ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 3 декабрь,2005
© 2005 г. [А. Р. Кессель [*, Р. Р. Нигматуллин*,
ч UI -Ч *'* Ь . -I
A.A. Хамзин1, H.A. Яковлева*
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ РАВНЫХ СПИН-СПИНОВЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Для модели равных спин-спиновых взаимодействий получены точные гейзенберговские выражения для компонент оператора спина, с помощью которых найдены соотношения для спиновых операторов под знаком термодинамического среднего. Получен-ные точные соотношения для средних позволяют описать термодинамику рассматриваемой модели.
Ключевые слова: спин-спиновые взаимодействия, уравнения движения Гейзенберга, термодинамика.
f „ 1. ВВЕДЕНИЕ
Пристальное внимание исследователей к спин-спиновому взаимодействию (ССВ) насчитывает к настоящему моменту несколько десятилетий благодаря тому, что оно определяет тонкие особенности динамики и кинетики электронных и ядерных парамагнитных спин-систем. Гамильтониан парамагнетика (электронного и ядерного) имеет вид [1]
н = Н2 + Hd + Hdd, Я* = H^-WA^S'jSI
f 1,9 (1)
4
XRTIlii- Xbi f,g
Hää = £ Bf^s7sf + S9SJ)•
Здесь
7
S± = S*±iSy, Aftg = Vf,g + Jf,g,
h2 72
vf,9 = -m-i1 -Zcos6fj9), Bf,g = -Afig + Jfi9,
J>9
* Казанский физико-технический институт КазНЦ РАН, Казань, Россия
tКгианский государственный университет, Казань, Россия. E-mail: nigmat@knet.ru
* Казанский государственный энергетический университет, Казань, Россия > н
где 5" - а-компонента спина 5/, а — x,y,z, расположенного в точке /; (Rf,g,6fig,tpfig) - сферические координаты вектора, соединяющего точки расположения спинов / и д в лабораторной системе координат с осью z, параллельной постоянному магнитному полю Но", 7 - гиромагнитное отношение; и>о = 7 До - зееманова частота; Jft9 - обменный интеграл. В выражении (1) приведена только секулярная часть спин-спинового и обменного взаимодействий, которая в силу коммутации с основным гамильтонианом Hz вносит существенно больший вклад в динамику и кинетику спин-сис-тем, чем остальные части ССВ [2]. ССВ представляют собой типичный пример многочастичных взаимодействий, поэтому не приходится говорить о точной диагонализа-ции гамильтониана (1) в случае, если число взаимодействующих спинов N > 10. Даже если будет получено численное решение для подобного коллектива магнитных частиц, окажется весьма затруднительно распорядиться этими сведениями, так как число состояний М = 2n экспоненциально растет с ростом N. Поэтому существующие теории вынуждены ограничиться макроскопичекими характеристиками ССВ - временем спин-спиновой релаксации, вторым и четвертым моментами резонансных линий и т.д. [1].
Недавно при изучении ядерного магнитного резонанса (ЯМР) протонов в молекулах нематического жидкого кристалла [3] был экспериментально продемонстрирован принципиально новый спектр ЯМР, состоящий из множества узких хорошо разрешенных резонансных линий на месте обычно наблюдаемой единой уширенной ССВ резонансной линии. В настоящее время число узких линий доведено до 1024 [4]. Этот результат открывает новые возможности в изучении динамики и кинетики дипольно-связанных спиновых систем, и, по мнению авторов работ [3], [4], представляет новую перспективную физическую среду для квантовой информатики.
Таким образом, теоретическое описание квантово-механических свойств дипольно-связанных спиновых систем является чрезвычайно актуальной проблемой.
Жидкий кристалл, в котором наблюдался спин-спиновый мультиплетный спектр с узкими линиями [3], состоит из частично ориентированных молекул, каждая из которых содержит ./V = 19 взаимодействующих протонов, а межмолекулярное ССВ пренебрежимо мало. Речь идет, таким образом, об определении более полумиллиона квантовых состояний, т.е. о совершенно бесперспективной для точного решения задаче. Кроме того, необходимо отметить, что при определенных значениях углов в /j9 взаимодействие между близлежащими спинами может оказаться меньше, чем между отдаленными. К тому же сама ориентация спинов в пространстве зафиксирована неточно, и в качестве констант взаимодействия фигурируют не подлинные значения, а их усредненная тепловым движением часть. Это усреднение ССВ для протонов, расположенных в разных частях молекулы, не одинаково: в более подвижных фрагментах эффект усреднения значительнее. Следовательно, продвижение возможно лишь с помощью теоретической модели, упрощающей задачу, но сохраняющей при этом ее основные черты. По нашему мнению, такой моделью может служить модель равных спин-спиновых взаимодействий (РССВ) с гамильтонианом
Н* = Hz + + H*dd,
Hz = -uoY,sb Hd = -^Esfsf" H*dd = -jY,(sfs?+s?sP> (2) / /,/' /,/'
где АиВ суть средние значения параметров Ац/кВц/ для молекулы. Этот гамильто-
li'e
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ РАВНЫХ СПИН-СПИНОВЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ 413
ниан применялся ранее для исследования проблем неэргодической динамики на примере равносильно взаимодействующих спинов 1/2 [5]. Нам представляется, что этот гамильтониан может найти более широкое применение: он может использоваться для описания свойств различных спиновых систем в мезоскопических магнитоактивных кластерах.
Усредненные константы описывают взаимодействие выбранного спина со всеми остальными, сохраняя различия между продольными (Л) и поперечными (В) спиновыми компонентами. Эти константы могут быть получены из реального потенциала взаимодействия как
\
N
то же для константы В.
В настоящей работе для модели Р С СВ мы получим точные выражения для компонент оператора спина в представлении Гейзенберга, с помощью которых определим точные соотношения для средних от спиновых операторов, позволяющие рассчитывать термодинамические величины рассматриваемой модели.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ
чл
Перейдем в представление Гейзенберга и запишем уравнения движения для компонент оператора спина 5/:
<1Б+
¿[Я*, Б^] = -¿(и> + Аа})Б^ + ¡Ва^Б} = А + В4
£
■г\ш0 + АБ2 -
Б} +{ВБ+Б};
¿Б
сИ
¿Б2,
/ _
= г[Н*,Б7] = г(ы0 + Аа})Бу - 1Во]Б} = г(и0 + АБ2 - SJ - {ВБ~Б};
(3)
^ = ЦН*,3}] = Щ(*75+ - *р?) = ^(5-5; - 5+57) ^ВЗ). ^
Здесь через ст^, сг^ обозначены операторы
*/= Е 8},= Б'-Б}, а?= £ Б±=Б±-Б}, (4)
/V/ /V/
где Б2, Б± - компоненты оператора полного спина 5 рассматриваемой спиновой системы. Просуммировав уравнения (3) по узлу /, найдем уравнения движения для компонент полного спина: •** " г с
<1Б+
гВ
<Й с1Б-
= -г ы0 + (Л - В)
ЫУ-
Л - -о + (л-В) 5^-1)5-,
(5)
с1Б2 <И
414 А.Р. КЕССЕЛЬ, P.P. НИГМАТУЛЛИН, A.A. ХАМЗИН, H.A. ЯКОВЛЕВА TT-IHFi
Отсюда легко получим зависимости компонент оператора полного спина от времени:
S±(t) = e^tS±, в±=и0 + (А- В) (s* =f ^ , Sz(t) = Sz.
(6) (7)
Оператор 5г, как это и должно быть, является интегралом движения. В следующем разделе мы получим дифференциальные уравнения для определения с коэффициентами, являющимися интегралами движения, и проинтегрируем их.
3. РАСЧЕТ ЗАВИСИМОСТЕЙ 5+(«)
Продифференцируем уравнение (3) по времени и, проведя некоторые несложные манипуляции со спиновыми операторами, а также используя уравнения (5), получим
dt2
где через Q / обозначен оператор
(в. сz лcz
^ = B2(SzQf - (S2 - (Sz)2)Szf) + гВ-J-,
S'Sj + S+S 7 Qt = ——о--
(8)
(9)
а 52 - квадрат оператора полного спина, который определяется следующим выражением:
С+ с- -I- с- <7+
(10)
S2 = (Sz)2 + s+s S+ = (Sz)2 + S+S- - sz.
Далее продифференцируем уравнение (8) еще раз по времени и получим уравнение
Используя выражение (9) и уравнения (3), (5), найдем выражение для dQ/входящее в уравнение (11):
dt dt
Подставляя соотношение (12) в уравнение (11), окончательно получим дифференциальное уравнение для определения 5|(£):
d3Szf d?Sf , 0dSzf
(13)
Данное уравнение примечательно тем, что его коэффициенты не зависят от времени и коммутируют с оператором Поэтому это операторное дифференциальное уравнение может быть легко проинтегрировано, и мы получим следующее выражение для зависимости
где ют
где
гд
S}(t) = (eiB(1/2+n)t _ 1)(7, + (eiB(i/2-n)t _ 1)С1 +
(14)
:ева
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ РАВНЫХ СПИН-СПИНОВЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ 415
ют времени:
(6) (7) В следу ю-
тМИХ.
'ложные ма-~лучим
(8)
(10) Ь '"равнение
(П)
. А. входящее
Г
(12)
ререншаль-
(13)
агт от времени ^ьлъное урав-С ажение для
(14)
где С±— операторы констант интегрирования, уравнения для определения которых имеют вид . . . шэдэффта. мэвйгл он
ё} = -в2
2+п] с1+[--п) с_).
•Л ■ .¡Ак.} 1 т
Здесь Г! = -у/1/4 + 52. Используя уравнения (3) и (8), найдем выражения для 5|:
5) = у(5-5+-5+57) + гВ5|, 5; - - 1)5-5^ + ^(5г + 1)5+5/ - £2(52 - (5*)2 + 1)5). (17)
(16)
Подставляя эти соотношения в уравнения (15), получим выражения для операторов констант интегрирования:
Мл*™,«,-*-™.™»*« 52К'г + (1/2 - 0)Ьг
—___,,„_,
252П 52АГг + (1/2 + П)Ь2 252Г>
(18)
где
К, = 5
(5+57+5-5+) / , - <?«■--- (52 _ (5*)2)5),
5-51-5+57 +-—2-L■
С учетом (18) выражение для 5)(£) перепишется в виде
5)(<) = <М52,1)Кг + Ф2(52, + 5), где функции Ф1 (52, <), Фг (52, £) определяются как
Ф1(5 'Ь] =-25^-=
_ ге*т12($\п{Вт) - 2Псов(ВП0) + 2П ~ 25^ '
$2(5,*) =-=----.
(19)
(20)
(21) (22)
Далее перейдем к выводу дифференциального уравнения для определения 5у (£)• Продифференцируем первое из уравнений (3) по времени, а затем, используя коммутационные соотношения для спиновых операторов и уравнения (3), (5), получим с.
¿2 +
= -1{2в++В{52-2))-^-+(в2++Вв+(8г-2)-В2(52-(52-1)2))5++В28+<Э/.
(23)
Дифференцируя уравнение (23) по времени и используя уравнения (5), (23), окончательно найдем дифференциальное уравнение для
+¿(30+ - В) + (В Б - 0+ (30+ -2¿0+ [В2Б2 - 0+ (0+ - 2?)) 5+ = 0.
(24)
Мы снова получили операторное дифференциальное уравнение с не зависящими от времени коэффициентами. На первый взгляд может показаться, что уравнение (24) достаточно сложное, но если произвести переход от оператора 5^ (¿) к оператору (¿) по формуле
£+(«) = (25)
то уравнение (24) преобразуется к виду
г <26>
Уравнение (26) совпадает по виду с уравнением (13) для 5) (¿) и легко интегрируется. В результате решение уравнения (24) с учетом (25) запишется как
= е-"+*{(е{ВМ2+п)< - 1)С+ + (е<Ж1/2-П)« _ 1)с7+ + (27)
г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.