - и2г а;
и (1) = и (0) 44
магнито-закрытая задача
с(1)* $и(1) с 2332 и 3,2
На границе х2 = 0
<1)* 232
$ и412) = 0, и41) = 0.
,(2) ^ „(1)*
(1)*
с(2)* $ и(2) + Т(2) $ = $ и
6 2332 м 3,2 / 232 м 4,2 6 2332 м 3,2 + 1)* $ и(1). и(2) = и(1).
V 232 м 4,2>м3 и3 > 2)*$ и(2)- И(2)* $ и(2) =
/232 м 3,2 И22 м 4,2
(2.7)
(2.8) (2.9)
(2.10)
(2.15)
Участвующие в представлениях (2.11)-(2.14) коэффициенты у рк (к = 1,2) являются нетривиальными решениями системы
/•„■>* /„л 2
(с(п)* а(п)2
( с 1331 а1
_с(п)* Vп)2 6 2332 °г
+(-/ й* а(п )2+/ 232* а( п)2)у 4? =
+ р( п) ~2)у 3? + 0,
(2.16)
= /(1)*$ и(1)- И(1)* $ и(1). и(2> = и(!) /232 м 3,2 И22 и 4,2;М4 "4 .
Применим к выражениям (2.2)-(2.10) преобразование Фурье по переменной х1, а - параметр преобразования. Решение краевой задачи (2.2)-(2.10) в пространстве образов Фурье будем искать в следующем виде [6; 7] (ик(а, х2) - трансформанта Фурье функции ик(х1, х2): 0 < х 2 # И 2
и31)(а, х2) = /у3к>[ск'>сЬ а[Г)х2 + ск1+)2вИ а[Г)х2]; к =1 2
и41)(а, х2) = /у4к>[ск'>сЬ ак!)х2+ ск1+)2вИ а[Г)х2]; к =1
(-/ ЙГ а(п )2+/ 232* а( п)2)у
-(И
131
( п) 11
( п ). 3к
а
(п)2 И(п)* а(п)2) у (п) =
- И22 а! )у4к =
0.
Для отыскания неизвестных коэффициентов скп) (к = 1,2,3,4), участвующих в формулах (2.11)-(2.14), подставим представление решения (2.11)-(2.14) в граничные условия (2.3)-(2.6). Получим систему линейных алгебраических уравнений
A • С = Q, (2.17)
где C = {с(1) с(1) с(1) с(1) с(2) с(2) с(0)} - вектор
где C {с 1 , с 2 , с 3 , с 4 , с 1 , с 2 , с 1 } - вектор
искомых коэффициентов, Q = {^3, 0,0,0,0,0} -
A =
компоненты вектора нагрузки для магнито-откры-(2.11)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.