научная статья по теме НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ СТУПЕНЧАТЫХ СКЛОНОВ: РЕЗУЛЬТАТЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Геология

Текст научной статьи на тему «НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ СТУПЕНЧАТЫХ СКЛОНОВ: РЕЗУЛЬТАТЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ»

ГЕОМОРФОЛОГИЯ

№ 2 апрель-июнь 2009

УДК 551.4.013

© 2009 г. В.ВАД. БРОНГУЛЕЕВ

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ СТУПЕНЧАТЫХ СКЛОНОВ: РЕЗУЛЬТАТЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Введение

Математическое моделирование развития склонов имеет давнюю историю. Первые значительные успехи в этом направлении были достигнуты зарубежными авторами [1-5 и др.], которые сформулировали основные уравнения развития склонов и предложили ряд частных решений. Отечественные исследования в 1960-80-х гг. параллельно развивали как собственные модели, так и различные аспекты зарубежных [6-11]. Однако в дальнейшем наступило некоторое затишье, и с 1990-х гг. в этом направлении было сделано мало нового. В то же время за рубежом моделирование бурно развивалось и к настоящему времени достигло значительных успехов. Разработаны модели развития поверхности, позволяющие не только оценивать величину и скорость эрозии [12-14], но и реконструировать древний рельеф [15], описывать эволюцию различных геоморфологических ландшафтов и форм рельефа [16-20] и т. п.

В данной статье рассмотрена довольно простая кинематическая модель эволюции склона, описывающая возникновение и развитие серии педиментов - подгорной лестницы - под действием последовательных импульсов тектонических поднятий. Сущность кинематических моделей состоит в том, что, свойства субстрата рельефа, его реакция на действующие силы, и сами эти силы не рассматриваются, т.е. не составляются динамические уравнения движения. Вместо этого задается зависимость скорости снижения поверхности склона от морфологии самого склона - его высоты, уклона, кривизны; к этому может быть добавлен эффект внешних, не связанных со склоновыми процессами, факторов. Кинематические модели позволяют ответить на вопрос, как будет развиваться склон той или иной, заданной в начальный момент времени конфигурации, при той или иной зависимости скорости его снижения от формы самого склона, при заданных начальных и граничных условиях и при действии внешних факторов (например, тектонических движений). Такой подход оправдан тем, что законы деформации субстрата, необходимые при составлении динамических уравнений, плохо известны и, как правило, их приходится задавать с большой степенью условности. Вместе с тем, кинематические модели позволяют довольно легко получить разнообразные и наглядные картины эволюции склона при различных предположениях о скорости денудации и внешних факторах.

В работе [21] были описаны некоторые результаты такого моделирования при условии постоянства базиса эрозии; здесь, кроме этого варианта проанализирован более общий случай, когда базис эрозии меняет свою высоту, а также предложена более удобная форма задания тектонических импульсов и рассмотрен еще один тип тектонических движений. Для удобства изложения и более наглядного представления основных закономерностей рассмотрены также простейшие случаи отступания склона без участия тектоники и при постоянной скорости поднятия.

Кинематическая модель

Для простоты ограничимся двумерной моделью, рассматривая склон, морфология которого по простиранию не меняется. Будем считать, что скорость перемещения поверхности склона в каждой точке зависит от его морфологических характеристик: уклона и профильной кривизны в данной точке, а также от таких внешних факторов, как тектонические движения или накопление-снос материала. Влияние абсолютной высоты может возникать, вероятно, лишь на мегасклонах, когда начинает сказываться различие климатических условий в процессе выветривания пород, и здесь мы не будем принимать его во внимание.

Рассмотрим эти факторы по отдельности. Если Н(х, г) - высота склона, где х - ось координат, направленная поперек слона, г - время, то скорость перемещения поверхности склона есть дН/дг. Угол наклона склона равен ага§ \дН/дх\ ; знак модуля добавлен, поскольку направление падения склона не важно. Направленная вниз по склону сила, действующая на любую частицу, расположенную на склоне, пропорциональна синусу этого угла, поэтому составляющую скорости денудации склона, обусловленную его крутизной и направленную по нормали к поверхности, можно задать в виде: -Азт(агй§|ЭН/Эх|). Скорость вертикального снижения склона получим, если разделить это выражение на косинус того же угла, что дает -А \дН/дх|. Здесь А - положительный коэффициент, а знак минус соответствует снижению склона при любом его направлении.

Кривизна склона в вертикальном сечении равна д2Н/дх2(1 + \ЭН/Эх |2)-3/2. Отрицательные значения кривизны соответствуют выпуклому склону, положительные - вогнутому. Естественно предположить, что за счет влияния кривизны на выпуклых участках будет происходить ускоренная денудация по сравнению с плоскими такой же крутизны, а на вогнутых - замедленная или аккумуляция, поэтому введение в уравнение соответствующего члена имеет смысл. С учетом соотношения между перемещениями поверхности склона по нормали и по вертикали он будет иметь вид Э2Н/Эх2[1 + + (Эй/Эх)2]-1.

Наконец, вклад внешних факторов (в качестве таковых мы будем рассматривать тектонические движения) описывается функцией/(х, г), конкретный вид которой задается в соответствии с моделируемыми условиями.

При учете всех этих членов, мы получим уравнение развития склона для двумерного случая в следующем виде:

ЭН/дг = -А|дН/Эх| + Бд2Н/дх2[ 1 + (дН/дх)2]-1 + /(х, г). (1)

Подобные уравнения - диффузионного (или параболического) типа - неоднократно выводились ранее, в том числе и на основании учета действующих сил, а также баланса рыхлого материала на склоне [4-7, 16, 18, 22]. Из этих и других работ известно, что в данном уравнении первый член в правой части описывает (применительно к геоморфологии) снижение склона под действием процессов, характерных для аридного климата, таких, как плоскостной снос, дефляция, температурный крип (при условии, что рыхлый материал не накапливается вниз по склону); второй член описывает снижение склона с аккумуляцией на вогнутых участках под действием вязкого течения грунта, характерного для гумидного климата со значительным увлажнением почво-грунтов. Коэффициенты А и Б определяют, соответственно, вклад этих процессов. Отметим, что отличие уравнения (1) от динамического, выведенного из анализа действующих сил и напряжений в толще субстрата, состоит в том, что в динамическом уравнении коэффициенты А и Б определяются через параметры субстрата - вязкость, удельный вес, предел пластичности, прочность, различные модули и т.д. - в зависимости от того, какая модель принята для описания субстрата. В кинематическом уравнении эти коэффициенты задаются априорно, исходя из известных значений скорости снижения склонов с учетом временного и пространственного масштабов задачи.

Для решения ур-я (1) необходимо задать начальные и граничные условия. В качестве начального профиля возьмем склон, подножие которого опирается на базис эрозии, а вершина выходит на плато. Пусть также на склоне существует терраса ограниченной ширины (рис. 1). Функция, описывающая такой профиль, будет выглядеть следующим образом:

к(х, 0) = 1 при 0 < х < 1.6

к(х, 0) = ехр(-(х - 1.6)2) при 1.6 < х < 3

к(х, 0) = ехр(-1.96) при 3 < х < 3.4

к(х, 0) = ((4 - х)/0.6)ехр(-(х - 2)2) при 3.4 < х < 4

(2)

Наибольшая крутизна такого склона составляет 41° (на рис. 1 вертикальный масштаб увеличен).

Граничные условия. Интересно рассмотреть два варианта. Если допустить, что базис эрозии, на который опирается склон в точке х = 4 (правая граница), сохраняется на постоянном уровне, то есть импульсы тектонических поднятий постоянно компенсируются, например, врезом реки, то в этой точке должно выполняться равенство к = 0. На левой границе можно задать равенство уклона нулю, то есть существование горизонтального участка либо на плато, либо на вершине хребта (такой профиль можно симметрично относительно оси к продолжить в область х < 0). Тогда граничные условия должны быть записаны следующим образом:

к' (0, г) = 0 к(4, г) = 0

(3)

В другом варианте мы допускаем, что снижение базиса эрозии до первоначального уровня происходит не мгновенно, а с некоторым запаздыванием. Такое условие можно задать различными способами. Один из простейших - считать высоту базиса прямо пропорциональной градиенту склона (с обратным знаком, поскольку он в нашем случае отрицателен) в этой точке. На левой границе условие остается без изменений:

к' (0, г) = 0 к(4, г) = -к'(4, г)

(4)

Численные решения уравнения (1) с начальными условиями (2) и граничными условиями (3) или (4) были получены с помощью пакета прикладных математических программ.

Результаты и обсуждение

Обратимся вначале к простейшему случаю развития склона без участия тектонических движений (/ = 0), с исходной формой (2) и граничными условиями (3), который наглядно демонстрирует влияние коэффициентов А и В на характер эволюции склона. Рассмотрим два варианта: а) -преобладание снижения поверхности склона за счет его крутизны, когда вклад кривизны мал, и б) - когда этот вклад значительно больше. Численные значения коэффициентов А и В в первом случае равны, соответственно, 0.072 и 0.001; во втором -0.072 и 0.04.

Рис. 1. Начальная форма склона

Рис. 2. Отступание склона при отсутствии тектонических движений

Вклад профильной кривизны: А - мал (ступень и перегиб склона достаточно долго сохраняются, подгорная поверхность имеет четкий тыловой уступ, форма склона близка к прямолинейной), Б - велик (происходит быстрое исчезновение начальной ступени, склон приобретает плавную выпукло-вогнутую форму)

На рис. 2, А приведено решение данной задачи для первого случая1. Узкая терраса, расположенная в нижней части склона, прослеживается вплоть до момента г = 20, после чего на ее месте остается четкий перегиб, сохраняющийся длительное время. Верхнее плато постепенно срезается отступающим склоном; после исчезновения плато вершина склона представляет собой почти острый гребень. Хотя узкая горизонтальная площадка на гребне сохраняется (что соответствует условию дН(0, г)/дх = 0) в масштабе рисунка она не видна. У подножия вырабатывается плоская горизонтальная поверхность, ширина которой пропорциональна дл

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком